初二三角形压轴题分类解析.doc

济南初中数学压轴 --------姜姜老师
北师大版七年级下三角形综合题归类
一、 双等边三角形模型
1. （1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；
（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.
C
B
O
D
图7
A
E
B
A
O
D
C
E
图8

同类变式： 如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.
　　(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；
　　(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.

图c
3. 如图9，若△和△为等边三角形，分别为的中点，易证：
，△是等边三角形．
（1）当把△绕点旋转到图10的位置时，是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；
图9 图10 图11

图8

（2）当△绕点旋转到图11的位置时，△是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．

同类变式：已知，如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．
（1）求证：①；②；
C
E
N
D
A
B
M
图①

C
A
E
M
B
D
N
图②

（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.

C
F
G
E
D
B
A

H

4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．
（1）证明：△ABG △ADE ；
（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；
（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜BAE ＜180°），设△ABE的面积
为，△ADG的面积为，判断与的大小关系，并给予证明．

5.已知：如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接．
（1）求证：；
（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论．

二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）
考点1：利用垂直证明角相等
1. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
求证：（1）AE＝CD；　 （2）若AC＝12 cm，求BD的长．

2. （西安中考）如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, ABAC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。

图(1) 图(2) 图(3)
(1)试说明: BD=DE+CE.
(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BDCE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由。

3. 直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且．
（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）；
②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；
（2）如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．
A
B
C
E
F
D
D
A
B
C
E
F
A
D
F
C
E
B
图1
图2
图3

考点2：利用角相等证明垂直
1. 已知BE，CF是△ABC的高且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：CD=BF；
(2)求证：AD⊥CF；
(3)连接AF，试判断△ACF的形状.

A
B
C
D
E
F
图9
拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

3. 如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接，.
（1）试猜想与有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

4.如图1，的边BC在直线上，且的边也
在直线 上，边与边重合，且
（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的
数量关系和位置关系；
（2） 将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点,连接
.猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长
A
B
E
C
F
P
l
(3)
Q
线于点Q,连结,你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
l
(1)
A
B
(F)
(E)
C
P
A
B
E
C
F
P
Q
(2)
l

三、 等腰三角形（中考重难点之一）
考点1：等腰三角形性质的应用
1. 如图，中，，，是中点，，与交于，与 交于．求证：，．

2. 两个全等的含，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连结，取的中点，连结．试判断的形状，并说明理由．

压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、．
当绕点旋转到于时（如图1），易证．当绕点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

3. 已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1) BF=AC (2) CE=BF (3)CE与BC的大小关系如何。

考点2：等腰直角三角形（45度的联想）
1. 如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边
经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM
的平分线BF相交于点F.
⑴ 如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：
① 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
② 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③ 请证明你的上述两猜想.
⑵ 如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明

2. 在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．
①求证：DG=DC
②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
图1
图2
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）

同类变式：（期末考试原题哦） 已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与∠ACM的平分线CF交于点F
（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时
猜想AE与EF满足的数量关系是 .
连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是　　　　　.
请证明你的上述猜想；
（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？

E

四、 角平分线问题
A

C
B
D
E
1. 如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA, ∠AEB=90°,设AD＝,
BC＝，且满足
（1）求AD和BC的长；（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；
（3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.

2. 如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形中，平分，过作，并且，则等于多少？

4. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

五、中点问题
1. 在△ABC中, 为的中点， 过点的直线交于, 交的平行线
于点。, 并交于点. 连结.
（1）求证: ；
（2）请猜想与的大小关系, 并加以证明

2. 如右下图，在中，若，，为边的中点．求证：．

3. 已知中，，为的延长线，且，为的边上的中线．求证（提示：倍长中线试试）

附加思考题： 以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，.连接，、分别是、的中点．探究：与的位置关系及数量关系．
⑴如图① 当为直角三角形时，与的位置关系是 ；线段与的数量关系是 ；
⑵将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转()后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

24、已知：如图，矩形中点为延长线上一点，连接，且，点分别在上，且。
（1）若，求的长；
（2）若，求证：。