旋转的教学设计和分析.doc

图形的旋转”教学过程概要

环节一 课题的引入。
先让学生观察转动的陀螺，再让学生欣赏动画，再让学生举日常生活中旋转的例子（学生举出时钟上的指针的转动，飞速转动的电风扇叶片，马路上的汽车轮子的转动，自行车行进中轮子的转动……）。然后问：
它们有哪些共同特点？
学生回答：“转”。由此引出课题：图形的旋转。
本环节的设计意图是：利用直观教具丰富学生的感性认识，使学生感受到除平移、轴对称等图形变换外，还广泛存在着旋转现象，从而产生探究这种变换的欲望。
环节二 定义的教学。
教师先利用计算机展示基本几何图形点、线段、三角形绕一个点旋转的动态过程，要求学生在观察后回答问题：
你对旋转是如何理解的？
在学生回答“物体绕一点旋转”后，老师自己给出结论：
像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么点P和点P′叫做这个旋转的对应点。
接着，给出例题1：如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）如果M图1
是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
老师采取问答式，让学生找对应点、对应角，然后讲解如何找对应点、对应角，步骤清楚，指令明确。接着进行概念的实际应用：

图2
题1 如图2，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？
题2 钟表的分针匀速旋转一周的时间为60分．（1）指出分针的旋转中心；（2）经过20分，分针旋转了多少度？
这两个问题的目的是引导学生用旋转概念解决问题，巩固概念。其中，学生对问题1的“旋转角”解释不清，教师帮学生说出了答案（没有引导学生“回到定义去”）。
图3
环节三 探索性质。
教师事先准备了如图3的学具（含有挖空的旋转中心、点、线段、三角形），让全体学生通过旋转作图来探究旋转的性质，并提出了如下问题：
（1）如图4（a），点A绕点O旋转到点B，线段OA与OB什么关系？
（2）如图4（b除∠AOC与∠BOD外，还有哪个角等于旋转角？这样的角有多少个？
（3）如图4（c），△ABC和△DEF的形状和大小有什么关系？
O O ·O
· A · A
D B A B
· ·
A B B C C C
（a） （b） （c）
图4
学生操作、说理后，教师自己归纳出性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等——保距。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角——保角。
（3）旋转前、后的图形全等——保形。
在“设计意图”中教师写道：通过实验，让学生经历“画图→观察→猜想→验证”的过程，为引导学生的思维由具体到抽象、由粗略到精细提供载体；培养学生的动手能力、观察能力和探究问题的能力，以及与人合作交流的能力；以问题为导引，逐步对旋转的性质进行探究，这样既突出了重点，又突破了难点。
接着，给出例题2：如图5，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 A D
E
C
B
图5
在“设计意图”中教师写道：本题一方面巩固正方形和全等三角形的知识，另一方面进一步增强学生对旋转的性质的理解。观察学生的解题
过程，笔者发现有的学生先延长CB到F，使BF＝DE，再连接AF得到旋转后的图形△ABF。
环节四 拓展研究，承上启下。
教师通过改变旋转的“三要素”（即旋转中心、旋转角和旋转方向），让学生体会，当“三要素”中的任意一个发生变化时，旋转所得的图形都会发生改变，从而既加深学生对本节课内容的理解，也拓展了学生的探究范围，为下节课利用旋转设计图案作好铺垫。
对教学过程的分析
（一）以一般的教学理论观点为视角
如果从教学论的一般理论看，本课的教学过程完整。具体而言是：
1．课堂教学结构完整，包括课题的引入、旋转的概念和简单应用、旋转的性质和简单应用、对旋转的拓展研究等环节。
2．教学方法主要采用问答法，注意学生自主活动和教师讲授的结合，安排了多样化的学生活动。
3．对于旋转概念和性质，都先以小组（六人一组）为单位组织学生探究，并在小组活动基础上进行全班交流，最后再由老师总结得出结论。
4．旋转概念的教学安排了如下过程：
（1）以日常生活情景为载体引入课题，激发学生好奇心和学习兴趣；
（2）借助计算机动态演示点、线段和三角形绕一点旋转，让学生观察后回答“你是怎么理解旋转的？”然后教师给出旋转的概念；
（3）教师通过“有哪些关键词值得注意？”引导学生辨析旋转概念，并强调旋转的“三要素”；
（4）安排“等边三角形绕一个顶点旋转”的例题，应用“三要素”解决问题，并强调“找对应点、对应角”的操作步骤；
（5）安排有实际背景的应用题，进一步加深对旋转概念的理解。
上述过程概括起来就是：概念的引入——概念内涵的归纳——概念的明确（给定义）——概念的辨析——概念的应用（用概念解决问题的基本操作步骤）。因此，概念教学环节很完整。旋转的性质的教学过程也是完整的，这里不再赘述。
5．从教学设计中看到，教师注意到了数学与生活的联系，想让学生经历“画图→观察→猜想→验证” 这一完整的思维过程，并要“培养学生的动手能力、观察能力和探究能力，以及合作交流能力”等，结合教师的课堂教学实践，我们可以发现教师具有贯彻“新课程”理念的强烈愿望，而且也在努力实践。
因此，以一般的教学理论为视角，虽然在教学活动的组织实施、教师的教学行为和教学艺术等方面也有一些需要改进的，但整体上看这堂课没有大的瑕疵。
然而，如果从数学的角度，从发挥数学的内在力量开展育人活动的角度，从使学生学会认识问题、解决问题的方法的要求审视本节课的教学，那么需要改进的工作是大量的，而且许多都是带有根本性的。
（二）以数学课程的育人功能为视角
实现数学课程的育人目标，根本上还是要发挥数学的内在力量。这就要求教师在日常教学中，以数学概念的发生发展过程为载体，使学生经历完整的数学思考过程，包括：明确研究的问题，获得研究的对象，确定研究的内容，选取研究的方法，安排研究的进程，获得研究结论。只有这样，才能让学生逐步树立从数学的角度看问题的观点，逐步掌握数学思考的过程与方法，进而学会数学地认识问题和解决问题。从这样的要求来审视本节课的教学，需要改进的问题有：
1．关于研究问题的明确，教师在引入过程中给出的“转动的陀螺情景，学生举出日常生活中旋转的例子，与本课要研究的课题有很大的差距，其中有的是“空间转动”（如转动的电风扇叶片），有的是转动与平移的合成（如转动的陀螺、汽车轮子的转动），有的可以看成是“图形的旋转”（如时钟上指针的转动）。因此，在没有对这些图形的运动类型作适当区分的情况下，只由“它们的共同特征是‘转’”是不能引出课题“图形的旋转”的。这里需要有教师的引导性语言的过渡。
2．关于研究对象的获得，即定义的教学，教师在演示点、线段和三角形绕一点旋转的多媒体课件后，问“你对旋转是如何理解的？”在学生回答“物体绕一点旋转”后就直接给出旋转的定义，这并不能使学生获得研究对象。其中存在问题有三个：一是抽象的过程很不充分，没有对几个典型具体事例的共同特征的归纳过程，因此概括出旋转概念缺乏基础，这将给后续的所有相关学习埋下隐患；二是“你对旋转是如何理解的？”的数学指向不明，改为“要确定一个图形的旋转，需要哪些要素？”这样可以把学生的思维引导到“数学地刻画研究对象”上；第三，没有重视“对应点”这一附属概念的教学，这也会给后续研究埋下思想方法方面的隐患（旋转的性质往往归结为对应点的关系）。
3．关于旋转的性质的研究，教师在学生动手操作之前，没有对什么叫“旋转的性质”、如何研究“旋转的性质”等作出必要的说明，这样就使学生的操作活动带有很大的盲目性。尽管老师提出的三个问题对旋转作图的目的有一定的引领，但其实际效果也只是学生“按照老师的指令做”。
实际上，图形的旋转是一种图形的运动，教学中必须是学生明确，所谓研究“旋转的性质”，就是要研究旋转前后图形的关系。由“点动成线，线动成面”，首先应当研究清楚“对应点”之间的关系；由于几何关系中最基本的是“形状、大小、位置”，所以还应研究旋转前后图形的形状、大小和位置关系。在研究的思想方法上，一定要强调利用好确定这个旋转的“三要素”，这样才能使学生想到把对应点与旋转中心连接起来，进而水到渠成地发现性质（这也是具有普适意义的思想方法，例如研究圆的性质要利用好圆心和半径）。
4．在概念、性质的应用教学中，没有强调“如何应用概念、性质解决问题”，在学生遇到困难或出现错误时，没有引导学生“回到定义去”。
实际上，“概念是思维的细胞”。在解答数学问题时，学生找不到思维的切入点，很大的原因是他们还没有养成“回到基本概念去，从概念的联系中寻找解决问题的思路”的习惯。像例题2的教学，要引导学生思考如下问题：（1）决定这个旋转的“三要素”是什么？（2）旋转后的图形与△ADE有什么关系？（3）要画出旋转后的图形，关键就是要确定哪些点？当然，具体教学时，可以在学生做完后让他们回答“你是怎么做的？为什么？”也可以让学生先思考上述问题后再完成作图。
5．如何为后续学习埋下伏笔？教师通过改变“三要素”让学生观察“旋转效果的变化”，这里并没有留下什么悬念，在数学内容上没有发展的空间。
实际上，学习本节内容，除了研究“图形的旋转”本身的一些性质外，最主要的目的是利用这些性质去解决一些其它几何问题。其中最重要的是利用图形的旋转不改变图形的形状和大小，去探索一些几何图形的性质。所以，这里可以安排一些找两个全等图形（线段、三角形、平行四边形、正多边形、圆）的旋转中心、对应点、对应边、对应角等作业。

体现平面几何“基本套路”的教学设计
几何研究的“基本套路”：
明确问题——定义对象——研究性质（判定）——应用。
其中，“明确问题——定义对象”体现了数学研究对象的抽象过程和数学概念发生发展的完整过程，体现了“数学教学要讲背景”的要求；“定义对象——研究性质（判定）”体现了从概念及概念间的相互关系认识数学对象，通过数学命题刻画图形运动或变化中表现出的规律性。显然，这是数学的内核，也是数学育人的内在力量之所在。
环节一 情景引入，明确问题
引言：在现实世界中存在着各种各样与旋转相关的现象。例如，游乐园里旋转的摩天轮，地球绕着太阳转，汽车行驶过程中车轮的旋转，神州飞船绕着地球转等。因此，认识旋转运动的规律，对于人类的科技发展、生产活动乃至我们的日常生活都是很重要的。
问题1 你能再举出一些旋转的例子吗？
追问：你能将上述旋转大致分分类吗？
引导学生分析、讨论的基础上明确：旋转现象多种多样，例如，如果把太阳和地球都看成一个点，就是一个点绕着另一个固定点的旋转；摩天轮是绕着一根固定的轴旋转；车轮绕着车轴旋转，而车轴向前平移；等。
设计意图：明确研究旋转运动的必要性，为抽象出图形的旋转概念做准备。
先行组织者：我们看到，旋转运动各种各样，而且复杂程度也各不相同。对于复杂的事物，数学中往往采取从简单到复杂的方法开展研究。小学里学过图形的平移、旋转和轴对称，进入初中后，前面我们进一步研究了图形的平移和轴对称。类似的，今天我们将进一步研究图形的旋转这一最简单的旋转运动，也就是：在一个平面内，一个图形绕一个点的旋转运动。
出示课题：图形的旋转
环节二、归纳共同特征，获得旋转的概念
问题2 请同学们自己作一个△ABC，再让它绕着顶点A旋转30°，画出旋转后得到的图形。你能得到几个符合要求的图形？
追问：（1）如果绕着顶点A旋转45°，你又能得到几个图形？（2）如果让△ABC绕平面内任意一点O旋转角α，你能画出旋转后得到的图形吗？（3）比较一下大家画出的图形，你能得到什么结论？
设计意图：让学生通过动手实验，通过比较，感受旋转中心、旋转角和旋转方向等“三要素”对确定一个旋转运动的作用。三角形是最典型的平面图形，先绕着它的顶点旋转，再绕着任意一点旋转，这是一个从特殊到一般的过程，有利于学生从中归纳出旋转的本质特征。
问题3 结合自己的作图过程，你能说说，给定哪些条件才能使旋转后得到的图形是唯一确定的？
可以视学生回答的情况提示，任意一个要素不确定时，图形都不能唯一确定。
设计意图：引导学生归纳旋转的“三要素”。
板书“图形的旋转”的定义（略）。
概念的辨析：你认为应如何理解“把一个平面图形绕着平面内某一点O按某一方向转动一个角度”这句话？
设计意图：辨析概念的关键词，加深理解概念。
通过讨论、引导，明确以下几点：（1）对于一个给定的旋转，点O是固定的一点；（2）转动的角度大小也是固定的；（3）平面图形绕点O转动一个角，实际上就是这个图形上的每一个点绕点O转动了一个角（追问：如何刻画一个平面内的一点A绕点O转动一个角？）。
例1 如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
图1
设计意图：及时巩固概念。让学生独立完成后，请一个学生回答。在学生回答的过程中，以“你是怎么想到的？”为引导，让学生用概念作判断。
补充定义：在一个图形的旋转中，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么点P和点P′叫做这个旋转的对应点。
例如，点M和点M′就是上述旋转的对应点。你能说出上述旋转中点E，A，C的对应点吗？
例2 已知线段AB的长度是6 cm，点O在线段AB的垂直平分线上，且到线段AB的距离为4 cm。线段AB绕点O旋转90°，先画出点A，B的对应点，再画出旋转后的图形。
设计意图：先画对应点，需要作辅助线，这是作对应图形的一个难点，例1的解答有利于突破这个难点。同时，本例也为旋转的性质的探究作了铺垫。
环节三、探究旋转的性质
先行组织者：根据已有的学习经验，得到一种几何对象后，一般要研究两个问题：性质和判定。同样的，对于图形的旋转，我们也要研究有关性质。
问题4 你认为我们应该从什么角度研究“图形的旋转”的性质？可以研究哪些性质？应该如何研究这些性质？
设计意图：让学生先明确研究的方向，再进行具体研究。
师生活动：通过讨论，明确这里的性质，就是指旋转前后图形的关系。最基本的，应当研究清楚“对应点”之间的关系；由于平面几何是研究几何图形的“形状、大小、位置”，所以还应研究旋转前后图形的形状、大小和位置关系。因为一个旋转由“三要素”唯一确定，所以研究中要利用好“三要素”。
学生自主探究：在明确了研究的内容和方法后，让学生独立探究，也可以合作探究。
课堂互动交流：让学生发言，交流研究成果。
在学生发言的基础上，师生一起总结出旋转的性质。
说明：上述设计注重了从概念到性质的研究过程，其用意是让学生学会用概念来思考；还注意了用几何研究的“基本套路”统领研究过程，贯穿着平面几何的基本思想方法。在教学活动中，始终强调“学生先做”，然后交流、互动、总结。这样做的目的就是为了落实数学基本思想和基本活动经验的教学，在这个过程中，学生的分析和解决问题的能力也会得到锻炼。
例3 如图2，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°。你能用几种方法画出旋转后的图形？
设计意图：本题的目的是用旋转的性质解决简单问题。让学生用不同的方法作图，意在拓展学生用性质A D
图5
E
解决问题的思路。例如，只用性质1找到D、E的对应点而作出图形；由性质3，所作图形与△ADE全等，点D的对应点是B，因此延长CB到 B C
F，使BF＝DE，再连接AF就得到旋转后的图形△ABF。
在学生作出图形后，要追问学生是怎么做出的，用了什么性质等。
环节四、课堂小结
1． 请你总结一下本课研究问题的过程。
要点：先从各种旋转现象中，区分出最简单的旋转，即一个平面图形绕平面内一点的旋转；再研究唯一确定一个旋转所需要的条件，进而给出“图形的旋转”的定义；然后研究图形的旋转的性质。
2．研究“图形的旋转”的定义的基本步骤是什么？
要点：先研究几个具体的旋转事例，通过分析、比较，归纳出它们的共同特征，然后再给出概念。接着还对概念的关键词进行了辨析，明确了旋转中心、旋转角和旋转方向都是唯一确定的，一个图形的旋转就是它上面的每一个点的旋转，点的旋转可以用它与旋转中心连线段绕旋转中心的旋转来刻画。
3．“旋转的性质”指什么？我们是如何研究的？
要点：“旋转的性质”是指旋转前后两个图形的形状、大小关系。由于图形的旋转可以归结为点的旋转，因此对应点的关系也是旋转的性质。研究性质时，我们总是与确定这个旋转的“三要素”相联系。
4．我们得到了“旋转的性质”，你认为可以用这些性质解决哪些几何问题？
例如，可以用性质研究图形的全等关系。
5．你觉得还可以研究哪些旋转的性质？
例如，通过旋转，线段的长度、角度的大小、面积的大小等都保持不变，位置关系（如平行、垂直）也不会改变等。