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课程论文
COURSE PAPER

论追龟辩的漏洞

学 院 社区学院
专 业 汉语言文学大类
学 号 13123605
学生姓名 屠胡清
课 程 时间的辩白
打印日期 2014年4月16日

论追龟辩的漏洞

摘要：本文对芝诺提出的勇士与乌龟的作了历史上的回顾，也作出了经验上的反驳，并在逻辑学和数学方面总结了先人的探究结果，试着指出这一佯谬中所含的漏洞。
关键词：追龟辩 逻辑学 亚里士多德 诡辩

芝诺(Zeno，约公元前495-425年)关于运动的悖论流传下来的有4个：二分辩、追龟辩、飞矢辩和运动场辩。多年来，在如何看待和解释这些悖论所引起的矛盾方面，众多学者提出了各不相同的见解。本文试着综合前人的见解并结合个人分析，以指出这一佯谬的漏洞。

1. 芝诺的诡辩
芝诺的悖论悖论实际上是一个否认运动的总的悖论的组成部分。芝诺为了维护他的老师巴门尼德关于运动是不可能的论点，证明如果承认运动就会导致这四个悖论。
按照克莱因( Kline, Morris )的看法，当时人们对于空间、时间和运动有两种对立的看法：一种认为空间和时间无限可分，这样的话运动将是连续而又平顺的；另一种认为空间和时间是由不可分的小段组成的，那样的话运动将是一连串的小跳动。芝诺的追龟辩针对的是前者。
实际上，希腊数学家在发展数学的过程中已经形成了逻辑的基础。在巴门尼德和芝诺活跃的年代，雄辩与推理风行一时。然而，严密的逻辑学尚未形成,雄辩常常变成诡辩。
诡辩论是形而上学和主观主义的思想形式之一，是一切利用似是而非的推理和论断否认真理或阻碍探索真理的思维方式的总称。例如，如果你同意你身上不可能有位于远处的东西这一判断，就只能得出你身上没有头的结论。因为远处有只狗，狗有头，头在远处，而你已经承认身上不可能有位于远处的东西，所以你身上没有头。由于人们往往不能指出这些雄辩的毛病，所以诡辩成为包括芝诺在内许多学者所向披靡令人无可奈何的法宝。这种情形直到亚里士多德的时代才得到改变。

2. 经验的反驳
听到这个悖论，我们很容易就可以安排一个实验，证明跑得快的可以追上跑得慢的。其实最早的经验反驳提出者是古希腊时代犬儒学派的创始人第奥根尼。据说当他的学生向他请教如何反驳芝诺时，他一言不发，在房间走来走去，学生还是不理解，他说，芝诺说运动不存在，我这不是正在证明他是错的吗？显然，所谓的经验反驳者并没有真正理解悖论的实质。所谓悖论，就是指从公认的或者假定的同样前提出发，经过正确的逻辑推理，得出相互矛盾或者与前提矛盾的结论。当论证出现悖论时，只有两种解释：要么推理出现错误，要么前提不成立。芝诺当然清楚，其推理与经验事实矛盾。他以运动存在为前提，导出追龟辩的荒谬结果。既然其推理没有毛病，只能得出一个结论：运动是不存在的，只是假象。我们知道，他的老师巴门尼德曾争论说运动或变动是不可能的，而据说芝诺为之辩护也是合情合理。

3. 亚里士多德的逻辑
芝诺诡辩毕竟是靠逻辑导出的，对其彻底破解必须找出它推理过程中的逻辑漏洞。正是亚里士多德(Aristotle，公元前384-322年)创立了严密的逻辑学，使之成为科学。他提出了逻辑学的三大基本规律：同一律、矛盾律、排中律。同一律是指“推理或思想的内容必须是确定的”。甲就是甲，甲代表的内容不能在推理过程中改变，否则就是“偷换概念”。矛盾律是指“一个命题不能既是真的又是假的”。排中律是指“一个命题必然是真的或者是假的”。亚里士多德的逻辑学为科学研究提供了最根本的分析工具，也是戳穿诡辩的利器。
亚里士多德在其《物理学》中提出，时间、距离以及任何连续的东西通常被称为“无穷的”实际上包含了两种涵义：一是划分( divisibility )的无穷，二是延展( extrimeties )的无穷；其针对芝诺悖论提出的潜无穷( potential infinite )和实无穷( actual infinite )的区別也正是这两种涵义的区别。穆勒认为，芝诺的这一悖论假定了穿过“无穷可划分的”空间需要“无穷的”时间，但“无穷可划分的”空间并不意味着“无穷的”空间，仅意味着“有穷”空间的无穷可划分，而穿过有穷的空间只需要有穷的时间；另一方面，这一悖论仅仅表明了穿过“无穷可划分的”空间需要“无穷可划分的”时间而不是“无穷的”时间，因为“无穷可划分的”时间本身可以是“有穷的”，实际上，无论多么短的有穷时间都是“无穷可划分的”；因而，阿基里斯会极短的时间内追上乌龟。
此外，在其《逻辑体系》一书中，穆勒对这一悖论也作了简单讨论。穆勒认为，结论中的“永远”即“阿基里斯将永远追不上乌龟”中的“永远”的意思是指所能设想的任意长时间，而前提中的“永远”即“就这样永远下去”中的“永远”的意思并不是指任意长时间，而是指时间任意多次的再划分，因而芝诺这一悖论所表明的仅仅是穿过“有穷的”空间需要“无穷可划分的”时间而不是“无穷的”时间。穆勒显然认为“阿基里斯”悖论不过是歪曲了“无穷”和“无穷可划分”这两个语词的意思，纯粹属于语词混淆和不相干结论的谬误。无疑，穆勒这里对“无穷”与“无穷可划分”的区分完全是沿袭亚里士多德对此二者的区分。

4. 数学的形象解释
按照追龟辩的追赶方法，无数次地追过越来越小的距离也不可能追上被追者。然而，无数次就意味着“永远”吗？我们知道，在追赶过程中一个又一个的出发点分割出一段段越来越短的距离，相邻段距离之比以及经由相应所需时间之比同为被追者与追赶者速度之比，其中，设最初两者距离为S，追赶者跑过最初距离的时间为t1；那么追赶者跑过n段距离的总长S所需时间为tn；
tn= t1(1+ q1+ q2+……+ qn-1)
tn= t1(1- qn)/(1- q)
由于1- qn<1，即使n趋于无穷大
tn= t1(1- qn)/(1- q) < t1/(1- q)
tn< t1/(1- q)
显然，t1/(1- q)为常量，因此，即使n趋于无穷大，tn仍然小于一个常量。
可以看出，按照追龟辩规定的追赶方法，无数次的追赶所用的时间实际上是被限定在特定值以内的。时间短到一定限度，阿基里斯当然追不上乌龟。可是在追龟辩里，在“无数次”掩盖下的限定时间(tn)被偷换为“永远”，违反了亚里士多德逻辑学的同一律，因而其推理是错误的。由此我们可以清楚地看到，芝诺的第二悖论——追龟辩的逻辑漏洞确实已被锁定。
此外应该提及，吴国盛在《芝诺悖论今昔谈》中谈到人们可以利用无穷数列的方法证明，追赶者所走的空间距离并不是一个无限量但是算出了距离是有限的并未解决问题，因为在这个方法中有一个前提，那就是勇士最终追上了乌龟。这个假定说明，数学所告诉我们的不过是，如果能的话，需要多少时间，但数学不解决“是否能”的问题。这里证明的仅仅是芝诺追龟辩的逻辑推理本身是否包含逻辑错误，是“能否成立”的问题，而不是去解决“能否追上”的全面论证问题。

5. 结语
由上文我们可以看出，对芝诺悖论的经验反驳未能抓住其的要害，因而是无用的。作为文科生，我认为追龟辩毕竟是靠逻辑导出的，对其彻底破解必须找出它推理过程中的逻辑缺陷。因此，数学方法仅仅更形象地解释了追龟辩中的逻辑漏洞，而对亚里士多德逻辑学的准确把握和严密运用更为重要。
芝诺在2400年前提出的悖论，跨越了时间的长河，如今仍然为我们所着迷称道。追龟辩的逻辑破解，或许会压缩某些哲学戏说的空间，但对芝诺概念的借用、转化和升华不会终止。思辨更多转向更尖锐的前沿领域，也许是哲学发展新的契机。从古今至未来，人类提出的一个个问题与回答，正如一颗颗明珠，而时间的线将它们串连在一起，通往更加灿烂的未来。

参考文献
① 刘二中.解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞[J].自然辩证法研究, 2005.11.
② 克莱因.古今数学思想:第一册[M].上海:上海科学技术出版社,1979:40.
③ 亚里士多德.物理学[M].徐开来译.北京:中国人民大学出版社, 2003.
④ 吴国盛.芝诺悖论今昔谈[J].哲学动态,1992(12).
⑤ 张兴.芝诺悖论的结构[J].自然辩证法研究, 2004.11.
⑥ 吴允曾.关于形式化的几个问题[J].哲学研究,1998(12).
⑦ 樊映川1高等数学讲义[M].北京:高等教育出版社,1964.7.