带参数的二次函数.doc

2011•大庆)已知二次函数y＝ax2－bx＋b(a＞0，b＞0)图象顶点的纵坐标不大于－．
(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
(2)若该二次函数图象与x轴交于A、B两点，求线段AB长度的最小值．
解：（1）由于y=ax2-bx+b（a＞0，b＞0）图象的顶点的纵坐标为，
则≤-，得≥3，-≤-3，
∴该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围是x≤-3；
（2）设A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）
则方程ax2-bx+b=0的两根，
得x1=，x2=，
从而AB=|x2-x1|=
=
=
由（1）知≥6．
由于当≥6时，随着的增大，也随着增大，
所以=6时，线段AB长度的最小值为=2．

(2010．十堰) 已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.
解：（1）分两种情况讨论：
①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[－（3m－1）]2－4m2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0
不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根
综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.
（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.
则有x1+x2=，x1·x2=
由| x1－x2|====，
由| x1－x2|=2得=2，∴=2或=－2
∴m=1或m=
∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－
即y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其图象如右图所示.
（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.
，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；
同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.
观察函数图象可知当b<－或b>－时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
由
当y1=y2时，有x=2或x=1
当x=1时，y=－1
所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，
综上所述可知：当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.

（2010泸洲）已二次函数及一次函数.
(l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标；
(2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图10中画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值：
(3)当时，函数的图象与轴有两个不同公共点，求的取值范围．
解：（1）二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为
(2)①当直线位于时，此时过点,
∴，即。
②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点。
∴方程有一根，
∴，即
当时，满足，
由①②知，或。
（3）∵
∵当时，函数的图象与x轴有两个不同交点，
∴应同时满足下列三方面的条件：
①方程的判别式△=，
②抛物线的对称轴满足，
③当时，函数值，当时，函数值
即，解得。
∴当时，函数图象（）的图象与轴有两个不同公共点．

已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．
解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx
∵一次函数过（1，－b） ∴y=－bx ……………………………3分
（2）∵y=ax2+bx－2过（1，0）即a+b=2 …………………………4分
由得 ……………………………………5分
① ∵△＝
∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解
∴两函数有两个不同的交点． ………………………………………6分
（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解
∴
∴＝
或由求根公式得出 ………………………………………………………8分
∵a>b>0，a+b=2 ∴2>a>1
令函数 ∵在1bx+c的图象与直线y=25有公共点，且不等式ax2+bx+c＞0的解是，求a、b、c的取值范围．
解：依题意ax2+bx+c-25=0有解，故△=b2-4a（c-25）≥0，
又不等式ax2+bx+c＞0的解是-＜x＜，
∴a＜0且有-=-，=-．
∴b=a，c=-a．
∴b=-c，代入△≥0得c2+24c（c-25）≥0．
∴c≥24．
故得a、b、c的取值范围为a≤-144，b≤-24，c≥24．

已知抛物线y＝ax2+x+2.
　　(1)当a＝-1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
　　(2)若代数式-x2+x+2的值为正整数，求x的值；
　　(3)当a＝a1时，抛物线y＝ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线y＝ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N(n，0).若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.
解：(1)方法一：
　　当a＝1时，
　　y=-x2+x+2=-(x2-x-2)=-(x2-x+--2)=-.
　　∴抛物线的顶点坐标为(，)，对称轴为直线x=.……2分
　　方法二：
　　当a=-1时，y=-x2+x+2，∴a=-1,b=1,c=2.
　　 ,
　　.
　　∴抛物线的顶点坐标为(，)，对称轴为直线x=.……2分
　　(2)∵代数式-x2+x+2的值为正整数，∴函数y=-x2+x+2的值为正整数.
　　又因为函数的最大值为，∴y的正整数值只能为1或2.……4分
　　当y=1时，-x2+x+2＝1，解得……5分
　　当y=2时，-x2+x+2＝2，解得x3=0,x4=1.……6分
　　∴x的值为 0或1.
　　(3)方法一：
　　∵当a=a1时，抛物线y=ax2+x+2过x轴正半轴上的点M(m，0)，∴a1m2+m+2=0，m≠0.
　　∴a1=.
　　同理a2=-.……8分
　　a1-a2=-(-)=
　　=.……10分
　　又∵点M、N在x轴的正半轴上，且点M在点N的左边，
　　∴0＜m＜n.∴m-n＜0.∴＜0.
　　即a1＜a2……12分
　　方法二：
　　抛物线y=ax2+x+2的对称轴为.
　　当a＞0时，＜0，
　　此时抛物线y=ax2+x+2的对称轴在y轴的左侧.
　　又∵抛物线y=ax2+x+2与y轴相交于点(0,2)，
　　∴抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴无交点.
　　∴a＞0不合题意.……8分
　　当a＜0时，即a1＜0，a2＜0.
　　经过点M的抛物线y=a1x2+x+2的对称轴为,
　　经过点n的抛物线y=a2x2+x+2的对称轴为.……10分
　　∵点M在点N的左边，且抛物线经过点(0,2)(此时两条抛物线如图所示).
　　∴直线在直线的左侧.
　　∴＜.∴a1＜a2.……12分