九年级数学二次函数知识点小结及测试.doc

二次函数 知识点小结及测试
一、二次函数概念：
1、二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．
二次函数的自变量取值范围是全体实数．

2、二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

二、二次函数的基本形式
1、二次函数基本形式：的性质：
的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

2、的性质：
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

3、的性质：
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4、的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

三、二次函数图象的平移
1、平移步骤：
方法一：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2、平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．

方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位：
变成（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与
轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

六、二次函数的性质
1、当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小
值．
2、当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

七、二次函数解析式的表示方法
1、一般式：（，，为常数，）；

2、顶点式：（，，为常数，）；

3、两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）
.
【注意】：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有
抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八二次函数的图象与各项系数之间的关系
1、二次项系数：
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2、一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”

3、常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

综上所述，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法；
用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便；一般来说，有如下几种情况：
1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1、关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2、关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3、关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4、关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5、关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变；求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：
1、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
①、当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二
次方程的两根．这两点间的距离.
②、当时，图象与轴只有一个交点；
③、当时，图象与轴没有交点.
1）当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
2） 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

2、抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

3、二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号
判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一
个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；
下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根

抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根

抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
二次函数图像参考：

十一、函数的应用
二次函数应用

二次函数考查重点与常见题型
1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是

2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（ ）
y y y y

1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D

3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选
拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。

4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－
（1）确定抛物线的解析式；
（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

5、考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1（1）二次函数的图像如图（1），则点在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图（2）所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1
和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4a+cO，其中正确结论的个数为( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

答案：D
【点拨】会用待定系数法求二次函数解析式
例3、已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A、(2，-3) B、(2，1) C、(2，3) D、(3，2)

答案：C

例4、如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设
x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式； （2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.

例5、已知抛物线y=x2+x-；（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

【点拨】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6、“已知函数的图象经过点A（c，－2），……，求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”
题目中的省略号部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

【点拨】： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。
对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
【解答】（1）根据的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，
得 解得
所以所求二次函数解析式为图象如图所示。

（2）在解析式中令y=0，得，解得
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是；
令x=3代入解析式，得
所以抛物线的顶点坐标为
因此，也可以填抛物线的顶点坐标为等等。
函数主要关注：
通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为
“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求
一点P，使矩形PNDM有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
例2、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数；（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
w=（x-10）（40-x）
=-x2+50x-400
=-（x-25）2+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
二次函数测试试题
一、选择题
1、 二次函数的顶点坐标是( )
A、(2,－11) B、（－2，7） C、（2，11） D、（2，－3）
2、把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )

4、已知二次函数的图象如图所示,则下列结论:
①、a,b同号； ②、当和时,函数值相等;
③、； ④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5、已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（　　　）
Ａ、－１.３ B、-2.3 C、-0.3 D、-3.3　
6、已知二次函数的图象如图所示，则点在（ 　 ）
A、第一象限　　　B、第二象限 C、第三象限　　 D、第四象限
7、方程的正根的个数为（ ）
A、0个 B、1个 C、2个. D、3 个
8、已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为（ ）
A、 B、
C、或 D、或
二、填空题
9、二次函数的对称轴是，则_______。

10、已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.

11、一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。

12、抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。

13、二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。

14、如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是　　 (π取3.14).　　　　
三、解答题：
15、已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).
(1)求这个二次函数的解析式；(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?

第15题图

16、某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式 （0为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。

18、红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

二次函数测试试题答案
一，选择题、
1、A 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 7、C 8、C

二、填空题、
9、 10、＜-3 11、如等（答案不唯一） 12、1 13、-8 7 14、15

三、解答题
15、(1)设抛物线的解析式为,由题意可得

解得 所以

(2)或-5 (2)

16、（1）由已知得，，解得当时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米．
（2）由题意得，＝，可知顶点的横坐标，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．

17、（1）直线与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）．则解得
所以此抛物线解析式为．
（2）抛物线的顶点D（1，－4），与轴的另一个交点C（－1，0）.设P，则.化简得
当＞0时，得 ∴P（4，5）或P（－2，5）
当＜0时，即，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．

18、（1）=60（吨）．
（2），化简得： ．
（3）．
红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对．
理由：
方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额来说，当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．

方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；
而当x为200元时，月销售额为18000元．
∵17325＜18000，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
16
快乐的学习，快乐的考试！