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从一课例谈变式教学

“数学的根本在于转化与变形”，由特殊到一般的思维方法，是我们探索问题常用的方法。运用这种方法去发现或推广新的结论，正是创造性思维的一种表现形式.我在讲授人教版九年义务教育三年制初中几何第7节第2课时，就用这种方法作了一次尝试，结果收效甚佳.现将这次实验过程展示如下，不当之处，敬请同行指正.
例4.如图1.⊙o1和⊙o2外切于点A，BC是⊙o1和⊙o2的公切线，B、C为切点.
求证：AB⊥AC.
设计教法如下：首先将此图形特殊化，如图2.令两圆为等圆，让学生探讨证明方法.(经过2分钟思考后，平时最爱发言的学生A站起来回答)学生A：连结O1B、O2C、O1O2如图3,由于两圆为等圆，所以四边形CBO1O2为矩形，A为O1O2中点，易知△ABO1与△ACO2都是等腰直角三角形，所以△ABC为等腰直角三角形.
我提问：A同学的证明对不对？（爱挑毛病的学生B没等我说完）学生B：老师！A的证明过程不准确.因为他没有交待O1、A、O2这三点是否共线，所以并不能从∠BAO1＝∠CAO2＝45°,得到∠BAC=90°.如果补充O1、A、O2这三点共线,则证明就完整了.（学生B讲完后看着A洋洋自得）（学生A很不服气）：老师！我不是他那样证明的.我是从△ABO1与△ACO2都是等腰直角三角形，得到∠O1BA＝∠O2CA＝45°，从而∠CBA=∠BCA=45°，所以∠BAC=90°.
　　我总结：刚才A同学和B同学的说法都是正确的，从他们的论述中我们不难得到命题的两种证明方法.除此以外，还有没有其它证明方法呢？
　　学生C：还有证法3.因为四边形CBO1O2为矩形，由弦切角定理和圆周角定理知∠CBA=∠BCA=45°所以∠BAC=90°.
　　学生D：还有证法4.不妨设两圆的半径为1，则AB＝AC＝ ，BC＝2，由勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形，即AB⊥AC.
学生E：还有证法5.作OA⊥O1O2 如图4（作垂线其实就是作公切线，但学生E显然不习惯作公切线这种方法.）则OA为两圆的公切线，由切线长定理知OA＝OB＝OC，所以
∠BAC=90°，即AB⊥AC.
针对部份学生对定理掌握不牢，容易混淆等情况，我故意问：为什么OA＝OB＝OC，就有∠BAC=90°呢？
　　学生F：直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半.（学生F讲完后马上意识到自己错了，站在那里满脸通红，不知所措.）
　　其他学生补充：上述定理的逆定理.
　　我趁机又问：具体地讲，其逆定理是什么？教材中是否讲述过这个定理呢？
　　沉默，然后是翻书的声音，通过学生自己翻书查找答案，尽管浪费时间，但可以有效地克服少数学生不求甚解的毛病.
至此，我引导学生：下面我们回到原命题，即两圆不是等圆的情形.按照上面这些同学的思路，我们来看，图形变化了，哪些条件变了，哪些条件仍然没变.
　　学生总结如下：
1.四边形CBO1O2由矩形变成了梯形，∠BO1A和∠CO2A都是直角变成了互补；（图5）
2.点A不再是O1O2的中点，但O1、A、O2这三点仍然共线；
3.△ABO1与△ACO2由等腰直角三角形变成了等腰三角形；
4.如果作OA⊥O1O2，则OA不再是两圆的公切线，但若直接作两圆的公切线，则OA＝OB＝OC仍然成立.

从上述讨论中，我们看到：图形变了，但图形的性质及解题方法不变，即“变化中有不变”.由于经过上述探讨，学生完成此题的证明就水到渠成了.但我认为还不尽兴，趁机启发学生：同学们！请注意这个图形中的△ABC，它的三个顶点都是切点，我们可以称之为“切点三角形”.就这个图形你还能得到哪些结论呢？不妨论证一下，得出你们自己的定理.这时候学生的兴致与思维达到了高潮，经过大约10分钟，学生们得出了如下一些定理：
定理1：切点三角形是以公切点为直角顶点的直角三角形.
定理2：切点三角形的斜边是两圆直径的比例中项.
定理3：切点三角形的直角边与两圆连心线组成的锐角等于该直角边的对角.
　　培养学生从不同角度不同侧面分析同一个数学问题，一题多解，开拓思路，是培养学生思维的深刻性和灵活性的好办法.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.不同的学生哪怕对待同一个问题，他们的思路和方法也不尽相同.所以我们在日常教学中不应该也不可能要求他们都按照同一个思维模式进行思维.变式教学训练可以有效地培养学生的思维能力.我们常讲：学好数学重点在于理解.但怎样才能做到真正的理解？过去到现在一直没有一个统一的标准，我想如果学生对每一个数学问题都能够钻研到这种程度，那他们肯定是真正“理解”了.