【全程复习方略】(浙江专用)2013版高考数学-6.7数学归纳法课时体能训练-理-新人教A版.doc

【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 6.7数学归纳法课时体能训练 理 新人教A版
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”时，在验证n＝1成立时，左边应该是(　　)
(A)1　　　　　　　(B)1＋a
(C)1＋a＋a2 (D)1＋a＋a2＋a3
2.(2012·杭州模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)
(A)k2＋1
(B)(k＋1)2
(C)
(D)(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
3.下列代数式(k∈N*)能被9整除的是(　　)
(A)6＋6×7k　　　　　　(B)2＋6×7k－1
(C)2(2＋2×7k＋1) (D)3(2＋7k)
4.某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立.现已知当n＝7时该命题不成立，那么可推得(　　)
(A)当n＝6时该命题不成立
(B)当n＝6时该命题成立
(C)当n＝8时该命题不成立
(D)当n＝8时该命题成立
5.(易错题)若Sk＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，则Sk＋1＝(　　)
(A)Sk＋(2k＋2)
(B)Sk＋(2k＋3)
(C)Sk＋(2k＋2)＋(2k＋3)
(D)Sk＋(2k＋2)＋(2k＋3)＋(2k＋4)
6.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为(　　)
(A)a＝，b＝c＝
(B)a＝b＝c＝
(C)a＝0，b＝c＝
(D)不存在这样的a、b、c
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝　　　　时，命题亦真.
8.f(n＋1)＝，f(1)＝1(n∈N*)，猜想f(n)的表达式为　　　　　　.
9.用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝；当推证当n＝k＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是　　　　　　　　.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·赣州模拟)数列{an}中，a1＝－，当n>1，n∈N*时，Sn＋＝an－2，
(1)求S1，S2，S3的值；
(2)猜想Sn的表达式，并证明你的猜想.
11.(2012·丽水模拟)若不等式＋＋…＋>对一切正整数n都成立，猜想正整数a的最大值，并证明结论.
【探究创新】
(16分)设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式并用数学归纳法证明.

答案解析
1.【解析】选C.当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C.
2.【解析】选D.当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D.
3.【解析】选D.通过验证k＝1可否定A、B、C.
4.【解析】选A.命题“n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立”的逆否命题为“n＝k＋1(k∈N*)时命题不成立，那么可推得当n＝k(k∈N*)时命题也不成立”，故选A.
【变式备选】f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命题成立的是(　　)
(A)若f(3)≥9成立，则对定义域内任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立
(B)若f(4)≥16成立，则对定义域内任意的k≥4，均有f(k)k2成立
【解析】选D.命题n＝k时成立，则n＝k＋1时就成立，故若n＝4时，f(4)≥16，则k≥4时，f(k)≥k2成立.
5.【解析】选C.Sk＋1＝1＋2＋3＋…＋[2(k＋1)＋1]＝1＋2＋3＋…＋(2k＋3)＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)＝Sk＋(2k＋2)＋(2k＋3).
6.【解题指南】由题意知，等式对一切n∈N*都成立，可取n＝1,2,3，代入后构成关于a、b、c的方程组，求解即得.
【解析】选A.令n＝1,2,3分别代入已知得
，
即.
解得：a＝，b＝，c＝.
7.【解析】因为n为正奇数，所以与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1.
答案：2k＋1
8.【解析】f(2)＝＝；
f(3)＝＝＝；
f(4)＝＝＝；…；猜想f(n)＝.
答案：f(n)＝
9.【解析】当n＝k＋1时，＋＋…＋
＋
＝＋
故只需证明＋
＝即可.
答案：＋＝
10.【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴Sn＋＝Sn－Sn－1－2，
∴Sn＝－(n≥2).
∴S1＝a1＝－，S2＝－＝－，
S3＝－＝－.
(2)猜想Sn＝－，下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，S1＝－＝－，猜想正确；
②假设当n＝k时猜想正确，即Sk＝－，
那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝－＝－
＝－，
即当n＝k＋1时猜想也正确.
根据①、②可知，对任意n∈N*，都有Sn＝－.
【方法技巧】解“归纳——猜想——证明”题的关键环节
(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.
(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论.
(3)对一般结论用数学归纳法进行证明.
【变式备选】在各项均为正数的数列{an}中，数列的前n项和为Sn，满足Sn＝(an＋).
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)由(1)猜想出数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.
【解析】(1)a1＝S1＝(a1＋)，
∴a＝1，∵a1＞0，∴a1＝1，
S2＝a1＋a2＝1＋a2＝(a2＋)，
得a＋2a2－1＝0，
∵a2＞0，∴a2＝－1，
同理可求得a3＝－.
(2)由(1)猜想an＝－(n∈N*)
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，由(1)知猜想正确.
②假设当n＝k时，ak＝－(k∈N*)，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(ak＋1＋)－(ak＋)
＝(ak＋1＋)－(－＋)
＝(ak＋1＋)－
∴a＋2ak＋1－1＝0，
∵ak＋1＞0，
∴ak＋1＝－，
即当n＝k＋1时，猜想也成立，
由①、②可知，对一切n∈N*，猜想都成立.
11.【解析】当n＝1时，＋＋>，即>，
所以a<26.
而a是正整数，所以取a＝25下面用数学归纳法证明：＋＋…＋>.
(1)当n＝1时，已证；
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，
有＋＋…＋
＝＋＋…＋＋＋＋－>＋[＋－].
因为＋＝>，
所以＋－>0，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立，
由(1)(2)知，对一切正整数n，都有＋＋…＋>，
所以a的最大值等于25.
【探究创新】
【解题指南】(1)令x，y均为0可得f(0)；
(2)利用递推条件可得f(2)，f(3)，f(4)；
(3)证明时要利用n＝k时的假设及已知条件进行等式转化.
【解析】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0.
(2)由f(1)＝1，
得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4.
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9.
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.
(3)由(2)可猜想f(n)＝n2，
用数学归纳法证明：
(ⅰ)当n＝1时，f(1)＝12＝1显然成立.
(ⅱ)假设当n＝k时，命题成立，即f(k)＝k2，
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1
＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，
故当n＝k＋1时命题也成立，
由(ⅰ)，(ⅱ)可得，对一切n∈N*都有f(n)＝n2成立.