单元测试卷(十五).doc

单元测试卷(十五)数的扩充——复数
(满分：150分　　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2009·北京朝阳4月)复数z＝(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：z＝＝－i，它对应的点在第四象限，故选D.
2．(2009·北京东城3月)若将复数表示为a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式，则的值为(　　)
A．－2 B．－
C．2 D.
答案：A
解析：＝1－2i，把它表示为a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式则的值为－2，故选A.
3．已知复数z＝t＋i(t∈R＋)，且z满足z3∈R，则实数t的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：∵z3＝(t＋i)3＝t3＋3t2i－3t－i＝(t3－3t)＋(3t2－1)i∈R，∴3t2－1＝0，解得t＝±，又t∈R＋，∴t＝.故选B.
4．设z∈C，z＝(1－i)2＋，则(1＋z)7展开式的第5项是(　　)
A．35i B．－21i
C．21 D．35
答案：D
解析：∵z＝(1－i)2＋＝－2i＋i＝－i，
∴(1＋z)7＝(1－i)7.
其展开式的第5项T5＝C(－i)4＝35.故选D.
5．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于(　　)
A．2－2i B．2＋2i
C．－2＋2i D．－2－2i
答案：A
解析：因为方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，所以b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，即b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0，由复数相等的定义知
所以a＝2，b＝－2，即z＝2－2i.故选A.
6．若复数z满足|z＋1|＋|z－1|＝2，那么|z－1＋i|的最大值为(　　)
A．1 B.
C．2 D.
答案：D
解析：由复数z满足|z＋1|＋|z－1|＝2知，复数z所对应的点的轨迹是以(－1,0)，(1,0)为端点的线段(包括两端点)；又|z－1＋i|＝|z－(1－i)|的几何意义是复数z所对应的点到点(1，－1)的距离，所以当复数z对应的点是(－1,0)时，即z＝－1时，|z－1＋i|取得最大值.故选D.
7．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：∵<2<π，∴sin2>0，cos2<0，故z＝sin2＋icos2对应的点在第四象限．故选D.
8．(2009·杭州质检)若z＝＋i，且(x－z)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a2等于(　　)
A．－＋i B．－3＋3i
C．6＋3i D．－3－3i
答案：B
解析：根据题意可知a2表示(x－z)4展开式中x2项的系数，即C(－z)2＝6(＋i)2＝－3＋3i.故选B.
9．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ等于(　　)
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．kπ＋(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)
答案：B
解析：由题意，得⇒
⇒θ＝2kπ＋，k∈Z.故选B.
10．若(m∈R)为纯虚数，则()2008的值为(　　)
A．－1 B．1
C．－i D．i
答案：B
解析：由于＝＝是纯虚数，可知12－3m2＝0且m≠0，解得m＝±2.
当m＝2时，()2008＝()2008＝i2008＝1；当m＝－2时，()2008＝()2008＝(－i)2008＝1，故正确答案应选B.
11．设复数z1＝1－2i，z2＝1＋i，则复数z＝在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：z＝＝＝－－i，即复数对应的点在复平面上的坐标为(－，－)，故在第三象限．
12．在复平面内，设向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，又设复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2∈R)，则·等于(　　)
A.z2＋z1 B.z2－z1
C.(z2－z1) D.(z2＋z1)
答案：D
解析：·＝x1x2＋y1y2，z2＋z1＝(x1－y1i)(x2＋y2i)＋(x1＋y1i)(x2－y2i)＝2(x1x2＋y1y2)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1＋z2为纯虚数，则实数a的值为__________．
答案：－3
解析：z1＋z2＝3＋a－2i，当3＋a＝0，即a＝－3时z1＋z2＝3＋a－2i为纯虚数．
14．(2009·淮北模拟)若复数z＝a－＋3i为纯虚数，其中a∈R，i为虚数单位，则的值为________．

答案：－i
解析：∵z＝a－＋3i为纯虚数，∴a＝，＝＝－i.
15．定义运算：＝ad－bc，则符合条件＝1－i的复数z的值为________．
答案：－i
16．设z＝(1＋i)2－(其中i是虚数单位)，则(1＋z)7展开式中的第4项是________．
答案：－35i
解析：z＝2i－i＝i，(1＋z)7展开式中第4项T4＝Cz3＝35i3＝－35i.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(本小题满分10分)实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)第四象限；
(3)直线x－y－3＝0上？
解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即－3z＝4＋3i或z＝－4－3i.
故所求的z的共轭复数为4－3i或－4＋3i.
解法二：设(3＋4i)(a＋bi)＝ki(k∈R，k≠0)，
∴a＋bi＝＝＝，
∴a＝，b＝，代入a2＋b2＝25，得k＝±25.
∴k＝25时，z＝4＋3i，＝4－3i；
k＝－25时，z＝－4－3i，＝－4＋3i.
19．(本小题满分12分)设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
解：∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝＋(m－15)i－2＋m(m－3)i＝(－2)＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝()＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2是虚数，
∴m2－2m－15≠0，且m≠－2.
∴m≠5，m≠－3，且m≠－2(m∈R)．
20．(满分12分)设等比数列z1，z2，z3…zn，…其中z1＝1，z2＝a＋bi，z3＝b＋ai(a、b∈R且a>0)．
(1)求a、b的值；
(2)试求使z1＋z2＋…＋zn＝0的最小自然数n；
(3)对(2)中的自然数n，求z1·z2·…·zn的值．
解：(1)∵z1，z2，z3成等比数列，
∴z＝z1z3，
即(a＋bi)2＝b＋ai，
a2－b2＋2abi＝b＋ai，
∴(a>0)
解得a＝，b＝.
(2)∵z1＝1，z2＝＋i，
∴公比q＝＋i，
于是zn＝(＋i)n－1
z1＋z2＋…＋zn＝1＋q＋q2＋…＋qn－1＝＝0，
∴qn＝(＋i)n＝(－i)n(－＋i)n＝1，
即n既是3的倍数又是4的倍数．
故n的最小值为12.
(3)z1z2…z12
＝1·(＋i)·(＋i)2…(＋i)11
＝(＋i)1＋2＋……＋11
＝[(－i)(－＋i)]66
＝(－i)66·(－＋i)66＝－1.
21．(本小题满分12分)已知复数z1＝2＋i,2z2＝.
(1)求z2；
(2)若△ABC三内角A、B、C依次成等差数列，且u＝cosA＋2icos2，求|u＋z2|的取值范围．
解：(1)z2＝＝＝＝－i.
(2)在△ABC中，∵A、B、C依次成等差数列，
∴2B＝A＋C，∴B＝60°，A＋C＝120°，u＋z2＝cosA＋2icos2－i＝cosA＋i(2cos2－1)＝cosA＋icosC.
|u＋z2|2＝cos2A＋cos2C＝＋
＝1＋(cos2A＋cos2C)
＝1＋[cos2A＋cos(240°－2A)]
＝1＋[cos2A－cos(60°－2A)]
＝1＋[cos2A－(cos60°cos2A＋sin60°sin2A)]
＝1＋
＝1＋(cos2A－sin2A)
＝1＋sin(－2A)．
∵0in(－2A)<，
∴≤|u＋z2|2<，即≤|u＋z2|<.
22．(本小题满分12分)设z1＝1－cosθ＋isinθ，z2＝a2＋ai(a∈R)，若z1z2为纯虚数，问在(0,2π)内是否存在θ使(z1－z2)2为实数．
解：假设满足条件的θ存在，
∵z1z2＝(1－cosθ＋isinθ)(a2＋ai)
＝[a2(1－cosθ)－asinθ]＋[a2sinθ＋a(1－cosθ)]i是纯虚数，∴，
从题设知a≠0，cosθ≠1(0<θ<2π)，
∴a＝，
要使(z1－z2)2∈R，则z1－z2为实数或纯虚数，
∵z1－z2＝(1－cosθ－a2)＋(sinθ－a)i，
∴sinθ－a＝0或1－cosθ－a2＝0且sinθ－a≠0，
由⇒＝sinθ⇒cosθ＝0，
又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝或；
由⇒1－cosθ＝⇒cosθ＝0.
综上θ＝或π.