第9章多边形小结复习.doc

多边形 小结与复习
考点呈现
考点1 三角形的三边关系
例1 （2011年河北省）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．13
解析：根据三角形的三边关系，可知11＜x＜15.
因为x为正整数，故满足条件的x的值为12、13、14共三个. 故选B.
点评：本题属于中等题，主要考查学生对三角形三边关系及整数性质的掌握．
考点2 确定三角形的个数
图1
例2 在图1所示的图形中，三角形的个数共有（ ）
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解析：根据三角形的定义，只要找到图形中不在同一直线上的三个点，连接后即可构成三角形. 图1中共有四个点，其中不在同一直线上的三个点有三种情况，因此共3个三角形，分别是△ABC，△ABD，△ACD. 故选C.
考点 3 三角形的三线

A
B
C
E
F
D
图2
例3 （2011年鄂州市）如图2，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE， D是AC的中点. 设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF-S△BEF=_____．
解析：因为S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE，所以求出△ABD的面积与△ABE的面积即可.
因为EC=2BE，D是AC的中点，且S△ABC=12，所以S△ABE=12×=4， S△ABD=12×=6，所以S△ABD-S△ABE=6-4=2.
所以S△ADF-S△BEF=2．故填2.
点评：当三角形的高相等时，三角形的面积之比等于底边的比，由此可求出三角形的面积，然后求出差．
考点4 三角形的内角和
例4 （2011年绵阳市）将一副常规的三角尺按图3的方式放置，则图中∠AOB的度数为（ ）
图3
A．75° B．95° C．105° D．120°

解析：方法一：由外角的性质，得出∠AOB的邻补角为75°，所以∠AOB=180°-75°=105°．
方法二：由内角和定理求出∠AOB的对顶角为180°-30°-45°=105°，再根据对顶角相等，得出∠AOB=105°．
故选C.
点评：在三角形中，可以根据三角形内角和定理或外角的性质求一个角的度数．
考点5 三角形内角和与平行线结合
例5 （2011年十堰市）如图4，在直角△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C，且DE//AB.若∠ACD=50°，则∠B的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．25° 图4
解析：先根据两直线平行，内错角相等，得∠A=∠ACD=50°；再根据三角形内角和定理，得∠B=180°-90°-50°=40°. 故选B．
点评：本题考查了平行线和三角形的相关知识，掌握平行线的性质和三角形的内角和定理是解答本题的关键．
考点6 三角形的外角
例6 （2011年怀化市）如图5所示，∠A、∠1、∠2的大小
关系是（ ）
A．∠A>∠1>∠2 B. ∠2>∠1>∠A
图5
C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1
解析：根据三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，由图可知，∠1>∠A，∠2>∠1. 故选B.
点评：本题考查了三角形外角的性质，考查学生的读图能力.
考点7 多边形的内角和与外角和
例7 （2011年长沙市）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
解析：根据多边形内角和公式，运用方程可以求出边数．
设这个多边形的边数是n.
根据题意，得（n-2）·180=900，解得n=7. 故选B．
例8 若一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是______．
解析：明确n边形的内角和为（n-2）·180°，外角和为360°. 然后根据题中的数量关系，列出等式.
设这个多边形的边数为n.
根据题意，得（n-2）·180=4×360. 解得n=10.
所以这个多边形是十边形. 故填10.
点评：考查了多边形内角和定理应用，应用公式时，不要把（n-2）误当做n．
考点8 用正多边形镶嵌
例9 某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形. 若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
解析：能否用同一种正多边形镶嵌平面，关键是求其内角的度数，若内角能整除360，则这样的正多边形便能进行平面镶嵌，否则便不能镶嵌平面.
由镶嵌条件知，单独使用三角形、四边形、正六边形，均可进行平面镶嵌. 故选B.
点评：用同一种大小一样、形状相同的地板砖铺设地面是实际生活中常见的问题，该知识既能充分考查考生对正多边形性质的掌握情况，又能体现学以致用的原则．
误区点拨
误区1 运用三角形的三边关系的性质出错
例1 下列各组中的数分别表示三条线段的长度，试判断以这些长度的线段为边是否可以组成三角形.
（1）3，5，2；2）a，b，a+b（a＞0，b＞0）；（3）3，4，5；（4）m+1，2m，m+1（m＞1）.
错解：（1）（3）能；（2）（4）不能.
剖析：利用三角形三边之间的关系，可以判断已知三角形三条边的长是否可以组成三角形．
正解：（1）因为3+2=5，所以以3，5，2为边的三条线段不能组成三角形；
（2）因为a+b= a+b，所以以a，b，a+b为边的三条线段不能组成三角形；
（3）因为3+4＞5，所以以3，4，5为边的三条线段能组成三角形；
（4）m+1+m+1=2m+2＞2m，所以以m+1，2m，m+1为边的三条线段能组成三角形．
点评：如果三条线段中较短的两线段之和大于第三条线段的长，那么这三条线段肯定能组成三角形，不需要再验证另外两种情况．
误区2 三角形的相关概念理解不透
例2 “三角形的角平分线”与“角平分线”相同吗？
错解：相同．
剖析：三角形的角平分线是指三角形的一内角的平分线与对边相交，交点和这个角的顶点之间的线段，即三角形的角平分线是一条线段；而角平分线是一条射线．
正解：不同．
误区3 对三角形外角的性质理解错误
例3 三角形的外角总比与它相邻的内角大，这种说法对吗？
错解：正确．
剖析：当三角形是直角三角形或钝角三角形时，与直角或钝角相邻的外角就不大于该角．
正解：不正确，正确的说法应为：三角形的外角总大于与它不相邻的内角．
误区4 弄错角之间的关系
A
B
C

D
E
P
例4 如右图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
错解：选A或C.
剖析：解这类题目首先要明确所求的角是哪个三角形的内角或外角.
因为CD、BE分别是AB、AC边上的高，所以∠BDC=∠AEB=90°．
在△ABE中，∠ABE=90°-∠A=90°- 50°= 40°．
因为∠BPC是△BPD的一个外角，所以∠BPC=∠ABE+∠BDC=90°+40°=130°.
正解：选B.
跟踪训练
1. 用12根火柴棒（等长）摆成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同三角形的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 如图1，∠α+∠β的度数是（　　）
A
B
C
图2
A．90° B．135° C．180° D．270°
1
2
β
α
图1

3．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ）
A. 5 　　　 B. 6 　　　 C. 7 　　　 D. 8
4．在△ABC中，已知∠A=40°，顶点C处的外角为110°，那么∠B=_____．
5．三角形的三边长分别为6，2x，8，则x的取值范围是________．
6. 如图2，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大，若∠A减小α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α、β、γ三者之间的等量关系为 ．
E
D
C
B
A

图3
7．如图3，在△ABC中，已知∠B=63°，∠C=51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

8．小明和小华一起做功课，小明对小华说：“我给出一道题你做做！一个多边形各内角都等于72°，求这个多边形的边数．”小华想了又想，答不出来，他灵机一动，对小明说：“我也考考你，一个凸四边形的四个内角的度数比为1:2:3:8，求这个四边形四个内角的度数．”小明想了想说：“你这道题出错了！”小华马上反击道：“你才出错了呢！”他俩说得对吗？若题目正确，请给出回答；若题目不正确，试改变题目中数据使其变成正确的题目．

中考链接
1．（2011 年苏州市）△ABC的内角和为（ ）
A.180° B. 360° C. 540° D. 720°
2．（2011年长沙市）下列长度的三条线段，能组成三角形的是 （ ）
A. 1、1、2 B. 3、4、5 C. 1、4、6 D. 2、3、7
3．（2011年乌兰察布市）如图1，已知长方形ABCD ，一条直线将该长方形 ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．630°
4．（2011年长沙市）如图2，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，AB∥CD，∠ACE=100°，则∠A=_____.
5．（2011年南京市）如图3，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1=______．
A
C

B
D
图1

图3
图2

6．（2011年广安市）若一个凸n边形的内角和为1260°，则从该多边形的一个顶点出发引出对角线的条数是 .
7．（2011年株洲市）按图4摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有 .（写出正确答案的序号）
正三角形
①
正方形
②
长方形
③
正五边形④

图 4

参考答案
多边形小结与复习
跟踪训练：
1. C 2. D 3．C 4．70° 5．1＜x＜7 6. α=β+γ
7．解：因为AE是∠BAC的平分线，所以∠CAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=33°.
又AD是BC边上的高，所以∠ADC=90°.
所以∠DAC=90°-∠C=90°-51°=39°.
所以∠DAE=∠DAC -∠CAE =39°-33°=6°．
8．解：他俩说得都不对，可改为：各内角都等于108°，四个内角之比为3∶4∶5∶6.（答案不唯一）
中考链接：
1．A 2．B 3．D 4．50° 5．36° 6．6 7．②③