1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,偏微分方程教程,第四章 双曲型方程,1,偏微分方程教程,第四章 双曲型方程,2,一维波动方程,2.1.,齐次波动方程的,Cauchy,问题和特征线法,最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问题,在忽略其边界的影响时，它可归结为如下的定解问题,(2.1),满足初始条件,(2.2),其中 是一个正常数，函数 是定义在区间 上的已知函数,.,2,特征线法是求解一维双曲型方程,Cauchy,问题最基本的方法，这个方法的
2、实质是将方程沿特征线积分,.,由第三章的特征概念知,方程,(2.1),的特征方程是,由此求得特征曲线为,其中 为任意常数,.,为了将方程,(2.1),化成第一标准型,引入自变量变换,即把特征线当作坐标线，则方程,(2.1),变成,(2.3),偏微分方程教程,第四章 双曲型方程,3,偏微分方程教程,第四章 双曲型方程,改写,(2.3),为,可以看出 不依赖于 变量,于是有,其中 是 的任意连续可微函数,再对 积分,得到,若令,可得 其中 和 都是任意的二阶连续可微函数,.,回到原来的变量 和,于是波动方程,(2.1),的通解为,(2.4),4,偏微分方程教程,第四章 双曲型方程,现在我们利用初始
3、条件,(2.2),来确定任意函数 和,由等式,(2.4),有,对等式,(2.6),积分,得出,其中是 任意常数,.,由等式,(2.5),和,(2.7),解出和为,代入,(2.4),我们得到,这个公式称为,Cauchy,问题的,达朗贝尔,(DAlembert),公式,.,(2.5),(2.6),(2.7),5,偏微分方程教程,第四章 双曲型方程,到目前为止,表达式,(2.8),还只能说是,Cauchy,问题,(2.1),(2.2),的,形式解,.,为了使它确实是,Cauchy,问题,(2.1),(2.2),的解,我们需要对初值 加上一定的条件,.,定理,4.3,若,则由,DAlembert,公式
4、2.8),表示的函数 是,Cauchy,问题,(2.1),(2.2),解,.,证明留作习题，请读者自己完成,.,下面我们讨论,Cauchy,问题,(2.1),(2.2),解的,稳定性,.,定理,4.4,假设对任意给定 的,总可找到这样的,当初始数据 与 满足不等式,时,则与之相对应的,Cauchy,问题的解 与 满足,6,偏微分方程教程,第四章 双曲型方程,证,:,只要取 即可,.,综上所述，,Cauchy,问题,(2.1),(2.2),的解是适定的,.,另一方面，若将方程,(2.1),写成如下算子形式,且令,则可以得到如下一阶线性偏微分方程组,(2.9),按照第二章关于一阶线性偏微分方程
5、的求解，我们也可以获得,DAlembert,公式,(2.8).,7,偏微分方程教程,第四章 双曲型方程,上面对弦振动方程求解的特征线法,亦适用于类似方程的,Cauchy,问题,.,例,1,求解,Cauchy,问题,(2.10),其中 和 都是已知函数,.,解,:,容易求出,(2.10),中的方程的特征曲线,作自变量变换,8,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声点,9,偏微分方程教程,第四章 双曲型方程,就可把,(2.10),中的方程化成标准型,为了求出方程,(2.11),的通解,我们令,则方程,(2.11),化为,若把 看作参数,方程,(2.13),就是以 为自变量的线性常微
6、分方程,其通解可写为,其中 是 的任意函数,.,将此表达式代入方程,(2.12),得,(2.13),(2.11),(2.12),10,偏微分方程教程,第四章 双曲型方程,再对 求积分,便得方程,(2.11),的通解,其中 是 的任意函数,.,若令,上式可写成,其中 和 都是其变元的任意连续可微函数,.,变回到原来的变量 和,便得到方程,(2.10),的通解为,(2.14),下面我们利用,(2.10),中的初始条件来确定任意函数 和,.,首先,容易得到下面两个等式：,(2.15),11,偏微分方程教程,第四章双曲型方程,对 微分,(2.15),得,用 乘以上式再与,(2.16),相加,得,由此推得,其中 为任意常数,.,再将 的表达式代入,(2.15),得,(2.16),12,偏微分方程教程,第四章双曲型方程,于是,Cauchy,问题的解可写成,利用分部积分法,它又可化为,至于在什么条件下,这个函数才是,Cauchy,问题,(2.10),的解以及解的惟一性和稳定性问题,这里就不详细讨论了,.,13,
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