浅议变式在教学中的应用.doc

浅议变式在教学中的应用
湖北省宜城市官庄初级中学　李学成　王瑛
新的教学理念要求学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验上。青蒲教改实验总结的让所有学生都能有效学习的一种教学结构五个环节是：创设情境、尝试活动、变式训练、归纳总结和回授调。创设情境的重要作用是为学生提供富有挑战性的学习内容，调动学生的认知、行为、情感积极参与学习，使学生的偿试与探究活动顺利展开，学生的潜力得到充分挖掘。可见青蒲经验在新的课改中仍具有强大生命力。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 “变式训练”中的变式，其作用远远超出提高训练效率范畴。所谓“式”即“图式”，现实世界中的空间形式及数量关系都是以“图式”的形式存贮于人的大脑。方程有方程的“图式”，矩形有矩形的“图式”。从系统论的观点看，一种“图式”就是一个系统，它的结构除包含组成系统的各元素外，还包括组成系统各元素间的连结关系。当系统个别元素或连结关系发生改变，系统的性质或功能可能发生改变，进而生成新的“图式”或者丰富原“图式”的内含。变式即“图式”的改变，作为一种教学手段，其重要作用在于它易激活学生的思维，使学生明白新知从哪里来，又经历了哪些变化而生成，从而使学生的认知结构不断得到优化。
案例1：三角尺中的奥秘
师：同学们用三角尺有好些年了，你们知道三角尺中的学问有哪些？（教师拿出含30度的三角尺）如图：
生1：两锐角分别是30度和60度。
生2：斜边的平方等于两直角边上的平方和。
生3：斜边长是较短直角边长2倍。
师：想一想，里、外两个三角形有什么关系？
生：里、外两个三角形相似。
师：非常正确。三角尺中里、外相似的两个三角形同一般相似三角形相比，具有哪些独特性？
生：对应边互相平行。
师：还有吗？
众生：……
师：请大家把里外两个三角形画在纸上，动手试试，看看对应点有何独特的关系。
生：我发现了，对应点的连线成相交一点！
师：真了不起。三角尺中里、外两个三角形不仅相似，而且对应边互相平行，对应点连线相交一点。
做一做：下列图形都是由图1通过平移或旋转得到的，检验一下，它们是否具备图1的特性。

图5
图4
图3
图2
图1

位似图形是相似图形的特例之一。教师利用两种“图式”的内在联系，以学生熟悉的三角尺为载体，创设了让学生在迫切要求之下开展尝试与探究的教学情境。在学生主动地观察、实验、猜测、推理、归纳等数学活动和思维活动中形成位似图形概念，新知识由此自然生成。通过对图1系列变换，突出了位似图形的本质属性，排除非本质属性干扰，并丰富了学生感性认识。探索三角尺里、外两个三角形三边和三个顶点之间的特殊关系，实际上是相似在向位似“流动”，使学生弄清位似的真相，体验位似的生成，扩大了相似内含。感悟相似位似间的和谐，感悟其实就是创新。正是有了变式的理念，位似的生成才是那样的自然和流畅。
案例2: 与相同吗？
师：上节课，我们学习了公式＝a(a≥0)请大家直接说出下列各式的结果。① ②③
师：③式为什么要限制?
生：确保被开方数不是负数。
师：想一想，算式所包含的运算及运算顺序是什么？
生：开平方，平方。运算顺序是先算开平方，然后再平方。
师：很好，如果把算式的运算顺序改变一下，你能写出这个算式吗？
生：。
师那吗？找几个你喜欢的数代入检验一下。
生1：
生2：
师：我觉得你们真胆小，为什么不敢把负数代入检验！
生1：负数不能开平方。
生2：哎呀，负数的平方是正数，当然可以开平方。
师：请大家把负数代入验算，看看结果是什么？
生1：
生2：
师：对吗?
生：a是正数或零时相等，a是负数时不相等。
把鸡蛋煮熟再去壳和先去壳再煮熟，得到的结果显然不同。据此理念，把算式运算顺序稍作改变，便产生了一种新的“图式”，与前式相比有什么不同？种种困惑与求知欲望定会把学生带入跃跃欲试的思维状态。虽然有自己的独特的结构，但它毕竟是由演变而来，这样学生在探究结果时，不会觉得无从下手，他们会自觉把学习公式有关经验迁移到探究中，如把正数代入检验。显然这时的迁移越来越负面，怎样调整探究方向？“我觉得你们真胆小，为什么不敢把负数代入检验？”教师看似漫不经心的“将军”，其实是教师把握了式子变化的关键转折点，正是变一变新知可能会出现。
案例3：为什么会有多种解法？
B
E
F
D
C
A
●
如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB＝AF，BF和AD交于E，求证：AE＝BE。
B
O
A
F
C
D
E
●
图6
分析（1）：由观察可知，由于缺乏包含线段AE、BE的概念图形或定理图形，因此，它们之间的联系难于沟通。连结AB构造了包含线段BE、AE的△ABE，包含∠BAE的Rt△BAD及圆周角∠ABF等概念图形。此时证明思路较为明朗，结论的证明转化证∠BAE=∠ABF，这个问题显然不能通过△ABE来解决，需要换一个角度来看待∠ABE、∠BAE。作为Rt△BAD的一锐角，显然有∠BAD＋∠ABD＝90度，这时寻找与∠ABD互余的角成为探究新方向。连AC，与BC是⊙O的直径结合，则得概念图形——Rt△ABC，进而有∠ACB＋∠ABC＝90度，同时，∠ACB还是弧AB所对的圆周角，至此，沟通∠ABE与∠BAE联系的通道已建立。
A
E GGGGgG
D
O
C
B
F
分析2）：考虑到BC是直径，AD⊥BC，因此，可以构
H
图7
造垂径定理的定理图形。此时，仍缺乏包含线段AE、BE的基本图形，AE、BE难于和垂定理的相关结论建立联系，连结BA，一方面构造概念图形圆周角∠ABF、∠BAH，另一方面通过这两角所对的弧与垂径定理图形整合，则得∠ABF＝∠BAH。
.G
图AEG 8
分析（3）：考虑到A是弧BF的中点，O是圆心，连结OA可构造定理图形平分弧的直径，设OA交BF于G，则构造了概念图形△AEG、△BOG、△AOD， 并使AE、BE成为△ BDE、△AEG的边，考虑△AEG与△BDE全等，则问题获得解决。
数学大师波利亚曾在怎样解题建议“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？”波利亚的建议实际上是在鼓励我们解题题时，通过联想搜索相关解题经验，显然搜索的出发点是条件的特点或结论的特点或二者兼之。把条件视为不同 “图式”的构成元素，可以得到不同的结论，把结论视为不同图式的构成元素，它需要不同的条件。条件、结论只有和图形融合，推理才能展开。添加辅助线重要目的在于构造包含条件或结论的定理图形，不同的辅助线构造的是不同的定理图形。构成图形基本元素如线段、角等，它们之间关系地建立，就是通过包含它们图形之间关系沟通的。因此，改变包含条件或结论的图形，就能得不同的证法。其实本题的条件不变，还有其它成立的结论，如△ABE和△BAF相似等。
本例的三种解法是将成线段AE、BE分别置于等腰三角形和全等三角形去探究证法。方法（1）（2）虽然最终都是应用等腰三角形判定完成证明。但是在证明∠BAE＝∠ABE时，选择的是包含这两角不同的“图式”，换一种视角，产生一种新的方法，优化的是认知和思维结构。
案例4 应用题真有趣
一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/小时，求船在静水中的平均速度。（人教版七年级上册P88例2）
在学生学完本例后可以设计以下变式练习。
1、 轮船顺流逆流时行驶的速度分别是多少？甲乙两码头之间的路程是多少？
2、 若x的意思不变，还可以怎样列方程？
3、 若设甲乙两码头之间的路程是x千米，可以怎样列方程求解？
4、 一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶用2.5小时，已知船在静水中的平均速度是27千米/小时，求水流的速度。
5、 小明、小亮和小华练习打字，打完同一篇文章小明用20分钟，小亮用25分钟。若小明每分钟比小华多打3个字，小亮每分钟比小华少打3个字，求小华每分钟打字多少个。
解题后的反思特别有助于加深学生对问题的理解，变式训练是促使学生反思有效的教学手段。因此当我们讲完一个例子后，不要急于让学生做新的练习，应鼓励学生从不同的角度审视例子，看看是否还有新的解法，是否还有新的结论，变更背景后是否还会做。
练习1是问题的简单深化，练习2练习3属于新解法探究。练习2是在对问题深刻理解基础上产生的。事实上，顺流比逆流每小时快6千米，所以顺流2小时比逆流2小时多行12千米，逆流行驶全程比顺流多用0.5小时，刚好等于顺流2小时多行驶的，因此可列方程0.5(x-3)=12。对量之间内在联系把握越深刻，所列的方程越简单。练习4对问题的条件和结论进行互换，练习5则更换了问题的背景，把行程问题中量之间的关系向工程问题迁移。可见变式训练能使学生真正做到举一反三，在更高层次上体验、理解，进而将知识内化，感悟数学知识的普遍联系性和数学的和谐美 。
概念教学、命题教学、解题数学是数学教学的主要内容，变式作为一种教学手段，它能广泛运用于教学过程始终。这主要是由思维启动特点决定的，完全熟悉的和完全陌生的问题都不容易激活思维，变式处理方法恰好避开太熟悉和太陌生两个极端，使学生的思维活动处于“最近发展期”。由变式创设的探究情境易使学生探究活动顺利展开，从而使学生的学习有意义且富有挑战性。由变式生成的新知识易纳入已有的知识结构，因而它能有效的让更多学生参与学习。
地址：湖北省宜城市南街道办事处官庄初级中学　
邮编：441400
电子邮箱：lxc0303@　
电话：[phone] 13094101278　　　　　
参考文献　《初中数学课堂教学》孙致远著　湖南教育出版社　1994.8。