【研究院】[北京](8)2018一模(理)分类汇编——圆锥曲线(教师版).docx

2018一模分类汇编——圆锥曲线
1.（2018东城一模·理）设抛物线上一点到轴的距离是，则到该抛物线焦点的距离是
　　 （A） 　　　 （B） 　　　 （C） 　　　 （D）
1.C
2.（2018石景山一模·理）如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（　　）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
2.B
3.（2018朝阳一模·理）若三个点中恰有两个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为_____________．
3.
4.（2018西城一模·理）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则____；双曲线的渐近线方程是____．
4.，
5.（2018延庆一模·理） 设双曲线的焦点为为该双曲线上的一点，若，则　 　．
5.7
6.（2018海淀一模·理）已知点是双曲线的一个顶点，则的离心率为____________.
6.
7.（2018石景山一模·理）双曲线的焦距是________,渐近线方程是________.
7.，
8.（2018房山一模·理）抛物线的焦点坐标为 .
8.
9.（2018丰台一模·理）已知抛物线M的开口向下，其焦点是双曲线的一个焦点，则M的标准方程为____．
9.
10.（2018延庆一模·理）（本小题满分14分）
已知椭圆：过点且离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
10.（Ⅰ）由已知得
所以椭圆的方程为 …………4分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线为或
都有. ………6分
当直线的斜率存在时，设直线，
由 消去，可得
，由题可知，，有 ………8分
又 可得；同理可得.
由原点到直线的距离为和
可得 ………10分
∵，∴ ………11分
当，即时，………12分
当，即时，
因为，所以，所以，当且仅当时等号成立. 综上，当时，的面积存在最小值为 ………14分

11.（2018西城一模·理）（本小题满分14分）
已知圆和椭圆，是椭圆的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率和点的坐标；
（Ⅱ）点在椭圆上，过作轴的垂线，交圆于点（不重合），是过点的圆的切线．圆的圆心为点，半径长为．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．
11.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意，椭圆的标准方程为． [ 1分]
所以 ，，从而 ．
因此 ，．
故椭圆的离心率 ． [ 3分]
椭圆的左焦点的坐标为． [ 4分]
（Ⅱ）直线与圆相切．证明如下： [ 5分]
设，其中，则， [ 6分]
依题意可设，则． [ 7分]
直线的方程为 ，
整理为 ． [ 9分]
所以圆的圆心到直线的距离 ． [11分]
因为 ． [13分]
所以 ，
即 ，
所以 直线与圆相切． [14分]

12.（2018石景山一模·理）（本小题共13分）
在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与它到直线的距离相等．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设动直线与曲线相切于点，与直线相交于点．
证明：以为直径的圆恒过轴上某定点．
（本小题共13分）
12.（Ⅰ）解：设动点E的坐标为，
由抛物线定义知，动点E的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以动点E的轨迹C的方程为． ……………5分
（Ⅱ）证明：由，消去得：．
因为直线l与抛物线相切，所以，即． ……8分
所以直线l的方程为．
令，得．
所以Q． ……………10分
设切点坐标，则，
解得：， ……………11分
设，

所以当，即
所以
所以以PQ为直径的圆恒过轴上定点． ……………13分

13.（2018海淀一模·理）（本小题14分）
已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上.设与平行的直线与椭圆相交于两点，直线分别与轴正半轴交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）判断的值是否为定值，并证明你的结论.
13.（本小题14分）
（Ⅰ）由题意，
解得：，，
故椭圆的标准方程为 5分

（Ⅱ）假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，－1)，直线l的方程为，即.
联立方程，得，
此时，直线l与椭圆C相切，不合题意.
故直线TP和TQ的斜率存在.

方法1：
设，，则
直线，
直线
故，
由直线，设直线（）
联立方程，
当时，，

14分
方法2：
设，，直线和的斜率分别为和
由，设直线（）
联立方程，
当时，，

故直线和直线的斜率和为零
故
故
故在线段的中垂线上，即的中点横坐标为2
故 14分

14.（2018丰台一模·理）（本小题共14分）
已知点在椭圆：上，是椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆C上不与点重合的两点，关于原点O对称，直线，分别交轴于，两点．求证：以为直径的圆被直线截得的弦长是定值．
14.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为，且． ……………………1分
因为，
所以，， ……………………3分
所以椭圆的方程为． ……………………4分
（Ⅱ）证明：由题意可知，两点与点不重合．
因为，两点关于原点对称，
所以设，，． ……………………5分
设以为直径的圆与直线交于两点，
所以． ……………………6分
直线：．
当时，，所以． ……………………7分
直线：．
当时，，所以． ……………………8分
所以，， ……………………9分
因为，所以， ……………………10分
所以． ……………………11分
因为，即，， ……………………12分
所以，所以． ……………………13分
所以，， 所以．
所以以为直径的圆被直线截得的弦长是定值． ……………………14分
15.（2018房山一模·理）（本小题分）
已知椭圆:过点，离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若线段的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．
15.（Ⅰ）根据题意
解得：
所以椭圆的方程为 …………… 5分
（Ⅱ）设直线的方程为
由 得
由得且
设，线段中点
那么，

设，根据题意
所以，得
所以

=
所以为定值 ………………… 14分

16.（2018东城一模·理）（本小题13分）
已知椭圆的离心率为，且过点A(2，0)．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设M，N是椭圆上不同于点的两点，且直线AM，AN的斜率之积等于－. 试问直线MN是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

16.（共13分）
解：（I）由已知有解得
椭圆C的方程为. ……………………………4分
（II）若直线MN斜率存在，设直线MN方程为.
由消去，得.
当，设，
则………..①，………..②.
由以及，整理，得
.
将①，②代入上式，整理，得，解得或.
当时，直线过；当时，直线过（舍）.
若直线MN斜率不存在，则直线斜率互为相反数.
不妨设，于是直线与椭圆交于，
由对称性可知直线与椭圆交于.
所以直线MN也过.
综上，直线MN过定点. ……………………………13分

17.（2018朝阳一模·理） (本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点，直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数．若直线与椭圆交于两点且均不与点重合，设直线与轴所成的锐角为，直线与轴所成的锐角为，判断与大小关系并加以证明．
17. (本小题满分14分)
解：（Ⅰ）由题意得解得，，．
故椭圆的方程为． ….….5分
（Ⅱ）．
证明如下：
由题意可设直线的方程为，直线的方程为，设点，，，．
要证，即证直线与直线的斜率之和为零，即 ．
因为

．
由 得，
所以，．
由得，所以．
所以．
．
所以． ….….14分

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