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我的科研之路——与青年教师谈论文写作
                                                    龚雷
1、 与青年教师谈论文写作
大家好！先作个自我介绍，本人姓龚名雷，杭九中数学教师（其他头衔都有会变，只有数学教师这个头衔不会变）。
二十多年的教龄混来一个高级职称，
数学开放题课题研究让我欲罢不能；
中国教育现实有太多的无奈和矛盾，
忍不住对数学教育不断地苦苦追问！
这是我自己设计的一个标志图案：早些时候学过绘画（学得很烂），就用它来签名。外面的图案是字母G，里面是一个空心的字母L，合起来就是我姓名的拼音打头字母GL，整个图案由三种圆锥曲线构成：椭圆、抛物线、双曲线的一部分。下面是我的电子信箱和QQ号。
教研室李老师让我在这里和大家谈一些教学论文写作的问题。大家在大学里都学过《论文指导》之类的课程，如果我今天再把这门课的内容拿出来讲，重复一些地球人都知道的东西，无疑是浪费大家的时间！总得说一些大家在其它地方听不到的东西。所以想来想去，最后决定把这个讲座的切入口定位在我个人的科研道路上，与大家分享一下我个人在数学教育科研上的得与失，这也许可以对大家有一点借鉴作用。因此，我今天的讲座题目就是“我的科研之路”，副标题是“与青年教师谈论文写作”。
2、 我的科研之路
主题确定了以后，写论文就应该考虑整体框架、绘画创作就要考虑构图；音乐创作要思考结构。同样，作今天这个讲座，我首先要说一下整体的构思。
清末著名学者王国维在他的《人间词话》中取几首宋词中的名句来说明做学问的三种境界：“ ‘昨夜西风凋碧树，独上高楼，望断天涯路。’此第一境界也。‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。’此第二境界也。‘众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。’此第三境界也。”其实这里所谓的三种境界，无非就是指认识的三个阶段：迷惘、深入、理解。
我这里借用他的这三种境界，并作适当的调整，形成了这个讲座的五个部分内容：我的教育教研是怎样起步的？在漫长的积累阶段要做一些什么事情？怎样选择一个适合自己的研究课题？从对一些研究成果的反思中可以得到哪些体会？最后是小结，把上面比较乱的东西整理一下要点。
3、 一个题外话：解题铭（分享）
先说一个题外话。原因是我实在太喜欢这东西了，于是自作多情地认为大家也喜欢这东西。这是我贴在K12数学论坛的一个贴子，贴出来以后很多人都说拿去抄给学生看了。我现在是这个论坛的版主，网名叫“田雨”，大家如果愿意与我交流可以上这个论坛。这虽然是仿“陋室铭”的玩笑之作，但写得还是很认真的，这已经是多次修改以后的第四稿了。分享一下吧：“题不在多，有悟则明；问不在难，有得则灵。斯为解题，唯思者倾。快须定理熟，对要概念清；勤练出巧思，浓趣驱惰性。数式图表，可以通九章，达原本。轻定义则涩思，疏符号则难行；入微有数量，直观靠图形。孔子曰：言慎事敏。”
4、 独上高楼，望断天涯路（一）
言归正传。在“起步”这一块内容中，我想和大家分享一下我早期没有正式发表的几篇论文，这也许可以对大家有所帮助。我写的第一篇教学研究论文题目是《对文科数学教学要求的认识》，在1984年，那是我大学毕业参加工作的第三年。当时学校里每年都要求上交一篇《工作总结》，无非是写一些认真备课、关爱学生之类的老生常谈，写到第三年当然就很腻烦了。不想写，但要交差。就想出了这么一个主意，写一篇论文凑数。一方面对自己来说，是练内功，把自己的一些想法利用这个机会梳理一下；另一方面，也交了差，反正交上去也没有人看，对自己来说总比随便抄点没有用的东西要有意义一些。这篇论文从一开始就没有准备发表，写作目的除了交差凑数外，就是练笔练内功，当作一种自我修炼。
第一篇真正意义上的论文，其写作冲动来自一本杂志（名字忘了）上的一篇文章，这篇文章介绍了立体几何中课本中一道习题引出的一个公式（点链接），这个公式现在大家都很熟悉，但在当时这套教材用了没几年，这个公式不像现在那样家喻户晓。我当时看了以后很兴奋，找几道题试着来用这个公式。但很快发现，用这个公式的条件比较苛刻，就是两个平面必须相互垂直。问题就很自然地提了来了：当这两个平面不垂直时，这个公式能推广成什么样子？如果能找到类似的一个公式，把这个公式倒过来用变成了求二面角的一种新方法（我不知道在座的是不是人人都知道这种求二面角的方法）。至少当时对我来说，我是独立研究自己发现了这个公式。不知道有多少兴奋，马上拿起笔来写文章，这种文章最好写：先说一下文章的背景（提一下前面的篇文章，他作了些什么，还有什么没有做，我今天就是来做他没有做的工作），然后给出公式的推广和证明，最后就是公式的运用举例，最好找几道高考题更有说服力。写完以后，自己再读几遍，看看有没有什么漏洞，满意了就找在方格稿纸上（现在很多人都用电脑打印了），当时不懂图应该怎样处理，没有人教我，其实这里面有规矩，有没有按照规矩，编辑一看就知道你是新手还是老手。所以在这里顺便我说一下这个规矩（点下一页），如果你不是用电脑打印，就应该按这个规矩来抄。标题和作者姓名都要居中，在标题与作者姓名的上下都要空一行，所以一般来说（如果标题只有一行的话）正文要在第六行才开始。图形与表格要用黑笔在白纸上画好后，贴在稿纸的相应位置上。（点返回）
可能有人要问，这篇文章你已经把事情做到这个程度，为什么最后不投稿出去。其实我从头到尾都是准备投稿的，最后没有投稿，只是因为看到一本新到的杂志上登出了一篇文章，介绍一模一样的公式！那里的心理是怎样的？可能你们猜不到，我还是蛮兴奋的，因为我知道这篇文章已经达到了正式发表的水平了，说明我在写论文上已经有实力了。
写这篇文章的一个体会就是：论文题目的一个重要来源是多看杂志，杂志上有很多文章，他们不可把所有事情都做完了，没做完的事就是留给我做的。
5、 独上高楼，望断天涯路（二）
1986年，当时标准化考试研究很热，广东高考作为标准化考试的试点，大量引入选择题。另一方面，当时的教师在选择题编制技术上还不成熟，我发现有些选择题根本不用看题干内容，分析一下四个选择支就可以知道答案是什么了。例如（单击）。于是我就专门搜集这种选择题进行研究，研究过程中猜解的方法也就越来越多，最后就总结出了一些选择题的特殊解法写成《选择题的猜解技术》一文（本来是准备送上去评奖的，结果评奖通知不知道被压在哪个环节，等我知道人家早就评好了，投稿因为篇幅太大又不适合。当时在农村中学信息不灵，每次论文评奖都是等人家评好以后才知道这篇文章的课题来源是教学中的需要：高考大量引入选择题，如何指导学生解答选择题就成为很迫切要解决的问题，正好自己对此有点新的发现。
真正投稿的第一篇文章是1987年写的，这篇文章也有一个故事：在讲抛物线的性质的时候，一位学生提问：“双曲线的开口由离心率决定，抛物线的开口由什么决定？”这个问题我自己从来没有想过，也从来没有从哪里看到过说抛物线的开口怎么样。一时不知道怎么回答，好在已经不是第一年教书，临场应变能力还是有一点的，首先表扬一番说这个问题提得好，运用了类比的方法。然后请同学们一起来思考一下这个问题如何回答？其实是在拖延时间，自己脑子里在想问题的答案，直觉上感到这个问题不是很简单，“开口”一词未经严格定义，所以说不清。自己没有想出来，学生倒想出来了，没多久一位学生说：“抛物线的标准方程中除了变量x、y，只有一个字母p，它的开口当然是由p决定的”。表面上看这个说法蛮有道理的，但直觉告诉我问题没有那么简单，所以只是表扬了这位学生学会了用方程研究曲线的方法，这是解析几何的精要所在，但就是不说这个答案对错与否，接着还是讲我课前准备好的内容。这事就这么混过去了。下课回到办公室当然不好受，但又没处请教。当时在农村中学教师之间是比较封闭的：一方面由于平行班只有两个，一人承包，没有同教材的教师可以讨论；另一方面，当时留在农村的一些老教师，大都只是高中或中专毕业，大专毕业也很少，本科毕业的基本上都抽调到城里去了。他们的功底不是很深，所以你不用去问他们，这倒不是说他们肯定不懂，就是懂了也不会对你说。说好听一点是谦虚，其实也有一些是自卑，不敢亮底。你不说人家不清楚你的底细，你一说就露馅了。没人帮忙，只好自己研究。先用第一位学生的类比方法，研究椭圆与双曲线，离心率决定椭圆的扁圆程度、双曲线的开口，这里面“椭圆的扁圆程度、双曲线的开口”两者的共同点是什么？我发现这都是在说曲线的形状，那么能不能说离心率相等的椭圆的形状也相同，这就要进一步追问“形状相同”严格的数学表述是什么？——相似！于是就有了一个大胆的猜想：“离心率相同的椭圆或双曲线是相似的”，这么证明这一点呢？这就要首先弄清“曲线相似的定义是什么，拿出大学里的《初等几何复习与研究》一书找，里面还真有一般曲线相似的定义。接着证明就容易了，一下子想出了三四种证法。写出了《圆锥曲线的相似性》这篇文章，投到数学通报，因为我当时觉得这个发现很了不起，后来才知道，早在二千多年前的古希腊数学家阿波罗尼奥斯，在他的《圆锥曲线论》一书中就有了，我还当作一个新发现来写论文当然只能被人笑话一通了。这是从教学中的疑点产生的研究课题。
6、 独上高楼，望断天涯路（三）
接下来这一篇《用判别式法求函数值域》虽然没有正式发表，但总算是有了读者，是在校内交流的。这篇文章的研究课题来自教学中的难点，用判别式法求函数值域时，学生老是搞不清该注意一些什么什么时候用是保险的，什么时候用可能会出问题，问题可能出在什么地方。搞得我只能对学生说判别式法能不能最好不用，没办法是时候才用。我决心对这个问题进行一番全面系统地研究。就有了这篇文章。
从以上五篇文章看，一个体会就是不要过分的自卑，文章发表不出去不一定是水平不够，可能是运气不好。一个人不可能始终倒楣运，总有时来运转的时候。但是等到时来运转机会降临的时候，如果你没有足够的内功是无法把握机会的。所以在你运气不够好的时候，对自己说，这是我闭门修炼的最佳时机，等到很多机会降临的时候，我就没有时间修炼内功了。最近几年我就感觉自己的内功没有什么长进。
另外，我还要说一下解题研究。以上几篇文章基本上都是属于解题研究的文章，我始终认为，解题研究是一个数学教师进行教学研究的开端。据说现在评高级职称，一般解题文章都能不过。这一点我是这样理解的：评高级从资历上来说，至少也有十几年的教龄，如果你除了解题文章还写不出其它像样的文章，只能说明你解题文章写得还不够多。所以不要因为解题文章对评职称没有用，就不写解题文章。至少对数学年教师来说，我认为应该对年青教师提倡多写解题文章，这对自身提高和教学的帮助是最大的。
7、 衣带渐宽终不悔
在积累阶段，我逐渐养成了订阅教学报刊的习惯，我订阅教学报刊所化的经费与本校老师相比历来是最高的。我刚参加工作的前几年，全年的报刊支出是我半个月的工资奖金收入。买教学参考书和理论书也是我的一种癖好，几乎成为一个书迷，有一年在报纸上看到上海办图书展销会，正好是星期天，我专程到上海去看书展。有人认为书只能借人家的才会认真看，这话不错，我买回来的很多书都是粗略地翻一下就放一边去了。但是，对写论文来来，你说不定什么时候想到的问题与哪一本书上的论述有关，这时候如果你手头没有这本书马上拿来翻一下的话，你的这个想法就没有机会深入下去，过段时间这些想法也就烟消云散了。所以我学理论有两种方式：一种是浏览，每天睡觉前看20分钟。有人说我一拿起书就想睡觉，我也是，就把它当作安眠药不是很好吗！你不要指望这20分钟会学懂些什么，它只是让你知道，以后在用得到的时候你应该找哪一本书来翻。另种方式就是带着问题学，要解决什么问题，找出相关的书来，这时候前面的浏览会帮你很快找到你要的书，看看书中对这个问题有没有解决，解决了的直接拿来用，没有解决的看看书的研究方法能不能为我所用，用他的方法自己解决这个问题，如果成功了一篇论文也就出来了。
另外，写论文、教学研究少不了一些工具书也是案头必备的。
8、 众里寻她千百度（一）
下面介绍几篇我正式发表的和获奖的论文，顺便谈谈选择课题的问题。我的第一篇正式发表的第一篇论文是一篇“命题作文”。当时我在浙江教育学院进修，1993年3月中央电视台新闻联播节目报道了当年高考数学要考应用题，《教学月刊》杂志要在高考前的6月号上组织几篇应用题的文章。戴再平教授当时是我的老师，因为我班里的学习委员，和他关系比其他同学更近一些，他问我你能不能写一篇文章，内容也给我规定了：就说清这样几个问题：什么是数学应用题？高考为什么要考应用题？高考应该考怎样的应用题？最后选编几道应用题附在最后。我当时回答说我试试看，他接着说，不能试试看，你能写就一定要写出来，杂志给你留着版面，时间是一个星期；你不能写我就找别人写。当时我只是一个二级老师，从没有正式发表过文章，这种机会相当难得，所以我就一咬牙说能，我来写！这件事的一个体会就是：给自己一个任务，或者接受一个任务，就是给自己创造一个机会。现在教研室有很多事情是需要我们一线老师共同参与来做的，对于一位年青老师来说，有些事情没有做过是不知道自己能不能做的。如果你一咬牙接受了任务，下决心做好它。对自己来说就是抓住了一个发展机会。
另外，从选择课题角度来反思这篇文章，显然是抓住了一个热点问题。这类问题一般杂志都很欢迎。当然，既然是热点，就有可能写的人很多，这就相应地提高了对论文质量的要求。如果对热点问题没有自己独特的想法，这种文章有时候也难以发表。也不是说肯定发表不了，有些热点问题，杂志可能会根据形势，为了造一种声势而集中发几篇某一专题的文章，这个时候如果编辑手头实在没有高质量的文章，也会发一些没有新意的文章。
我的第一篇获奖论文是关于初中计算器教学的，这个课题一直到现在还是一个冷点，没有多少人在关注这个问题写得人少，也就没有了竞争者。但是，如果冷点问题中找不出几个热点，也是没有人要来看你的。所以要在冷点中找热点，或者是把冷点与热点联系起来。比如在我这篇文章中，我就把计算器教学与数学素质教育这个热点联系起来（当时关于素质教育的讨论非常火爆），阐述在素质教学背景中，计算器教学应该教什么？怎样教？提出了当时计算器教学中存在的一些问题，但是你要说现实出了问题，就不能空口说白话，于是我就设计了一次测验，以这个测验的结果来说明现实存在的问题。所以文章标标题就叫做《从一次测验谈初中义务教育中的电子计算器教学》。
9、 众里寻她千百度（二）
第一篇投稿并正式发表的文章是《数学开放题的分类》发表在湖北的《中学数学》上，这篇文章的故事也很长：在我的《谈数学应用问题》这篇文章发表以后，应该说我在这个“应用题”课题的研究上已经有一些研究基础，而且随着高考的推动，这个课题再热三五年是没有问题的。那我为什么突然停掉了应用题的研究而转向开放题的研究呢，这有以下几点考虑：
（1）个人研究兴趣，应用题中很少能有数学的美感，长篇累赘的，我自己做这种题都嫌烦。（2）由于高考的推动，应用题的研究肯定会一哄而上，由于当时还在农村中学，对外面的世界了解不是很多，我对自己的能力估计也不乐观，我认为在大家一哄而上的时候，高手云集在同一个课题，我很难比得过别人。（3）我在《谈数学应用问题》这篇文章中就提出。高考应用题不是终极目标，是走向开放题的一种过渡。当时我的估计是用三年左右时间完善应用题，大约五年时间就会推出开放题，现在看来这个估计太超前了。但这个观点我还是坚信的，高考的步伐没有我想象的这么快，是因为我对开放题的研究难度估计不足。（4）最后，我十分看好开放题在实施数学素质教育中的作用，认为这个课题无论是素质教育还是应试教育都会被看好的课题。
所以我在这里选择了一个“将要热但还没有真正热起来的冷点”，我比别人早一步介入这个领域，等这个课题一热起来，别人还搞不清是怎么一回事的时候，我已经研究得比较深入了，这就有了我的优势。那个时候我浙江教育学院专升本毕业不久，我就给戴再平教授写了一封信，里面有一句话我现在还记得我是这样说的：“开放题的一个很有魅力的课题”，表示我愿意对这个课题进行研究，并且希望得到他的帮助。戴老师回信寄来一篇他从日本带回来的开放题论文，说把它翻译出来很多杂志都会愿意发表，我不懂英文，请英语老师帮忙，几番折腾总算翻译出来了，翻译的质量也可想而知，投了几家杂志也没有人理你。这次我决定自己投稿，不要戴老师推荐，主要是想衡量一下自己的实力。反思一下投了几次没有成功的原因，因为是翻译文章，我必须尊重原文，而的英文水平又不可能对原文理解得很到位。最后我决定，以这篇文章为基础，按自己的理解重新组织改写。也不管原文作者是什么意思，就当成我自己的观点，写成《数学开放题的分类》这篇文章，现在看来这篇文章对数学开放题的理解是相当肤浅的，所谓“初生牛犊不怕虎”，当时也不知天高地厚地取名为《数学开放题的分类》。后来发表在《中学数学教学参考》上的一篇同样是讨论“数学开放题分类”的文章，是在这篇文章的基础上的更深入一步的研究，但标题反而谦虚了很多，叫做《数学开放题的常见题型》，不敢说“分类”了，因为感觉对数学开放题的研究还很不完善，远没有到对它进行分类的火候。
这篇文章发表以后，戴老师从杂志上看到后专门写信来鼓励一番。后来他在申请全国九五重点课题《开放题：数学教学的新模式》的时候就把我列入了课题组成员。这个课题正式立项以后，我就再没法向开放题说byby了！
从这个故事中我的体会是，有三种条件可以使你在积累过程中产生飞跃性的发展：这就是个人的实力进步（也就是内功练到一定的程度）、各种偶然的机会、以及能为你提供一种“专业引领”的专家做导师。
10、 蓦然回首，那人却在灯火阑珊处1
最后，和大家分享一下我的部分研究成果，这里主要谈从这些成果中的一些体会。由于我开放题的研究走在了全国的前列，所以就有了各种学术交流的机会，这里我要重点谈一下与专家交流的问题。戴老师的学生成千上万，为什么偏偏我有这个运气成为他的研究伙伴？这不能简单地归结为我的个人实力，其实在戴老师的学生中，无论从哪一方面说，我都排不上最优秀的。但是有一点可能是我的特点，就是在研究中不要太计较个人名利。有的人，工作没有做出多少就在名利上斤斤计较，这反而限制了自己的发展。有时候你的一篇几千字的文章给一位专家看，他给你改了几十个字，结果发表的时候他的名字在前，你反而是第二作者，这时候你可能就有想法了。其实这里有很多原因，一种原因是，如果不是他第一作者，别人根本就不会给你发表；另一种原因是，虽然他只改了几十个字，但就是因为这几十个，你的文章就提升了几个档次！“舍得，舍得，舍字在前，得字在后，有舍才有得”，这不但是写文章的道理，也是做人的道理。用经济学的话来说，只有投资在前，才有收益在后。与专家的交流，不管他拿去多少，你不会亏到哪里去（因为他是专家，他的东西比你多得多，你从他那里学到的东西也就肯定比他从你那里拿去的要多得多）。
11、 蓦然回首，那人却在灯火阑珊处2
这里再讲一下我的另一篇发表文章《数学开放题的设问方式》。这篇文章是由平时的点滴想法组织起来的，首先发表在华东师大的《数学教学》上，后来获省自然科学优秀论文三等奖，这是一个比较高级别的奖，发奖单位是省人民政府、省科协、省人事厅。参加评比的大都是大学里的研究成果，中学教师很少有得三等奖以上的。后来在写《数学开放题教学设计中的几个问题》一文的时候，又把这篇文章组织进去了，这篇文章是98上海会议的大会报告，获第13届杭州市中小学教学专题研究优秀论文二等奖。也就是说，我这些点滴想法，已经在四个地方开花结果了。所以说长期积累很重要，平时注意记下每一个零碎的想法，你不要担心这些想法有没有用，等有用的时候再记就来不及了，可能有些是没用，但也有很多迟早会有用的，这叫做厚积薄发。
12、 蓦然回首，那人却在灯火阑珊处3
到现在为止，我曾经为以下几个专栏写过文章，这些文章本身是很不起眼的“豆腐干”，但因为你的名字在专栏里经常露脸，也就能“混个脸熟”。我在这里要提一下这件事，是为了说明写论文的第二个作用，就是“聚外力”。教师的工作比较特别，有一句话叫“亲其师，信其道”。学生是不是服你，除了教师的个人魅力外，外力的作用也很重要。我以前有一位学生，她从她的初中数学老师那里了解到我的名气很大，于是她就对我很信服，而对有些学生他并不了解我在外面的名声，就不一定这样地信服了。这位初中教师我还是通过这位学生才认识的，以前并不认识，其实她也只不过是看过我的几篇文章，听过我的一场报告而已。
13、 板凳愿坐十年冷，文章不写半句空
最后我把前面的内容要点作一个小结整理：
• 论文写作的作用：练内功；聚外力
• 论文课题的来源：教学杂志；教学需要；教学疑点；教学难点；从解题研究开始
• 学习理论的方法：浏览；带着问题学
• 选择课题的方法：热点问题；冷点问题；将要但还没开始热的冷点
• 体会：给自己一个任务；与专家交流；　长期积累，记下每一个零碎的想法
14、 其他几点体会
还有几点体会，这里只能简单提一下，不展开讲了：跳出个人的工作圈子可以提高论文的基点、要重视情报资料工作、好文章不是写出来的而是改出来的。
15、 欢迎交流，谢谢！
愿意对我进行交流的朋友可以利用网络联系，谢谢大家！