1、 从“套”在一起的直角三角形获得的
湖北省钟祥市第五中学 孙红强
在“解直角三角形的实际应用”中，关键要结合实际问题的图形构造直角三角形，利用锐角三角函数的边与角的关系进行求解，于是寻找直角三角形就十分关键。在实际的应用中，有一类比较重要的问题，就是图形中的直角三角形“套”在一起，借助这“套”在一起的两个或两个以上的直角三角形的边、角关系就会解决相关问题。下面从教材中的一个练习题的图形入手进行分析、拓展、应用。
问题：（教材第93页练习题1）
A
B
C
D
图2
如图1，
2、建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度。
图1
研究：根据图1，进行建模，如图2，这样，得到两个“套”在一起的Rt△ACD和Rt
△BCD。在Rt△ACD中，∠ADC＝50°，DC＝40，∴AC＝40×tan50°，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，∴∠CBD＝45°，∴BC＝40，则AB＝AC－BC＝40×tan50°－40＝40（tan50°－1）m。
拓展：通过上面问题的研究，我们可以发现借助“套”在一起的两个三角形中已知的角与边，利用三角函数关系获得其他
3、未知边或角，进而达到解决问题的目的。同时，借助这个问题的研究，我们可以得到两类解决问题的重要方法的拓展。
拓展1：如图2，可以测量山顶或其他建筑物上等不能进行直接测量的物体高度。如图2，可以测得从点D处观察点A、B的仰角∠ADC和∠BDC，测量出DC的距离，就会求出BC的高度、AB的长度；
拓展2：如图3，是将图2绕着点C顺时针旋转90°后得到一个重要的图形。可以借助这个图形来测量不能到达的地方的物体的高度。如图3，要测量物体AB的高度，可以在距离B地任意位置的地方取一点C，测得点A的仰角∠ACB，然后沿射线BC方向再找出一点D，测量CD的长度，测量
4、从D处观察点A的仰角∠ADB。这样，借助两个直角三角形的边角关系可以求出物体AB的高度。
A
B
C
D
图3
应用：借助上面的两个拓展，我们可以解决很多有关测量问题。你可以先利用上面的拓展解决教材中的几个问题，如教材第95页第1题，97页第7题，101页第8题，99页活动2。然后请你解决下面的几个中考问题。
1．（2007年，浙江省杭州）如图4，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度AB大约为（ ）
（Ａ）82米 （Ｂ）163米 （C）52米
5、 （D）70米
A
B
C
D
图4
图5
D
C
B
A
图6
2．（2007年，浙江省湖州）如图5，小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_______________m．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97）
3．（2007年，天津）如图6，从山顶A处看到地面C点的俯角为60°，看到地面D点的俯角为45°，测得CD＝150米，求山高A
6、B．（精确到0.1米，≈1.73）
图7
4．（2007年，天津）如图7，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲乙两人分别在相距8米的A、B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A、B、E三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．(取≈1.73，计算结果保留整数)
图8
5．（2007年，山东青岛）如图8，一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈，ta
7、n21.3°≈， sin63.5°≈，tan63.5°≈2）
6．（2007年，四川乐山）如图9，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离AB．
A
B
图9
要求：
（1）画出测量示意图；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）根据（2）中的数据计算AB．
参考答案：
1．A；2．1．28； 3．614．3米； 4．3米；
5．轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近；
6．（1）测量图，如图示：
（2）测量步骤：
第一步：在地面上选择点C安装测角仪，测得此时树尖A的仰角∠AHE＝α，
第二步：沿CB前进到点D，用皮尺量出C，D之间的距离CD＝m，
第三步：在点D安装测角仪，测得此时树尖A的仰角∠AFE＝β，
第四步：用皮尺测出测角仪的高h；
（3）计算：
A
E
F
H
C
D
B
令AE＝x，则tan＝，得HE＝，又tanβ＝，得EF＝， 由HE－EF＝HF＝CD＝m，∴－＝m，解得x＝，∴AB＝＋h．
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