高三数学一轮复习资料--立体几何专题.doc

2013届高三数学(理)一轮复习资料-- 立体几何

一、选择题
1 (2012湖南).某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ( D )

2 .已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图所示的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为( D　　)
A.　　　　　　　B. C. D.

3 已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中为假命题的是 (　D　)
A．若a∥b，则α∥β B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交 D．若α，β相交，则a，b相交
4 (2012安徽)设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且
则“”是“”的（ A ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 即不充分不必要条件
5 (2012安师大附中三模)．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 （ D ）

侧（左）视图

正（主）视图
俯视图
2
4

2 2

A． B． C． D．
6 (2012北京) 某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ B ）

A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12

7(2012全国) 下列命题正确的是（ C ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

8 (2012全国)已知直二面角，点,C为垂足，为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于 C
(A) (B) (C) (D) 1

9．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是 (　　A)
A．81π B．36π C. D．144π

10 .如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为 (　A　)
A. B. C. D.

二、填空题
11．(2012浙江)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三
棱锥的体积等于___________cm3．

12 (2012四川)、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是________
____。

13．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．

则该几何体的体积为　　4　　m3.
14．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为___π
_____．

15 .如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是______________
①　BD∥平面CB1D1；
②　AC1⊥平面CB1D1；
③　AC1与底面ABCD所成角的正切值是；
④　CB1与BD为异面直线；

三、解答体
16 (2012四川)如图，在三棱锥中，，，，平面平面。
（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角的大小。
解法一：
（I）设的中点为，的中点为，连接，
由已知，为等边三角形，
所以
又平面平面，平面平面，
所以平面
所以为直线与平面所成的角
不妨设，则
在中，
所以，在中，
故直线与平面所成的角的大小为………………………….6分
（II）过作于，连接
由已知可得，平面
根据三垂线定理知，
所以为二面角的平面角
由（I）知，
在中，
故二面角的大小为…………………………………………12分
解法二：
（I）设AB的中点为D，作于点，连结CD
因为平面平面，平面平面=，
所以平面
所以
由，知
设E为AC中点，则，从而
如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，由已知可得，
所以
所以，而为平面的一个法向量
设为直线与平面所成的角，
则
故直线与平面所成的角的大小为…………………………….6分
（II）由（I）有，
设平面的一个法向量为，则

从而
取，则，所以
设二面角的平面角为，易知为锐角
而面的一个法向量为，则

故二面角的大小为……………………………………

17 已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使DE⊥EC.

(1)求证：BC⊥平面CDE；
(2)求证：FG∥平面BCD；
(3)求四棱锥D－ABCE的体积.
解：(1)证明：由已知得：
DE⊥AE，DE⊥EC，∴DE⊥平面ABCE.
∴DE⊥BC.又BC⊥CE，CE∩DE＝E，
∴BC⊥平面DCE.

(2)证明：取AB中点H，连结GH，FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD.
又GH∩FH＝H，
∴平面FHG∥平面BCD，
∴FG∥平面BCD(由线线平行证明亦可).
(3)V＝×1×2×＝.
18 (2012全国)如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.
（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ)求与平面所成角的大小.
计算SD=1，，于是，利用勾股定理，可知，同理，可证
又，
因此，.
（II）过D做，如图建立空间直角坐标系D-xyz，
A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),
可计算平面SBC的一个法向量是
.
19 (2012北京)所以AB与平如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.
(I)求证：A1C⊥平面BCDE；
(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

解：（1），
平面，
又平面，

又，
平面。
（2）如图建系，则，，，
∴,
设平面法向量为
则 ∴ ∴
∴
又∵
∴
∴，
∴与平面所成角的大小
（3）设线段上存在点，设点坐标为，则
则，
设平面法向量为，
则 ∴
∴。
假设平面与平面垂直，
则，∴，，，
∵，∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。
面SBC所成角为.

20 (2012浙江)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。
(Ⅰ)如图连接BD．
∵M，N分别为PB，PD的中点，
∴在PBD中，MN∥BD．
又MN平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD；
(Ⅱ)如图建系：
A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，
N(，0，0)，C(，3，0)．
设Q(x，y，z)，则．
∵，∴．
由，得：． 即：．
对于平面AMN：设其法向量为．
∵．
则． ∴．
同理对于平面AMN得其法向量为．
记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为，
则．
∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为
21 (2012湖南)如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，
Ｅ是ＣＤ的中点，所以
所以
而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
（Ⅱ）过点Ｂ作
由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE
所成的角，且.
由知，为直线与平面所成的角.

由题意，知
因为所以
由所以四边形是平行四边形，故于是
在中，所以

于是
又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知因为
所以而是平面内的两条相交直线，所以
(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与
所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得.
又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为
.

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