等腰三角形复习课案例.docx

　等腰三角形复习课案例
襄阳市25中学 易文静

教学目标：
1．了解并掌握等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．
2．了解并掌握等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．
3．能灵活运用性质及判定解决有关问题
命题趋势　等腰三角形、等边三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现。
教学流程：
一、知识梳理
（一）、等腰三角形
1．等腰三角形的有关概念及分类
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底______的等腰三角形和______三角形．
2．等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形．
3．等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．
(二)、等边三角形的性质与判定
1．等边三角形的性质
(1)等边三角形的内角相等，且都等于________；(2)等边三角形的三条边都________．
2．等边三角形的判定
(1)________相等的三角形是等边三角形；(2)________相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为的等腰三角形是等边三角形．
二、基础知识诊断
1．等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，那么，它的底边长为__________．
2．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__________．
3．等腰三角形的底和腰是方程x2－6x＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为(　　)
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
4.等腰三角形中一角的度数为40°，则顶角的度数为 。
5.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则顶角的度数为 。
三、 典型例题
考点一、等腰三角形的性质与判定
【例1】
在⊿ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,
（1）∠A的度数？ ②找出其中的相似三角形
（2）线段BC、AC、CD之间有什么关系，并加以证明。
（3）若AC=2，求BC

【思路点拨】 ①首先识别等腰三角形，反复运用等边对等角、及外角的性质找等量关系，转化为内角和建立方程。

【例2】
已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.
(1) 如图，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；
(2) 若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；
(3) 若点O在△A BC的外部时， AB＝AC成立吗？请画图表示

分析：(1)由题中条件点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等可知过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，则OE＝OF，由此可证Rt△OEB≌Rt△OFC，所以∠B＝∠C，从而得到AB＝AC.
(2) 过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF.通过证明Rt△OEB≌Rt△OFC.得到∠OBE＝∠OCF.又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.

(3)不一定成立．
当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC，如示例图．

方法总结 1．要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等．
2．若三角形中出现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“三线合一”性质去处理．
练习1： 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.

求证：(1)BC＝AD；
(2)△OAB是等腰三角形．

考点二、等边三角形的性质与判定
【例3】(1)如图甲，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求∠AEB的大小．
(2)如图乙，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转(△OAB和△OCD不能重叠)，求∠AEB的大小．

分析：解决等边三角形问题时，要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60°的性质．全等是解决这类问题最常见的方法．
练习2 ：
1、 如图，P、Q是△ABC的BC边上的两点，并且BP=PQ=QC
=AP=AQ,求∠BAC的度数。
分析：此题只告诉了边的数量关系，如何求角的度数呢？可以
利用“等边对等角”来转化。

2、如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD,求证：DB=DE
.
3、 如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取D、E、F，使AD=BE=CF,，求证：△DEF是等边三角形。
分析：要判定⊿DEF是等边三角形，我们可以证三边相等， ,而三边分别在△ADF, △BDE, △CEF中，能否考虑证这三个三角形全等呢？接着可利用等边三角形的性质和已知条件AD=BE=CF，用“边角边”来证三个三角形全等。

四、归纳总结：
1、利用等腰三角形、等边三角形的性质与判定解决有关问题
2、注意一题多解、一题多变，熟练掌握基本图形典型图形
3、掌握数学思想方法(分类讨论、方程、数形结合等)的应用

五、课后练习：
1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(　　)

A．6 B．7 C．8 D．9

1．如图，坐标平面内有一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB＝1 000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在(　　)

A．AB中点 B．BC中点 C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
3．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
4．如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：

①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.
(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况)；
(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．