2013年南京市中考数学试卷解析.doc

南京市2013年初中毕业生学业考试
数 学
注意事项：
1. 本试卷共6页。全卷满分120分。考试时间为120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
2. 请认真核对监考教师在答题卡上所黏贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，
在其他位置答题一律无效。
4. 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、 选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1. 计算12-7´(-4)+8¸(-2)的结果是
(A) -24 (B) -20 (C) 6 (D) 36
答案：D
解析：原式＝12＋28－4＝36，选D。
2. 计算a3．( )2的结果是
(A) a (B) a5 (C) a6 (D) a9
答案：A
解析：原式＝，选A。
3. 设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法： a是无理数；‚ a可以用数轴上的一个点来表示；ƒ 3切都有，没有内含，选D。
5. 在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图像与反比例函数y= 的图像没有公共点，则
(A) k1+k2<0 (B) k1+k2>0 (C) k1k2<0 (D) k1k2>0
答案：C
解析：当k1>0，k2<0时，正比函数经过一、三象限，反比函数在二、四象限，没有交点；当k1＜0，k2＞0时，正比函数经过二、四象限，反比函数在一、三象限，没有交点；所以，选C。
6. 如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂
有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是

答案：B
解析：涂有颜色的面在侧面，而A、C还原后，有颜色的面在底面，故错；D还原不回去，故错，选B。
二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分)
7. -3的相反数是 ；-3的倒数是 。
答案：3；-
解析：负数的相反数为正数，绝对值相等，一个数的倒数是将原数分子与分母对换位置。
8. 计算 - 的结果是 。
答案：
解析：原式＝
9. 使式子1+ 有意义的x的取值范围是 。
答案：x¹1
解析：当x＝1时，分母为0没有意义，故x¹1
10. 第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000
名青少年志愿者提供服务将13000用科学记数法表示为 。
答案：1.3´104
解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
A
B
C
D
B’
1
C’
D’
13000＝1.3´104
11. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置，
旋转角为a (0°°，ÐED=160°，由四边形的内角和为360°，可得Ða=20°

12. 如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2 cm， ÐA=120°，则EF= cm。

答案：
解析：点A恰好落在菱形的对称中心O处，如图，P为AO中点，所以E为A职点，AE＝1，ÐEAO=60°，EP＝，所以，EF＝

13. △OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形。若△OAB的 一个内角为70°，则该正多边形的边数为 。
答案：9
解析：若∠OAB＝∠OBA＝70°，则∠BOA＝40°，边数为：＝9；
若∠BOA＝70°，则边数为：不可能，因此，边数为9。
14. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出
方程： 。
答案：本题答案不唯一，如(x+1)2=25；
解析：把缺口补回去，得到一个面积25的正方形，边长为x＋1。
15. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，AC与BD相交
x
y
A
B
C
D
P
O
于点P。已知A(2, 3)，B(1, 1)，D(4, 3)，则点P的坐标为（ ， ）。
答案：3；
解析：如图，由对称性可知P的横坐标为3，
，即，所以，PE＝，＋1＝
故P的坐标为（3，）。
16. 计算(1----)(++++)-(1-----)(+++)的结果是 。
答案：
解析：设x＝+++，则原式＝（1－x）（x＋）－（1－x－）x＝
三、解答题 (本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
17. (6分) 化简( - )¸ 。
解析： 解：( - )¸ = ． = ． = 。

18. (6分) 解方程 =1- 。
解析：方程两边同乘x-2，得2x=x-2+1。解这个方程，得x= -1。
检验：x= -1时，x-2¹0，x= -1是原方程的解。 (6分)

19. (8分) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分
ÐABC，P是BD上一点，过点P作PM^AD，PN^CD，垂
A
B
C
D
N
M
P
足分别为M、N。
(1) 求证：ÐADB=ÐCDB；
(2) 若ÐADC=90°，求证：四边形MPND是正方形。
解析：
证明：(1) ∵BD平分ÐABC，∴ÐABD=ÐCBD。又∵BA=BC，BD=BD，
∴△ABD @ △CBD。∴ÐADB=ÐCDB。 (4分)
(2) ∵PM^AD，PN^CD，∴ÐPMD=ÐPND=90°。
又∵ÐADC=90°，∴四边形MPND是矩形。
∵ÐADB=ÐCDB，PM^AD，PN^CD，∴PM=PN。
∴四边形MPND是正方形。 (8分)
20. (8分)
(1) 一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同。求下列事件的概率：
 搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
‚ 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球；
(2) 某次考试有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的，如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部选择正确的概率是
(A) (B) ()6 (C) 1-()6 (D) 1-()6
解析： (1) 解：j 搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：红、黄、蓝、白，共有4种，它们出现的可能性相同。所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为事件 A)的结果只有1种，所以P(A)= 。
k 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：(红，红)、(红，黄)、(红，蓝)、(红，白)、
(黄，红)、(黄，黄)、(黄，蓝)、(黄，白)、(蓝，红)、(蓝，黄)、(蓝，蓝)、(蓝，
白)、(白，红)、(白，黄)、(白，蓝)、(白，白)，共有16种，它们出现的可能
性相同。所有的结果中，满足“两次都是红球”(记为事件B)的结果只有1种，
所以P(B)= 。 (6分)
(2) B (8分)
21. (9分) 某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机
抽取了150名学生进行抽样调查。整体样本数据，得到下列图表：
某校150名学生上学方式
频数分布表
方式
划记
频数
步行
正正正
15
骑车
正正正正正正正正正正正
51
乘公共交通工具
正正正正正正正正正
45
乘私家车
正正正正正正
30
其它
正正
9
合计

150

某校150名学生上学方式
扇形统计图
其它
步行
骑车
乘私家车
乘公共
交通工具
6%
10%
34%
30%
20%

(1) 理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由：
(2) 根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计
700
人数
某校2000名学生上学方式条形统计图
600
500
400
300
200
100
步行
骑车
乘公共
交通工具
乘私家车
其它
上学方式
图；

(3) 该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议。如：骑车上学的学生数约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地。请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议： 。
解析：解：(1) 不合理。因为如果150名学生全部在同一个年级抽取，那么全校每个学生被抽到
的机会不相等，样本不具有代表性。 (2分)
700
人数
某校2000名学生上学方式条形统计图
600
500
400
300
200
100
步行
骑车
乘公共
交通工具
乘私家车
其它
上学方式

(3) 本题答案不唯一，下列解法供参考。
乘私家车上学的学生约400人，建议学校与交通部门协商安排停车区域。 (9分)
22. (8分) 已知不等臂跷跷板AB长4m。如图j，当AB的一端碰到地面时，AB与地面的夹
角为a；如图k，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为b。求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH。(用含a、b的式子表示)
j
O
A
B
A
B
a
H
O
b
H
k

解析：解：在Rt△AHO中，sina= ，∴OA= 。 在Rt△BHO中，sinb= ，∴OB= 。
∵AB=4，∴OA+OB=4，即 + =4。∴OH= (m)。 (8分)

23. (8分) 某商场促销方案规定：商场内所有商品案标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额。
消费金额(元)
300~400
400~500
500~600
600~700
700~900
…
返还金额(元)
30
60
100
130
150
…
注：300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同。
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400´(1-80%)+30=110(元)。
(1) 购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
(2) 如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？
解析：解：(1) 购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元，
顾客获得的优惠额为1000´(1-80%)+150=350(元)。 (2分)
(2) 设该商品的标价为x元。
当80%x£500，即x£625时，顾客获得的优惠额不超过625´(1-80%)+60=185<226；
当500<80%x£600，即625£x£750时，(1-80%)x+100³226。解得x³630。
所以630£x£750。
当600<80%x£800´80%，即750 顾客获得的优货额大于750´(1-80%)+130=280>226。
综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优或额不少于226元，
那么该商品的标价至少为630元。 (8分)

24. (8分) 小丽驾车从甲地到乙地。设她出发第x min时的速度为y km/h，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系。
(1) 小丽驾车的最高速度是 km/h；
(2) 当20£x£30时，求y与x之间的函数关系式，并求出小丽出发第22 min时的速度；
(3) 如果汽车每行驶100 km耗油10 L，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？
方法指导
如果物体的运动速度随着时间均匀增加(或减少)，那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数。例如，由图像可知，第5 min到第10 min汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为 =36(km/h)。该时间段行驶的路程为36´ =3(km)。
A
B
C
D
x(min)
y(km/h)
240
480
720
O
100
200
300
400
500
E
F

解析：解：(1) 60；(1分)
(2) 当20£x£30时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b。
根据题意，当x=20时，y=60；当x=30时，y=24。
所以，解得。所以，y与x之间的函数关系式为y= -3.6x+132。
当x=22时，y= -3.6´22+132=52.8。
所以，小丽出发第22min时的速度为52.8km/h。(5分)
(3) 小丽驾车从甲地到乙地行驶的路程为
´+´+60´+´+´+48´+´
=33.5(km)。

所以，小丽驾车从甲地到乙地共耗油33.5´=3.35(L) (8分)

25. (8分) 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O
的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过
点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC
A
B
C
D
O
M
P
于点M，交过点C的直线于点P，且ÐBCP=ÐACD。
(1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。
解析： 解法一：(1) 直线PC与圆O相切。
j
A
B
C
D
O

M
P
N
如图j，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。
∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。
∵ÐBAC=ÐBNC，∴ÐBNC=ÐACD。
∵ÐBCP=ÐACD，∴ÐBNC=ÐBCP。
∵CN是圆O的直径，∴ÐCBN=90°。
∴ÐBNC+ÐBCN=90°，∴ÐBCP+ÐBCN=90°。
∴ÐPCO=90°，即PC^OC。
又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (4分)

(2) ∵AD是圆O的切线，∴AD^OA，即ÐOAD=90°。
∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC。
∴MC=MB。∴AB=AC。
在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3，
由勾股定理，得AM===6。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)2+32=r2。解得r= 。
在△OMC和△OCP中，
∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，
∴△OMC～△OCP。∴ = ，即 = 。
∴PC= 。(8分)
A
B
C
D
O
M
P
k
解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图k，连接OC。
∵AD是圆O的切线，∴AD^OA，
即ÐOAD=90°。
∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，
即OM^BC。
∴MC=MB。∴AB=AC。∴ÐMAB=ÐMAC。
∴ÐBAC=2ÐMAC。又∵ÐMOC=2ÐMAC，∴ÐMOC=ÐBAC。
∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。∴ÐMOC=ÐACD。又∵ÐBCP=ÐACD，
∴ÐMOC=ÐBCP。∵ÐMOC+ÐOCM=90°，∴ÐBCP+ÐOCM=90°。
∴ÐPCO=90°，即PC^OC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。
(2) 在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3，
由勾股定理，得AM===6。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)2+32=r2。解得r= 。
在△OMC和△OCP中，∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，
∴△OMC～△OCP，∴ = ，即 = 。
∴PC= 。(8分)

26. (9分) 已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m) (a、m为常数，且a¹0)。
(1) 求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；
(2) 设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。
 当△ABC的面积等于1时，求a的值：
‚ 当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。
解析： (1) 证明：y=a(x-m)2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am。
因为当a¹0时，[-(2am+a)]2-4a(am2+am)=a2>0。
所以，方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有两个不相等的实数根。
所以，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。(3分)
(2) 解：j y=a(x-m)2-a(x-m)=(x- )2- ，
所以，点C的坐标为(,- )。
当y=0时，a(x-m)2-a(x-m)=0。解得x1=m，x2=m+1。所以AB=1。
当△ABC的面积等于1时，´1´| - |=1。
所以´1´( -)=1，或´1´=1。
所以a= -8，或a=8。
k 当x=0时，y=am2+am，所以点D的坐标为(0, am2+am)。
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，
´1´| - |= ´1´| am2+am |。
所以´1´( -)= ´1´(am2+am)，或´1´ = ´1´(am2+am)。
所以m= - ，或m= ，或m= 。 (9分)

27. (10分) 对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个
三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为
逆相似。例如，如图，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，
因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似；如图‚，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与
A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。
k
A
B
C
j
A
B
C
A’
B’
C’
A’
B’
C’

(1) 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： △ADE与△ABC；
‚ △GHO与△KFO； ƒ△NQP与△NMQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。(填写所有符合要求的序号)
(2) 如图ƒ，在锐角△ABC中，ÐA<ÐB<ÐC，点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重
合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明
A
B
C
l
理由。

解析：

(1) jk；l (4分)
(2) 解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。
第一种情况：如图j，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、
PQ2，分别使ÐCPQ1=ÐA，ÐBPQ2=ÐA，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似。
第二种情况：如图k，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作ÐCBM=ÐA，BM交AC
于点M。
当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使ÐAP1Q=ÐABC，此
时△AP1Q与△ABC互为逆相似；

当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使ÐAP2Q1=ÐABC，
ÐCP2Q2=ÐABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似。

第三种情况：如图l，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作ÐBCD=ÐA，ÐACE=ÐB，
CD、CE分别交AC于点D、E。
当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使ÐAP1Q=ÐABC，此时
△AQP1与△ABC互为逆相似；
当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使ÐAP2Q1=ÐACB，
ÐBP2Q2=ÐBCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q’，使ÐBP3Q’=ÐBCA，
此时△Q’BP3与△ABC互为逆相似。 (10分)
A
B
C
Q1
P
j
Q2
A
B
C
Q1
M
Q2
Q
P1
P2
A
B
C
Q1
Q’
Q
P1
P2
D’
E
Q2
P3
k
l

系列资料