高二空间几何体练习题.doc

立体几何练习题
1．在直四棱住中，，底面是边长为的正方形，、、分别是棱、、的中点.
(Ⅰ)求证：平面平面; (Ⅱ)求证： F
E
A
B
D
C
G

面.

2．如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点．
(1)求证： （2）求点B到平面的距离.

3.如图所示，在三棱柱中，平面，．
A
B
C
A1
B1
C1
D

（Ⅰ）求三棱锥的体积；
（Ⅱ）若是棱的中点，棱的中点为，
证明:

4．如图，在棱长均为2的三棱柱中，设侧面四边形的两对角线相交于，若⊥平面，.
(1) 求证：⊥平面； (2) 求三棱锥的体积.

5.如图，在体积为1的三棱柱中，侧棱底面，， ，E为线段上的动点.
（Ⅰ）求证： CA1C1E；
（2）线段上是否存在一点E，使四面体E-AB1C1的体积为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.
6．已知三棱柱ABC—A1B1C1的直观图和三视图如图所示，其主视图BB1A1A和侧视图A1ACC1均为矩形，其中AA1=4。俯视图ΔA1B1C1中，B1C1=4，A1C1=3，A1B1=5，D是AB的中点。
（1）求证AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值。

7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，，点是的中点。
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证：

8． 如图，在四棱锥中，ABCD是矩形，，， 点是的中点，点在上移动。
（1） 求三棱锥体积；
（2） 当点为的中点时，试判断与
平面的关系，并说明理由；
（3） 求证：

9．如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，分别为、、的中点．
（1）求证：PA//平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．

图6
10．如图6，已知四棱锥中，⊥平面， 是直角梯形，，=90º，．
（1）求证：⊥；
（2）在线段上是否存在一点，使//平面，
若存在，指出点的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．

11.
.
E
A
F
C
B
图(1)

E

F
C
B
图(2)

12．如图所示是一个几何体的直观图、 正视图、俯视图和侧视图C尺寸如图 所示）。
（Ⅰ）求四棱锥的体积；
（Ⅱ）若上的动点，求证：。

·

（19题图）

13．如图，四边形为矩形，平面,
，平面于点，
且点在上.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）设点在线段上，且满足，
试在线段上确定一点，使得平面.

俯视图
正视图
侧视图

14．已知四棱柱的三视图如图所示.
（1）画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的
体积；
（2）若为上一点，平面，
试确定点位置，并证明平面

15.如图是以正方形为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形为截面，且，．
（Ⅰ）证明：截面四边形是菱形；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

16．正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△AED及△DCF折起(如下图)，使A、C点重合于A’点．

(1)证明：A’DEF； (2)当BF=BC时，求三棱锥A’一EFD的体积．
17、已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.
(1) 求四棱锥的体积；
A
B
C
D
P
E
(2) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；
(3) 若点为的中点，求二面角的大小.

A
B
C
D
E

F
18、如图，已知平面，平面，△为等边三角形， ，为的中点.
(1) 求证：平面；
(2) 求证：平面平面；
(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

19、如图，四棱锥P—ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点。
（I）求异面直线PA与DE所成的角；
（II）求点D到面PAB的距离.

20．如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形
（1）求证：AD︿BC
（2）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在确定E的位置；若不存在，说明理由。

立体几何参考答案
F
E
A
B
D
C
G

1. 证明:(Ⅰ)分别是棱中点四边形为平行四边形
又
平面……………3分
又是棱的中点
又
平面……………5分
又平面平面……………6分
(Ⅱ) ,同理
……………9分
面 又,
又,面,面 面………12分
2. （1）连接BD，由已知有、得
又由ABCD是正方形，得：、 ∵与相交，∴
（2）∵ ∴ 又∵ ∴ 点E到的距离，有： ，
又由 ， 设点B到平面的距离为，
则 ， 有，， 所以点B到平面的距离为
3. 【解】在中，，，∴．∵，∴四边形为正方形．
----6分
（Ⅱ）当点为棱的中点时，平面------8分
证明如下：
如图，取的中点，连、、，
∵、、分别为、、的中点，
∴．
∵平面，平面，
∴平面．　　　　 ------10分
同理可证平面．∵，
∴平面平面．∵平面，∴平面． ------12分
4. （1）证明：∵⊥平面，而AO平面 ∴⊥ ………2分
∵,　∴，而BCFE为菱形，则为中点，
∴⊥, 且∴⊥平面.………6分
（2）∥, ∥平面
∴点、到面的距离相等 ………8分
∵ ，AO=AO
∴AOE≌AOB，得OE=OB ，即EC=FB，而BCFE为菱形，则BCFE是正方形，
计算得AO=，的面积等于正方形BCFE的一半， ……………12分
因此 ……………14分
5. 解：（Ⅰ）证明：连结， 侧棱底面ABC，
又.平面.
又平面， . ………（3分）
， 四边形为正方形， .
， 平面 . …………………………（5分）

又平面，. …………………………………（6分）
（Ⅱ）设在线段上存在一点，使.
， . ………………………（7分）
又且平面，
由，
知，
解得，存在的中点，使 . ……………（12分）
6. 解：（1）证明：因为主视图和侧视图均为矩形，所以该三棱柱为直三棱柱……1分
又∵俯视图中A1C1=3，B1C1=4，A1B1=5
∴A1C12+B1C12=A1B12
A1
∴∠A1C1B1=∠ACB=90°
∴AC⊥BC 又∵AC⊥CC1，CC1∩BC=C
A
∴AC⊥平面BCC1B1 又∵BC1平面BCC1B1
∴AC⊥BC1 ………………………………4分
（2）证明：设CB1与C1B的交点为E，连结DE
∵D是AB的中点，E是BC1的中点 ∴DE∥AC1 又∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1
∴AC1∥平面CDB1 ……………………………………………………………8分
（3）∵DE∥AC1 ∴∠CED为AC1与B1C所成的角
在ΔCED中 ED=AC1=，CD=AB= CE=CB1=∴cos∠CED=
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为。……………………12分
7. ⑴
∴ 又
∴ ∴
（2）连结交于点，并连结 四边形为平行四边形 ∴为的中点
又为的中点 ∴在中EO为中位线，
∴ …………………12
8. 解：（1），
（2）当点为的中点时，。理由如下：点分别为、PD的中点，
。，
（3），
， ，
，点是的中点
又

A
B
C
Dd
E
F
G
P
A
B
C
D
E
F
G
P
H
9. 解（1）证法1：如图，取的中点，连接………1分
∵分别为的中点，∴ ………2分
∵分别为的中点，∴．
∴．∴四点共面 ………4分
∵分别为的中点，∴．
∵平面，平面，∴平面 ………6分．
（2）解：∵平面，平面，∴．
∵为正方形，∴ ∵，∴平面． ………10分
（3）∵，，∴．∵，
∴………14分
10. 解：（1）∵ ⊥平面，平面， ∴ ⊥．
∵ ⊥，，∴ ⊥平面， ∵ 平面，∴ ⊥．
（2）取线段的中点，的中点，连结,
则是△中位线．∴∥，
∵ ，，∴．
∴ 四边形是平行四边形， ……10分
∴ ．∵ 平面，平面，
∴ ∥平面．∴ 线段的中点是符合题意要求的点．
11. 解:

12.解：（I）由几何体的三视图可知，低面ABCD是边长为4的正方形，
，且,

（Ⅱ）连， ， °
°
………………10分
又

13. 解：（Ⅰ）证明：由平面及得平面，则
而平面，则，又，则平面，
又平面，故。
（Ⅱ）在中，过点作于点，则平面.
由已知及（Ⅰ）得.故
(Ⅲ)在中过点作交于点，在中过点作交于点，连接，则由得 由平面平面，则平面
再由得平面，又平面，则平面.
故当点为线段上靠近点的一个三等分点时，平面.
14. （本小题主要考查空间中线面关系，空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）
（1）（参考右下图——图略）；…………（3分）
…………（6分）
（2）作交于，连，则共面
平面，，又，为平行四边形.
，为的中点. ……………（10分）

在矩形中，，，，，
又，，
平面，平面
，
平面. ……………（14分）
15. 解：（Ⅰ）证明：因为平面∥平面，
且平面分别交平面、平面于
直线、，所以∥． 同理，∥．
因此，四边形为平行四边形．（1）
因为，而为在底面上的射影，所以．…………4分
因为，所以∥．因此，．（2）
由（1）、（2）可知：四边形是菱形；………………6分
（II）因为平面，∥，所以到平面的距离为．
于是，由等体积法得所求体积…12分
16. (1)证明：∵A’DA’E，A’D A’F, ,∴．A’D平面A’EF．∴ A’DEF………5
(2 J解:∵A’D平面A’EF．∴A’D是三棱锥D-A’EF的高………………7 ．
又由BE=1,BF=推出EF=,可得 ………………12
17、解：(1) 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且.
∴，即四棱锥的体积为.……4分
(2) 不论点在何位置，都有. ………5分
证明如下：连结，∵是正方形，∴.…………6分
∵底面，且平面，∴.…………7分
又∵，∴平面…………8分
∵不论点在何位置，都有平面. ∴不论点在何位置，都有.……9分
(3) 解：在平面内过点作于，连结.
A
B
C
D
P
E
F
∵，，，
∴Rt△≌Rt△，从而△≌△，∴.
∴为二面角的平面角.………12分
在Rt△中，，
又，在△中，由余弦定理得
，…………13分
∴，即二面角的大小为.………14分
18、
(1) 证法一：取的中点，连.
∵为的中点，∴且. …………1分
∵平面，平面，∴，∴.…2分
A
B
C
D
E
F
M
H
G
又，∴. ∴四边形为平行四边形，则.……4分
∵平面，平面，∴平面 ………5分
证法二：取的中点，连.
∵为的中点，∴.…………1分
∵平面，平面，∴.…………2分
又，
∴四边形为平行四边形，则. …………3分
∵平面，平面，
∴平面，平面.
又，∴平面平面.…………4分
∵平面，∴平面. ………5分
(2) 证：∵为等边三角形，为的中点，∴.…………6分
∵平面，平面，∴.…………7分
又，故平面.∵，∴平面. ………9分
∵平面，∴平面平面. ………10分(3)
解：在平面内，过作于，连. ∵平面平面， ∴平面.
∴为和平面所成的角.…………12分
设，则， ，
R t△中，.∴直线和平面所成角的正弦值为.……14分
19、【解】（1）解法一：连结AC，BD交于点O，连结EO.∵四边形ABCD为正方形，∴AO=CO，又∵PE=EC，∴PA∥EO，
∴∠DEO为异面直线PA与DE所成的角……………………3分
∵面PCD⊥面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∴AD⊥PD.在Rt△PAD中，PD=AD=a，则，

∴异面直线PA与DE的夹角为……………………6分
（2）取DC的中点M，AB的中点N，连PM、MN、PN.

∴D到面PAB的距离等于点M到面PAB的距离.……7分
过M作MH⊥PN于H，∵面PDC⊥面ABCD，PM⊥DC，
∴PM⊥面ABCD，∴PM⊥AB，又∵AB⊥MN，PM∩MN=M，
∴AB⊥面PMN. ∴面PAB⊥面PMN，∴MH⊥面PAB，
则MH就是点D到面PAB的距离.……10分
在
………12分
20、【解】 (1):作面于,连取的中点,连、,
则有 ……………6分
(2)设为所求的点,作于,连.则∥………7分
就是与面所成的角,则.……8分
设,易得………10分
解得
故线段上存在点,且时,与面成角.……12分