【2014淄博一模】山东省淄博市2014年高三第一次模拟考试数学文科试题(word版_含答案).doc

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淄博市2013—2014学年度高三模拟考试试题
文 科 数 学
本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，那么的值是
A．      B．    C．    D．
4．在等差数列中，已知，则=
A．10 B．18 C．20 D．28
5．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为
A．3 B．126
C．127 D．128

6．设，，若，则的最小值为
A．      B．6         C．         D．
7．把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
A． B．
C． D．
8．下列说法正确的是
A．“为真”是“为真”的充分不必要条件；
B．设有一个回归直线方程为，则变量每增加一个单位，平均减少个单位；
C．若，则不等式成立的概率是；
D．已知空间直线，若，，则．
9．过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为
A． B． C． D．2
10．若函数的导函数在区间上的图像关于直线对称，则函数在区间上的图象可能是

A．①④ B．②④ C．②③ D．③④

第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．已知函数为奇函数，当时，，则满足不等式的的取值范围是 ．
12．已知变量满足约束条件，则的最大值是 ．
13．已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于 ．
14．已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为 ．
15．对于大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
．仿此，若的“分裂数”中有一个是2015，
则 ．
三、解答题：本大题6小题，共75分
16．（本题满分12分）
已知向量，，函数， 三个内角的对边分别为.
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若求的面积．
17．（本题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，，∥，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面．
18．（本题满分12分）
参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：
（Ⅰ）求参加数学抽测的人数、抽测成绩的中位数及分数分别在，内的人数；
（Ⅱ）若从分数在内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在内的概率．
19．(本题满分12分)
在数列中，，，设．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数．
20．（本题满分13分）
已知椭圆：的离心率为，右焦点到直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证：为定值．
21．（本题满分14分）
已知函数，（，）．
（Ⅰ）判断曲线在点（1，）处的切线与曲线的公共点个数；
（Ⅱ）当时，若函数有两个零点，求的取值范围．

一模数学试题参考答案及评分说明2014.3
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．B 9．C 10．D
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（文科） 12． 13．（文科）（或）
14．（文科） 15．（文科）45
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（文科 本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得

== ，…………3分
令
解得
所以函数的单调增区间为 .………………6分
（Ⅱ） 解法一：因为所以，
又，,
所以，所以, …………………………8分
由正弦定理把代入，得到 …………10分得 或者 ，因为 为钝角，所以舍去
所以，得.
所以，的面积 . ……………………12分
解法二：同上（略）, …………………………8分
由余弦定理，，得，或（舍去）10分
所以，的面积 . ……………………12分
17．（文科 本题满分12分）
证明：（Ⅰ）连接，因为 、分别是,的中点，所以 ∥．………………………2分
又因为 平面，平面，
所以 ∥平面．…………4分
（Ⅱ）连结，.因为 平面，平面，
所以 平面平面 …………………………………………6分
因为 ，是的中点， 所以
所以 平面． …………………………………………8分
因为 ∥,
所以 四边形为平行四边形，所以 . ……………………10分
又 ，所以 所以 四边形为平行四边形，
则 ∥. 所以 平面． …………………12分
18．（文科 本题满分12分）
解：（Ⅰ）分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有 人． ……………………………………………2分，
由， 得 ， ……………………………………………3分
茎叶图可知抽测成绩的中位数为 ． …………………………………4分
分数在之间的人数为 ……………………5分
参加数学竞赛人数，中位数为73，分数在、内的人数分别为 人、 人． ………………………………………6分
（Ⅱ）设“在内的学生中任选两人，恰好有一人分数在内”为事件 ，
将内的人编号为 ；内的人编号为
在内的任取两人的基本事件为： 共15个…………………………………………9分
其中，恰好有一人分数在内的基本事件有
共8个
故所求的概率得 ………………………11分
答：恰好有一人分数在内的概率为 ………………………12分
19．(文科　本题满分12分)
解证：（Ⅰ）由两边加得， ……2分
所以 ， 即 ，数列是公比为的等比数列…3分
其首项为，所以 …………………………4分
（Ⅱ） ……………………………………5分
①
②
①-②得

所以 ………………………………………………8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)得，所以
……………10分

所以不超过的最大的整数是．………………………………12分
20．（文科　本题满分13分）
解证：（Ⅰ）由题意得，，……………………………2分
所以，，所求椭圆方程为． …………………… 4分
（Ⅱ）设过点 的直线方程为：，
设点，点 …………………………………5分
将直线方程代入椭圆
整理得： ………………………………… 6分
因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，
且 …………………………7分
直线的方程为：，直线的方程为：
令，得点，，
所以点的坐标 ………………………………… 9分
直线 的斜率为
……… 11分
将代入上式得：

所以为定值 ………………………………… 13分
21．（文科　本题满分14分）
解：（Ⅰ），所以斜率 …………………………2分
又，曲线在点（1，）处的切线方程为…………3分
由 ……………………4分
由△=可知：
当△>时，即或时，有两个公共点；
当△=时，即或时，有一个公共点；
当△<时,即时，没有公共点 ……………………7分
（Ⅱ）=，
由得 ……………………8分
令，则
当，由 得 …………………10分
所以，在上单调递减，在上单调递增
因此， ……………………11分
由，比较可知
所以，当时，函数有两个零点.……………14分

高三数学（文科）试题 第10页（共10页）