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初二全等三角形所有知识点总结和常考题
知识点：
1.基本定义：
⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.基本性质：
⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
3.全等三角形的判定定理：
⑴边边边（）：三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边（）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角（）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边（）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
⑸斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
全等.
4.角平分线：
⑴画法：
⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
5.证明的基本方法：
⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶
角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
一．选择题（共14小题）
1．（2013•西宁）使两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
【解答】
D、若一直角边对应相等，一斜边对应相等，可证全等，故D选项正确．
故选：D．
【点评】HL可全等．

2．（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）
A．∠A=∠C B．AD=CB
C．BE=DF D．AD∥BC
【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；
C、∵在△ADF和△CBE中

初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题
　知识点：
1.基本运算：
⑴同底数幂的乘法：
⑵幂的乘方
⑶积的乘方：
2.整式的乘法：
⑴单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母为积的因式.
⑵单项式多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.
⑶多项式多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.
3.计算公式：
⑴平方差公式：
⑵完全平方公式：；
4.整式的除法：
⑴同底数幂的除法：
⑵单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母作为商的因式.
⑶多项式单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.
⑷多项式多项式：用竖式.
5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式
子因式分解.
6.因式分解方法：
⑴提公因式法：找出最大公因式.
⑵公式法：
①平方差公式：
②完全平方公式：
③立方和：
④立方差：
⑶十字相乘法：
⑷拆项法 ⑸添项法

初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题

一．选择题
1．（2015•甘南州）下列运算中，结果正确的是（　　）
A．x3•x3=x6 B．3x2+2x2=5x4 C．（x2）3=x5 D．（x+y）2=x2+y2
【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、x3•x3=x6，本选项正确；
B、3x2+2x2=5x2，本选项错误；
C、（x2）3=x6，本选项错误；
D、（x+y）2=x2+2xy+y2，本选项错误，
故选A
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

2．（2008•南京）计算（ab2）3的结果是（　　）
A．ab5 B．ab6 C．a3b5 D．a3b6
【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．
【解答】解：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b6．
故选D．
【点评】本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

3．（2011•呼和浩特）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（　　）
A．﹣6x5 B．6x5 C．﹣2x6 D．2x6
【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．
【解答】解：2x2•（﹣3x3），
=2×（﹣3）•（x2•x3），
=﹣6x5．
故选：A．
【点评】本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．

4．（2005•茂名）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　）
A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
【解答】解：A、是多项式乘法，故A选项错误；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B选项错误；
C、提公因式法，故C选项正确；
D、右边不是积的形式，故D选项错误；
故选：C．
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．

5．（2017春•薛城区期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．
【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；
B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；
C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；
D、﹣x2+9=﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．

6．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9
【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；
C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；
D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．

7．（2009•眉山）下列因式分解错误的是（　　）
A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+6x+9=（x+3）2 C．x2+xy=x（x+y） D．x2+y2=（x+y）2
【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
【解答】解：A、是平方差公式，故A选项正确；
B、是完全平方公式，故B选项正确；
C、是提公因式法，故C选项正确；
D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．

8．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（　　）
A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2 C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a，
=a（x2﹣4x+4），
=a（x﹣2）2．
故选：A．
【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．

9．（2016秋•南漳县期末）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，
又∵乘积中不含x的一次项，
∴3+m=0，
解得m=﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．

10．（2009•内江）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）

A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．

11．（2013•枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b=a﹣b，
则面积是（a﹣b）2．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．

12．（2012•枣庄）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　）
A．（2a2+5a）cm2 B．（6a+15）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（3a+15）cm2
【分析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积，据此即可求解．
【解答】解：矩形的面积是：（a+4）2﹣（a+1）2
=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）
=3（2a+5）
=6a+15（cm2）．
故选B．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是关键．

二．填空题（共13小题）
13．（2015•黄石）分解因式：3x2﹣27=　3（x+3）（x﹣3）　．
【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3x2﹣27，
=3（x2﹣9），
=3（x+3）（x﹣3）．
故答案为：3（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．

14．（2013•上海）分解因式：a2﹣1=　（a+1）（a﹣1）　．
【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．

故答案为：（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．

15．（2013•邵阳）因式分解：x2﹣9y2=　（x+3y）（x﹣3y）　．
【分析】直接利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．
【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．

16．（2017•大庆）分解因式：x3﹣4x=　x（x+2）（x﹣2）　．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，
=x（x2﹣4），
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．

17．（2016•乐山）因式分解：a3﹣ab2=　a（a+b）（a﹣b）　．
【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．
本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．

18．（2013•三明）分解因式：x2+6x+9=　（x+3）2　．
【分析】直接用完全平方公式分解即可．
【解答】解：x2+6x+9=（x+3）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键．

19．（2017•咸宁）分解因式：2a2﹣4a+2=　2（a﹣1）2　．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1）
=2（a﹣1）2．
故答案为：2（a﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

20．（2015•西藏）分解因式：x3﹣6x2+9x=　x（x﹣3）2　．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3﹣6x2+9x，
=x（x2﹣6x+9），
=x（x﹣3）2．
故答案为：x（x﹣3）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．

21．（2008•大庆）分解因式：ab2﹣2ab+a=　a（b﹣1）2　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：ab2﹣2ab+a，
=a（b2﹣2b+1），
=a（b﹣1）2．
【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．

22．（2013•安顺）分解因式：2a3﹣8a2+8a=　2a（a﹣2）2　．
【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2a3﹣8a2+8a，
=2a（a2﹣4a+4），
=2a（a﹣2）2．
故答案为：2a（a﹣2）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

23．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2=　3（a﹣2b）2　．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．
【解答】解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．
故答案为：3（a﹣2b）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．

24．（2013•内江）若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=　3　．
【分析】将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n的值．
【解答】解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，
故m+n=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．

25．（2014•西宁）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为　70　．

【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．
【解答】解：∵a+b=7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．
故答案为：70．
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．

三．解答题（共15小题）
26．（2006•江西）计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）
【分析】利用完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项．
【解答】解：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x），
=x2﹣2xy+y2﹣（y2﹣4x2），
=x2﹣2xy+y2﹣y2+4x2，
=5x2﹣2xy．
【点评】本题考查完全平方公式，平方差公式，属于基础题，熟记公式是解题的关键，去括号时要注意符号的变化．

27．（2013春•苏州期末）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．
【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式，运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可．
【解答】解：4x•32y=22x•25y=22x+5y
∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，
∴原式=23=8．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．

28．（2009•十堰）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2
（2）a2+b2．
【分析】（1）把代数式提取公因式ab后把a+b=3，ab=2整体代入求解；
（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解．
【解答】解：（1）a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6；

（2）∵（a+b）2=a2+2ab+b2
∴a2+b2a+b）2﹣2ab，
=32﹣2×2，
=5．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3，ab=2整体代入解答．

29．（2015•张家港市模拟）若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．
（1）求xy的值；
（2）求x2+3xy+y2的值．
【分析】（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；
（2）先变形，再整体代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，
∴xy+2x+2y+4=12，
∴xy+2（x+y）=8，

∴xy+2×3=8，
∴xy=2；

（2）∵x+y=3，xy=2，
∴x2+3xy+y2
=（x+y）2+xy
=32+2
=11．
【点评】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．

30．（2014秋•德惠市期末）先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．
【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．
【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
=﹣20a2+9a，
当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．
【点评】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．

31．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．
【分析】根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．
【解答】解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，
∴a=1；
把a=1代入=1+1=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．

32．（2012春•郯城县期末）分解因式：
（1）2x2﹣x；
（2）16x2﹣1；
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；
（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
【分析】（1）直接提取公因式x即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解；
（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；

（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；

（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，
=﹣y（9x2﹣6xy+y2），
=﹣y（3x﹣y）2；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，
=[2+3（x﹣y）]2，
=（3x﹣3y+2）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．

33．（2011春•乐平市期中）（2a+b+1）（2a+b﹣1）
【分析】把（2a+b）看成整体，利用平方差公式和完全平方公式计算后整理即可．
【解答】解：（2a+b+1）（2a+b﹣1），
=（2a+b）2﹣1，
=4a2+4ab+b2﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，构造成公式结构是利用公式的关键，需要熟练掌握并灵活运用．

34．（2009•贺州）分解因式：x3﹣2x2y+xy2．
【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；
【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，
=x（x2﹣2xy+y2），
=x（x﹣y）2．
【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，本题难点在于要进行二次分解．

35．（2011•雷州市校级一模）分解因式：
（1）a4﹣16；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
【分析】（1）两次运用平方差公式分解因式；
（2）前三项一组，先用完全平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式进行分解．
【解答】解：（1）a4﹣16=（a2）2﹣42，
=（a2﹣4）（a2+4），
=（a2+4）a+2）（a﹣2）；

（2）x2﹣2xy+y2﹣9，
=（x2﹣2xy+y2）﹣9，
=（x﹣y）2﹣32，
=（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）．
【点评】（1）关键在于需要两次运用平方差公式分解因式；
（2）主要考查分组分解法分解因式，分组的关键是两组之间可以继续分解因式．

36．（2008春•利川市期末）分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．
【分析】显然只需将y﹣x=﹣（x﹣y）变形后，即可提取公因式（x﹣y），然后再运用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：x2（x﹣y）+（y﹣x），
=x2（x﹣y）﹣（x﹣y），
=（x﹣y）（x2﹣1），
=（x﹣yx﹣1）（x+1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

37．（2009秋•三台县校级期末）分解因式
（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
【分析】（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），
=（x﹣y）（a2﹣16），
=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；

（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，
=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），
=（x+y）2（x﹣y）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

38．（2009春•扶沟县期中）因式分解
（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；
（2）（a2+1）2﹣4a2．
【分析】（1）先提取公因式﹣8a，再用完全平方公式继续分解．
（2）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2，
=﹣8a（x2﹣2xy+y2），
=﹣8a（x﹣y）2；

（2）（a2+1）2﹣4a2，
=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a），
=（a+1）2（a﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

39．（2011秋•桐梓县期末）因式分解：
（1）3x﹣12x3
（2）6xy2+9x2y+y3．
【分析】（1）先提取公因式3x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；
（2）先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．．
【解答】解：（1）3x﹣12x3
=3x（1﹣4x2）
=3x（1+2x）（1﹣2x）；

（2）6xy2+9x2y+y3
=y（6xy+9x2+y2）
=y（3x+y）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

40．（2003•黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．
【分析】先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．
【解答】解：原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，

∵原式为完全平方式，
∴﹣a（x+y）=±2×5•（x+y），
解得a=±10．
【点评】本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要．

∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；
D、∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．　
3．（2009•鸡西）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．
【解答】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
∴在△OCP和△ODP中
，
∴△OCP≌△ODP（SSS）．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．（2011•呼伦贝尔）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（　　）

A．20° B．30° C．35° D．40°
【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，
∴∠ACA′=∠B′CB，
又∠B′CB=30°
∴∠ACA′=30°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．

5．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（　　）

A．3 B．4 C．6 D．5
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴×4×2+×AC×2=7，
解得AC=3．
故选：A．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

6．（2017•石家庄模拟）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．
【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．
故选C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．

7．（2000•安徽）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（　　）

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．

【点评】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．

二．填空题（共11小题）　
1．（2015秋•西区期末）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD=　4　cm．

【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=9cm即可求出BD的长．
【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠ADE=∠EFC，
∵∠AED=∠FEC，E为DF的中点，
∴△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=5cm，
∵AB=9cm，
∴BD=9﹣5=4cm．
故填4．
【点评】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单．

2．（2012秋•合肥期末）如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=　50　度．

【分析】先运用三角形内角和定理求出∠C，再运用全等三角形的对应角相等来求∠AED．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=180﹣∠B﹣∠BAC=50°，
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED=∠C=50°，
∴∠AED=50度．
故填50
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等．是需要识记的内容．

3．（2013•邵东县模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是　5　．

【分析】要求△ABD的面积，有AB=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是2，则可求得面积．
【解答】解：∵∠C90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离=CD=2，
∴△ABD的面积是5×2÷2=5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．注意分析思路，培养自己的分析能力．

4．（2009•杨浦区二模）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带　③　去玻璃店．

【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③．
【点评】这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．

三．解答题（共15小题）
1．（2007•北京）已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．

【分析】根据角平分线的性质得出∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，从而推出∠AOB=∠COD，再利用SAS判定其全等从而得到AB=CD．
【解答】证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线
∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP．
∴∠AOB=∠COD．
在△AOB和△COD中，．
∴△AOB≌△COD．
∴AB=CD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，以及全等三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题比较简单，读已知时就能想到要用全等来证明线段相等．

2．（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．

【分析】连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，