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天水师范学院2012届毕业论文
用等价无穷小求极限的研究
张君城
（天水师范学院 甘肃 天水 741000）
摘要：极限的计算方法多样灵活，计算巧妙。等价无穷小的替换是求极限的重要方法之一。再求和、差函数极限，函数的极限，积分上限函数的极限等方面，等价无穷小的替换具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，起到事半功倍的效果。我在此研究了和、差函数的极限等价无穷小，乘积因子等价无穷小的替换，函数的极限的等价无穷小，积分上限函数极限的等价无穷小，和、差函数极限的等价无穷小的替换。
关键词： 等价无穷小 函数的极限 替换 级数收敛
定义：

设函数f(x)在上有意义，若，则称为时的一个无穷小量.
1 和、差函数极限的等价无穷小的替换
定理1
设,,,为时的无穷小量，且～,～，若，
（1）当时，；
（2）当时，
证明 由无穷小量的性质知，都是时的无穷小量.
(1)当时，

(2)当 时，

所以有.同理可证（2）.证毕.
注：当时，等价无穷小替换有

例1 （1）求的极限
解：原式= =

(2) 求
解：原式=
定理 2
为同一变化过程中的无穷小量，且，则
证明：因为，所以，则
，即.
定理2说明了在求无穷小量代数和的极限时,可以将阶数较高的无穷小量舍去，从而能够简化计算.
注：两无穷小量代数和与较低阶无穷小量等阶.可将此结果扩展为多个无穷小量，如果有多个无穷小量都是比其中一个无穷小量高阶的无穷小量，则他们的代数和与其中这个无穷小量等阶.
推论：若时, 都是无穷小量,且
则
证明 因为，于是

这样

例2 （1）求
解：当时，，
.显然与均为比高阶的无穷小，而为比高阶的无穷小量，由定理易知：
，
则原式
（2）求极限

解：在求此极限时，不能用等价无穷小量, 在求极限时，只有对极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代.而在极限式的和、差运算中应用等价无穷小量代换时，经常会丢失高阶无穷小量，而引起错误.
解法一：由泰勒公式可知：
，

这里是比高阶的无穷小量，于是

于是
解法二：当时，有，于是

解法二说明了求“”型的极限时,分子或分母是连乘或连除的形式时，可以把分子或分母的某个函数用其等价无穷小来代换.
定理3
若且对任意的与为等价无穷小量,即且在区间内不变号,则有
.
再证明之前,先给出两个引理:
引理1 在自变量的某一变化过程中,函数有极限A的充要条件是
其中是自变量同一变化过程中的无穷小量.
引理2 由积分第一中值定理可知,若与在闭区间上连续，且
在上不变号,则在上至少存在一点使得
.
证明 由于即,由引理1得,则,其中满足,则
.由于在区间上不变号,则由引理2得,所以

例3 求极限
解 显然在内单调增加, 时, 和是等价无穷小,由定理3得

2 乘积因子等价无穷小的替换
定理 3
设是某一变化过程中的无穷小量,极限都存在且不为零，则当且仅当与为等价无穷小量时,有

证明：当与为等价无穷小量时,即
则 .反之
若 则有.
即与为等价无穷小量.
例4
定理 4
是某一变化过程中的无穷小量,
,且极限存在,
则
证明：

.
例5 求
解：由于则

3 型不定式极限的替换
定义：重要极限，此类极限可归结为型不定式极限.
定理 5
假设以及并且
，则有.
证明： 由于函数在内连续，因此得：

. 证毕.
例6 求极限
解 ：将极限式做恒等变形：得
，
由于当时 ，有，又，因此可得

定理 6
如果在给定的的趋向下，，，，都是无穷小，并且～，～,则在的这种趋向下，极限：
.
证明：由于 . （1）
又由于～，～,有：～～～，于是，
. （2）
有上述两式，定理得证.
推论1
如果在给定的的趋向下，，，都是无穷小，且～，则在的这种趋向下，极限：
.
推论 2
如果在给定的的趋向下，，，都是无穷小，且
～，则在的这种趋向下，极限：
.
例7 求极限.
解： 考虑到当时，，应用推论1得：

例8 求极限
解：由于,则,做变量替换：,则原式变为：.
因为当时, ,则

4 变上限函数极限的等价无穷小的替换
在变上限积分中,如果那么该变上限积分就是一个无穷小,如果能够找出这种类型在变上限积分的等价无穷小,那么在一些极限计算的过程中运用等价无穷小替换的方法,从而使极限的计算得到简化.
定理7
若函数在处阶可导,且,
则当时,变上限积分
与是等价无穷小,
即.
证明 由于

,已知条件,可得

因此利用洛比达法则可以得到

根据定理8,,可以得到以下结论:
推论1 若函数在处阶可导,且则当时有

推论2 若函数在处阶可导,且则当时有

推论3 若函数在处阶可导,且则当
时有

在定理8中,若取,则可以得到以下结论:
若函数在处阶可导,且,
则当时有;

特别的,当时,可以得到下面引理:
引理 若函数在处阶可导,且,
则当时有
例9 求
解 在中, ,当时, ;在中,,当时,
所以极限

定理8
设为时的无穷小量, ,且与在上连续,则有
证明：因为,所以
例10（1）求极限.
解 由于当时, ，

定理9
若与在上连续,则
证明
例11 (1)求极限.
解 因为所以当时,
,,
所以.
5 ，
定理10
设为时的同号无穷小量, 且则当时,级数
与有相同的敛散性.
证明 （1）当为正项级数时,且对,存在着正整数,当时,有,即
,由正项级数比较收敛法知与有相同的敛散性.
（2）当为负项级数时,则有为正的,即,同（1）也可以得出具有相同的敛散性.
例12 求极限 .
解 令,,于是

参考文献：
[1] 同济大学数学教研室.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社,1996.
[2] 陈传璋等.数学分析（上册）[M].高等教育出版社,1979.
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