三角形中位线的应用.doc

三角形中位线的应用
教学目标：
知识目标：使学生在认识三角形中位线定理的基础上，学会应用定理解决几何问题。
过程与方法：1.通过“运动——变化”这一思想方法的运用培养学生“观察——分析”、“归纳——概括”的能力。
2.培养学生由“一般——特殊——一般”的数学思想方法。
情感、态度、价值观：通过三角形中位线定理的应用及图形的运动变化，激发学生的审美情趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。
教学重点：三角形中位线定理的应用.
教学难点：对确定决定图形形状的主要因素的分析和概括.
教学方法：“引导发现——自主探究”法.
教学手段：计算机（课件）.
教学过程设计：

一、问题情境：
首先向同学展示一些漂亮的地毯图案，使学生从中感受到几何图案的美丽。

从这些地毯的图案中，我们会发现有些图案的构成与我们所学的几何知识是有联系的。
比如，在图1中就构造了矩形四边中点所形成的四边形，给我们的感觉很漂亮。我们观察到这个四边形好像是菱形。下面我们就来研究这个问题。

二、研究问题：
问题1：中点四边形
中点四边形的定义：
如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边的中点，则称四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。

“一般四边形”：
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点；试猜想四边形EFGH的形状。
猜想：四边形EFGH是平行四边形。
证明一：连结AC，
∵在⊿ABC中，E、F分别为AB、BC的中点，

∴EF∥AC,EF=AC。
同理HG∥AC,HG=AC。
∴EF∥HG且EF=HG。
∴四边形EFGH是平行四边形。
证明二：连结AC、BD，
(略)
总结：通过一条对角线我们就可以确定四边形EFGH的形状了。

“特殊四边形”：
思考：改变四边形ABCD的形状，结果会怎样？
利用计算机变换四边形ABCD形状，使四边形分别为平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形，研究中点四边形EFGH形状。
发现：中点四边形的形状有矩形、菱形和正方形。
要求学生证明矩形、菱形的中点四边形问题。
思考：决定中点四边形形状的主要因素是什么？

“一般四边形”
结论：决定中点四边形形状的主要因素是四边形对角线的长度和位置。

规律：
（1）若四边形对角线互相垂直，则它的中点四边形为矩形；
（2）若四边形对角线相等，则它的中点四边形为菱形；
（3）若四边形对角线相等且互相垂直，则它的中点四边形为正方形；

问题2
已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD,E、F、M、N分别是CD、AB、AD、BC的中点，EF=MN.求证BD⊥ME.
分析：构造中点四边形。
能够证明四边形EMFN是平行四边形。
由EF=MN，得到四边形EMFN是矩形。
因为EN∥BD,EN⊥ME，
所以BD⊥ME.
问题3
已知：如图，分别以BM、CM为边，向⊿BMC
形外做等边三角形ABM、CDM，E、F、G、H
分别为AB、BC、CD、DA中点。
(1)猜测四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
(2) ⊿BMC形状的改变是否对上述结论有影响？
分析：可以把图形分解成我们所熟悉的图形。
四边形EFGH的形状是由线段AC、BD决定的。
连结AC、BD，⊿AMC与⊿BMD关于点M成旋转对称。
所以AC=BD,因此四边形EFGH是菱形。

如图所示，⊿BMC形状的改变对上述结论没有影响。

反思：在问题2中，通过向三角形形外做等边三角形构造了中点四边形，你还能构造类似的图形吗？
问题3‘
已知：如图，分别以BM、CM为边，向⊿BMC
形外做等腰直角三角形ABM、CDM，E、F、G、H
分别为AB、BC、CD、DA中点。
(1)猜测四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
(2) ⊿BMC形状的改变是否对上述结论有影响。
问题4
已知：如图，分别以AB、AC为边向⊿ABC
形外作正方形ABDE、正方形ACGF，M、N、
P、Q分别是EF、BC、EB、FC的中点。
(1) 猜测四边形MPNQ的形状，试证明你猜想
的结论。
(2) ⊿ABC形状的改变是否对上述结论有影响？请说明理由。
分析：把图形分解成我们所熟悉的图形。
（1）猜想四边形MPNQ可能是正方形。
由右图可知，四边形MPNQ的形状由四边形BCFE的对角线决定.
即四边形MPNQ的形状是由CE与BF的数量关系和
位置关系决定的。

（2）在右图中我们曾讨论过CE与BF的数量
关系和位置关系，得到结论：
⊿EAC与⊿FAB关于点A成旋转对称。
所以CE=BF且CE⊥BF。
因此四边形MPNQ是正方形。

如图所示：
改变⊿ABC的形状，四边形MPNQ仍然是正方形。
因为无论⊿ABC的形状如何改变，CE与BF的数量关系和
位置关系都不发生变化。

三、课堂总结
1通过这节课的学习，你有哪些收获？请对自己这节课的学习做一个评价？
2决定中点四边形形状的主要因素是四边形对角线的长度和位置；
3通过观察图形，学会发现问题，学习中应具备积极探索、勇于创新的品质。