第二章应用实验34.doc

实验3 放射性废料的处理问题
【问题】
美国原子能委员会以往处理浓缩放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉到海底时的速度超过12.2 m/s，圆桶与海底碰撞会发生破裂。为避免圆桶碰裂，需要计算圆桶沉到海底时的速度是多少？这时已知圆桶重为239.46 kg，体积为0.2058 m3,海水密度为1035.71 kg/m3。如果圆桶下沉到海底时的速度小于12.2 m/s，就说明这种方法是可靠的；否则就要禁止用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比，其正比例常数为0.6。
【实验目的】
巩固和理解微分方程理论及其应用。
[预备知识】
常微分方程理论和Mathematica解方程的命令。
【实验内容与要求】
（1）根据问题建立数学模型。
（2）根据数学模型求解的结果，判断这种处理废料的方法是否合理？
【思考题】
（1）若在其他介质，如空气中物体的运行速度与它所受空气阻力仍成正比，那么这个正比例系数与物体在水中的是否一样？
（2）将本实验建立的数学模型应用到求火车的速度问题上，并说明为何火车的速度不能无限大。

实验4 路程估计问题

【问题】
外出旅行或行军作战等，都可能涉及到两地路程的估计问题。当身边带有地图时，这似乎是件很容易的事。然而，从地图上量出的距离却是两地的直线距离，你能由此估计出两地的实际路程吗？建立关于的模型：。
【实验目的】
能用数学软件进行曲线拟合。
【预备知识】
多元函数的极值求法；线性拟合的最小二乘法原理。
【实验内容与要求】
（1）要确定与的近似函数关系，必须收集若干及与之相应的的具体数据，通过分析找出规律。这里将《中国地图》中量得四川省彭州市到其他几个城市的直线距离，并按比例尺（1cm为20km）进行转换，以及从到汽车站了解到的对应的实际路程的有关数据列于表2-2。
表2-2 城市间直线距离和实际路程
彭州市
成都
郫县
都江堰
什邡
德阳
新繁
广汉
温江
崇庆
→
地图直线距离(cm)
1.8
1.08
1.55
1.32
2.3
0.75
1.64
1.7
2.38
地图转换距离d(km)
36
21.6
31
26.4
46
15
32.8
34
47.6
实际路程s(km)
42
30
58
43
68
16
43
50
65
（2）启动数学软件，将上表中d与s两组数据，按拟合时所需形式输入。
（3）画出数据散布图，观察它们是否大致在一条直线附近。
（4）进行直线拟合，并在同一图中显示拟合直线与数据点。观测拟合情况，并记下所得到的模型（称为经验模型）。
（5）在只作粗略估计的情况下，为便于计算，若将上面得到的模型修改成（简单模型）行吗？根据表中数据，取b=3，试画出简单模型与样本数据点的图形，并与（4）所得到的图形相对照。
（6）试计算由两个模型得到的估计值与实际值的差（残差），以大致观测一下两个模型的差异。在只作粗略估计的前提下，你愿意用哪个模型？
【思考题】
本题建立的模型可以推广吗？对于残差较大的点，如何处理更好？
试验二 放射性废料的处理问题
一、 问题分析及建立模型
1、 圆桶运动规律：
(1)
（2）
其中，
由题设可得圆桶的位移和速度分别满足如下微分方程：
(3)
(4)

2、若，类似上面，可得到这时圆桶的速度分别满足如下微分方程：

二、计算过程
1、由（1）（2）（3）（4）以及题设的初始数据，通过如下Mathematica程序就可以求出圆筒的位移和速度的方程。
源程序：
In[1]:=m = 239.46; w = 0.2058; g = 9.8; p = 1035.71; k = 0.6;
DSolve[{m*s''[t] == m*g - p*g*w - k*s'[t], s[0] == 0, s'[0] == 0}, s[t], t]
DSolve[{m*v'[t] == m*g - p*g*w - k*v[t], v[0] == 0}, v[t], t]
Out[1=
（5）
（6）
2、由（5）及S(t)=90m，由下面程序

得到：t=12.994 ，带入（6），运行如下命令

得V=13.772>12.2，此时说明此法处理废料不行。
三、结果分析
在实际情况中k 与 v 的关系很难确定，所以上面的模型有它的局限性，且对不同的介质比如在空气中和在水中k 与 v 的关系就不同。在一般情况下，k应是v的函数，即k=k(v)，至于 是什么样的函数很难确定。
四、模型推广
这个模型可以推广到其他方面，比如说一个物体从高空落向地面的道理也是一样的，尽管物体越高，落到地面的速度也越大，但决不会无限大。
实验三 路程估计问题
一、 问题分析与建立模型
问题的关键在于收集数据，然后描出数据散布图，通过观测，决定用什么函数去拟合。由所给数据，发现它们大致在一条直线附近，故用直线拟合，又因d=0时，S必为零，因此，不妨设模型为S=ad。
二、计算过程
1、ln[1]=
x={36,21.6，31，26.4，46，15，32.8，34，47.6}；
y={42,30，58，43，68，16，43，50,65}；
dian=Table[{x[[i]],y[[i]] },{i,1,9}]；
shu=ListPlot[dian] （*作数据散布点*）
s=Fit[dian,{d},d]; (*拟合直线*)
p=Plot[s,{d,0,50}] (*作拟合直线图*)
Show[shu,p] (*在同一图上观测拟合效果*)
Out[6]=
1.42952d
Out[8]= -Graphics-
由此，得出经验模型S=1.42952d
将经验模型修改为简单模型S=1.5d-b，其目的很清楚，是为了便于计算，在只作粗略估计的情况下，我们更宁愿这样作，作为实践中的一条经验，它比前者更具有优势。式中的b显然应因短程与远程而有所不同，这实际上给我们提出了这样一个问题：
对某值比如50km以内的较短路程用一个公式，对较长的路程再用一个公式是否会更好呢？
2、a=1.5 b=3 b因路程长短有所不同
ln[9]=
m=Plot[1.5*d-3,{d,0,50}];
show[shu,m] （*显示简单模型与样本数据点的图形*）

Out[10]:=
-Graphics-
三、结果分析
In[11]:=
sp=1.42952*x （*由经验模型算估计值*）
ss=1.5*x-3 （*由简单模型算估计值*）
cancha1=y-sp (*计算残差值*)
cancha2=y-ss （*计算残差值*）
Out[11]:={51.5，30.9，44.3，37.7，65.8，21.4，46.9，48.6，68}
{51.，29.4，43.5，36.6，66.，19.5，46.2，48.，68.4}
{-9.5，-0.88，14.，5.3，2.2，-5.4，-3.9，1.4，-3.}
{-9.，0.6，14.5，6.4，2.，-3.5，-3.2，2.，-3.4}
所得结果可见：两个模型的差异并不大，且它们对多数点都吻合得较好，但也有误差较大的，分析其原因：
一：是我们的模型本身是根据小样本而得到，不可能是很精确的；
二：是有两种极端情形（它们的误差都较大）应该注意：（1）路较直，如彭县成都（误差为-9）；（2）路线起伏大，如彭县灌县，实际路线是彭县唐昌灌县，相当于走三角形的两边（误差为+14.5）。这是不是提醒我们，应该把与AB垂直的最大偏离h测量出来，并结合到模型中以提高精度呢？

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