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实验中学高二数学期中模拟试题二 2011/11/3
一、填空题
1. 命题“”的否定 .
2. 若(a - i ) i = b - i, 其中a,  b∈R, i是虚数单位，则________。
3. 已知: A(2 ,  4)、B（-1，2）则以AB为直径的圆的一般方程是 。
4. 圆与圆相交于A、B两点，则|AB|= ..
5. 已知：直线，圆C: ,则直线l与圆C的位置关系是 。
6. 若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ．
7. 已知l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题：
①若l∥m，n⊥m，则n⊥l；
②若l∥m，mα，则l∥α；
③若lα，mβ，α∥β，则l∥m；
④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ
其中真命题是 .（写出所有真命题的序号）。
8．在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径 ．
9. 已知圆的方程为，圆的方程为，过圆上任一点 作圆的切线，若直线与圆的另一个交点为，则当弦的长度最大时，直线的斜率是
10. 若直线与恰有一个公共点，则实数的取值范围是 .
11. 若⊙与⊙相交于、两点, 且
两圆在点处的切线互相垂直, 则线段的长度是 .
12. 已知是大小为的二面角,C为二面角内一定点,且到平面和的距离分别为和6,A,B分别是半平面内的动点,则周长的最小值为 .
13.已知是不同的直线，是不重合的平面。命题：若则；
命题若，则. 下面的命题中，真命题的序号是 .
①“p或q”为真；②“p且q”为真；③p真q假；④“”为真；
14. 在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆相切，其中m，，若函数 的零点，则k= ．
二、解答题
15.已知复数，则当为何实数时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）0？（5）对应点在第三象限？

16. 求关于方程有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.

17. 在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

18. 如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切、且与轴及直线分别相切于、两点．
（1）求圆和圆的方程；
（2）过点B作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．

19. 在长方体中，分别是的中点，，过三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为.
（1）求证：//平面；
（2）求的长；
A1
D
D1
C1
A
C
B
E
F
（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.

.
20.如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。
（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；
（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。

实验中学高二数学期中模拟试题二（参考答案） 2011/11/3

一、填空题
1. 命题“”的否定 .
2. 若(a - i ) i = b - i, 其中a,  b∈R, i是虚数单位，则________。2
3. 已知: A(2 ,  4)、B（-1，2）则以AB为直径的圆的一般方程是 。
4. 圆与圆相交于A、B两点，则|AB|= ..
5. 已知：直线，圆C: ,则直线l与圆C的位置关系是 。
相交或相切
6. 若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ．
7. 已知l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题：
①若l∥m，n⊥m，则n⊥l；
②若l∥m，mα，则l∥α；
③若lα，mβ，α∥β，则l∥m；
④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ
其中真命题是 .（写出所有真命题的序号）。①、④
8．在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径 ．
9. 已知圆的方程为，圆的方程为，过圆上任一点 作圆的切线，若直线与圆的另一个交点为，则当弦的长度最大时，直线的斜率是 ；1或 -7
10. 若直线与恰有一个公共点，则实数的取值范围是 .
或
11. 若⊙与⊙相交于、两点, 且
两圆在点处的切线互相垂直, 则线段的长度是 . 4
12. 已知是大小为的二面角,C为二面角内一定点,且到平面和的距离分别为和6,A,B分别是半平面内的动点,则周长的最小值为 .
13.已知是不同的直线，是不重合的平面。命题：若则；
命题若，则. 下面的命题中，真命题的序号是 .
①“p或q”为真；②“p且q”为真；③p真q假；④“”为真； （1）（4）
14. 在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆相切，其中m，，若函数 的零点，则k= ．0
二、解答题
15.已知复数，则当为何实数时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）0？（5）对应点在第三象限？

16. 求关于方程有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.
分析：（1）讨论a 的不同取值情况；
（2）利用根的判别式求a的取值范围.
16.解答：充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0,其根为x=,方程只有一个负根；
当a=1时，方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1,
方程只有一个负根。
当a<0时，Δ=4（1-a）>0,方程有两个不相等的根，且<0,方程有一正一负根。
必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根。
当a=0时，适合条件。
当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，
则Δ=4（1-a）≥0，∴a≤1,
当a=1时，方程有一个负根x=-1.
若方程有且仅有一负根，则 ∴a<0
综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1

17. 在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．
解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，
∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴CD＝2，AD＝4．
∴SABCD＝[来源:]
．
则V＝．
（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC．
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．
（Ⅲ）证法一：
取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．
∵EM 平面PAB，PA平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC＝M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，
∴EC∥平面PAB．
证法二：
延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，
∴C为ND的中点．
∵E为PD中点，∴EC∥PN．
∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，[来源:Z。xx。k.Com]
∴EC∥平面PAB．

18. 如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切、且与轴及直线分别相切于、两点．
（1）求圆和圆的方程；
（2）过点B作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．

18解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，

同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，
∵M的坐标为，∴M到轴的距离为1，即⊙M的半径为1，
则⊙M的方程为，-------------------------------4分
设⊙N的半径为，其与轴的的切点为C，连接MA、MC，

由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，

即，
则OC=，则⊙N的方程为；----------8分
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙截得的弦
的长度，此弦的方程是，即：，
圆心N到该直线的距离d=，--------------------- ------------------ -11分
则弦长=．----------------------------------------------------14分
另解：求得B（），再得过B与MN平行的直线方程，
圆心N到该直线的距离=，则弦长=．
（也可以直接求A点或B点到直线MN的距离，进而求得弦长）

19. 在长方体中，分别是的中点，，过三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为.
（1）求证：//平面；
（2）求的长；
A1
D
D1
C1
A
C
B
E
F
（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.

19.解：（1）在长方体中，可知，则四边形是平行四边形，所以。因为分别是的中点，所以，则，又面，面，则//平面。
（2）
.
（3）在平面中作交于，
过作交于点，
则
因为，
而，
又，[来源:]
且.
∽.
为直角梯形，且高.

20.如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。
（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；
（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。

20. 解：建立如图所示的直角坐标系，

⊙O的方程为，
直线L的方程为。

（Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为，
∴，。
将x=4代入，得。
∴MN的中点坐标为（4，0），MN=。
∴以MN为直径的圆的方程为。
同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是。
（Ⅱ）设点P的坐标为，∴（），∴。
∵，
将x=4代入，得，
。∴，MN=。
MN的中点坐标为。
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值。
∴⊙必过⊙O 内定点。