1、5 Hermit 插值是带指定微商的插值,构造的插值函数,不但满足函数值插值条件,而且满足导数值插值条件.1图2图3在节点除给出函数值 f(xi)外，还要给出一阶导函数，4即已知f(x)的函数表要求一个 2n+1 次多项式 H(x)5满足i=0,1,n6一、两点三次Hermit插值给定函数 f(x)在节点 x0 ,x1 上的函数值以及一阶导数值：7求一个插值函数H(x),满足(1)H(x)是不超过三次的多项式;(2)(2.43)8按lagrange构造法，设 其中都是三次多项式。9由 H(x)满足插值条件(2-30)式即则应有10又由则应有11由应有12由应有13综合起来有 14表2.9 函数
2、值微商值100001000010000115由于都是一次多项式，故设16利用 得 a=1,再利用得于是得到 (2.44)同理可得(2.45)17类似地，设利用 得 a=1，所以同理18图2.619最后求得两点三次Hermit插值多项式为(2.48)20例 1 已知 f(x)的两个节点上的函数值及导函数值如下表求 f(x)的三次Hermit 插值多项式.21解：设 x0=1,x1=2,由于 22又23代入(2.48)式，得到24二、插值多项式H(x)的余项设25 定理2.5 设 是过 的Hermite插值多项式，f(4)(x)在 a,b 上存在，其中a,b是包含节点 的任一区间，则对于任意的 ，
3、都存在(依赖于x)使(2.49)26证明 由插值条件知因此节点 x0 ,x1 都是 R(x)的二重零点。因此,设其中k(x)为待定函数。27类似于Lagrange 插值余项的推导,引进辅助函数其中 k(x)满足 t=x 时，的常数。282024/3/16 周六29于是 有 x,x0,x1三个零点。如下图使用一次Rolle定理，则就有四个零点：30就有一个零点，设为 ，又 反复使用Rolle定理，31所以于是32 33 牛顿插值多项式“点点”构造。34例 2 确一个次数不高于四的多项式 P(x)，使 35解：f(x)的函数表如下36解法一：设37由 及 所满足的插值条件有38及39整理后得到40解出于是41解法二：对于函数表构造三次Hermit 插值多项式，设42则43 44所以45令于是46其中k为待定常数，满足P(2)=147又所以48由 P(2)=1 得到即于是 ，所以49解法三 先构造满足函数表的插值多项式 P2(x)50令 则求得51令其中 k1 是使 的常数。52令 x=0 得方程 0=1.5+2 k1 于是 k1=-0.75 53再令 其中k2是使 的待定常数。54而 55由 得方程 整理后得到56HermiteNewton插值基函数为572024/3/16 周六58
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