矩阵理论试题及其解答.doc

矩阵论试题
一．设是欧氏空间中的一组向量，表示与的内积，令

试证明的充要条件为向量线性无关。
证明：若，则用依次与此式作内积有：

即

此式仅有零解的充分必要条件为，故线性无关的充分必要条件为
二．设

试估计下述值

解： ，，
，，
。

三．设，求和。
解
容易验证A的最小多项式为，取，
（1） 令，设，则有
即
从而，于是，故

（2） （在（1）的中令即可）
四．设，试叙述的奇异分解指的是什么？并试求矩阵的奇异值分解式。
解 设，的特征值为

我们称为A的奇异值，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得

（其中），此式称为A的奇异值分解式。
当时，，

得，对于由得，故，取；对于由得，故，取，由于，，故取取，此时，
，取，使得与的两个列量正交，从而有
， ， 从而
故取，因此，故。
五．设可逆，，若对某种矩阵范数有，试证：可逆。
证明： 因为我们知道，对矩阵D，当时，可逆（这是因为若不可逆，则齐次线性代数方程组有非零解，因此有，故，从而，矛盾）。因此当A可逆时，由于，而A可逆，，因而也可逆，故可逆。
六．（A）试用标准型理论求如下线性微分方程组的通解。

解：因为 所以我们有

则，
对于由得，故，
对于由得，故
对于由得，故
令，则，从而有
对线性微分方程组作变换有 ，因此，故有
为其通解.。
（B）求如下线性微分方程组的通解。

解：因为 所以我们有

则，
容易验证A的最小多项式为，取，
令，设，则有
即
于是，故

故 （其中是任意常数）
（C）求如下线性微分方程组的通解。

解 因为 ， 所以我们有

则，
容易验证A的最小多项式为，取，
令，设，则有
即
于是，故

故 （其中是任意常数）
七．1求矩阵的分解。
2.求矩阵的满秩分解。
(1)解
第一步可解出：，，，，
第二步可解出：，，，
第三步可解出：
于是 ，
（2）解：因为
所以，，可求得，于是

八．设和是数域P上线性空间V的任意两个子空间，试证明
（1）
（2）
都是线性空间V的子空间。
（1）证明：因为，所以，即是非空的，
又若，则，从而，
即，
令，则，所以，故是V的子空间。
（2）证明：因为，所以，即是非空的，
又若，则
因为，，
即。
令，则，所以，故是V的子空间。
九．向量组和都是线性空间V中的向量，试证明

证明：因为

所以对任何，有，，故
，
从而
所以
同理可证明
因此 证毕
十．欧氏空间中定义内积，试求
（1）基的度量矩阵；
（2）利用度量矩阵乘法形式计算的内积。
解（1），，，
， ，
从而度量矩阵为：
（2）
而，，

十一．（A）证明下列向量范数的等价性（其中为任意向量）：
（1）（2）（3）
（B）证明下列矩阵范数的等价性（其中为任意矩阵）：

(A)证明: (1) 因为 , ,

(2)

(3) , 因为 ,
所以 , 又 ,
故
(B)因为 , 而
由于,从而

故 即
十二、试证全体形如的数（其中为任意有理数）记为，它构成一个数域。
十三、使用两种不同的方法证明定理：设为阶矩阵，其特征多项式为， 则就有

十四、设为阶实对称矩阵，其特征值为，使证明：

存在最大值和最小值，且最大值是最大值的特征值在其对应的单位向量处取到，即，最大值是最大值的特征值在其对应的单位向量处取到，即。
十五、设，试证明，并利用此结论证明对Householder矩阵（其中单位列向量）有。
证明：根据矩阵分块变换准则有
，
而，故一方面有
另一方面有

因此

根据上述公式有

十六、设A是非奇异n阶方阵，试证明存在置换矩阵P，使得PA=LDU，其中L是单位下三角矩阵，D为对角矩阵，U为单位上三角矩阵（见《现代数值分析》p31-32定理4的证明）。
十七、试述正交变换、正交矩阵、酉变换、酉矩阵、矩阵、矩阵定义。
十八、试求矩阵的标准型，其中

十九、设求证：.
证法一
1．算出特征多项式，
2．指出，
3．使用定理“两个矩阵函数相等当且仅当函数在A的谱上数值相等”正确地证明结论，
证法二
1．算出特征多项式，
2．指出，
3．使用归纳法或直接从多项式分解出因子从而证明结论。
证法三
1．直接计算出，
2．使用归纳法或直接从多项式分解出因子从而证明结论。
解法四、
1．求出A的Jordan标准形；
2．用Jordan标准形计算出结论。
二十、对矩阵，求矩阵函数。
解：
1．求出特征值多项式并指出其为最小多项式，
2．设，
3．列出线性方程组，其
4．算出。
二十一、设矩阵

（1）取何值时，可以对角化?
（2）当可对角化时，求可逆矩阵使得 为对角矩阵。
（3）当可对角化时，求其谱分解表达式。