数学物理方法-第二章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,基本内容：函数级数的基本概念和性质、幂级数、泰勒级、,基本运算：,将给定函数展开成幂级数，是本章的重点和难点,级数理论是分析复变函数的有力工具，它不但在理论上有意义，而且有很重要的实用价值，故本章也是复变函数论的重要内容之一,第二章,复变函数级数,1,2.1,复变函数级数的基本性质,2,（一）复常数项级数,3,4,（二）复变函数项级数,前,n,项和,该极限称为级数在,z,点的和,否则称为在,z,点,发散,.,其中,（,2.1,）,（,2.2,）,若,级数,在某点,z,存在,则称,(3.1),在,z,点,收敛,，,例,若,则,前,n,项和,若在某区域内的每个点都收敛，则称在该区域内收敛,.,5,复变函数级数,归结为两个实变函数项级数,（,2.3,）,其中,（,2.1,）,复变函数级数,收敛的必要条件,6,任意给定一个小的正数,0,，总存在充分大的正整数,N,(,z,),，,当,n,N,时对于任何自然数,P,，恒有,柯西判据,：,收敛的充要条件,绝对收敛,:,若,在,z,点收敛，则,在该点绝对收敛,一致收敛,：设,(,k,=1,2,),定义在域,D,(,或曲线,l,),上,若对任,意给定,0,存在与,z,无关的正整数,N,使得当,n,N,时,对任,何自然数,P,(2.4),恒成立，称级数（,2.1,）在,D,(,或,l,),上一,致收敛,（,2.4,）,7,定理一,：绝对收敛级数，一定是收敛级数,(,定义和柯西判据,),定理二,：绝对收敛级数的乘积也是绝对收敛的，乘积的和等于,和的乘积,(,且与排列次序无关,),定理三,：,在区域,D,内连续，且,在,D,内一致收敛,级数和在,D,内也是连续的,.,性质,定理四,：,若,在曲线,l,上连续，且,收敛,则级数和,S,(,z,),在,l,上也是连续的,且可在,l,上逐项积分,即,在,l,上一致,定理五,：若在区域,D,内满足,实常数,且,收敛,则,在,D,内是绝对且一致收敛的,.,定理六,：在某个区域,D,或曲线,l,上一致收敛的级数，乘以在该区域上的一个,有界函数，得到的级数在该区域或曲线上也是一致收敛的。,8,魏尔斯特拉斯,(,Weierstrass,),定理,在闭区域,上是单值解析的，,在,l,上是一致收敛的，则,(),在,上一致收敛；,(),级数和,S,(,z,),在,D,内是解析的,(),在,D,内有,(,n,=1,2,),且该级数在,D,内任何闭区域上都一致收敛,.,若,9,大家应该也有点累了，稍作休息,大家有疑问的，可以询问和交流,10,(1),达朗贝尔,(dAlembert),判别法：,如果,(,至少当,k,充分大时,),(2),柯西,(Cauchy),判别法,如果,(,至少当,k,充分大时,),绝对收敛性的判别法,(3),高斯判别法：,如果,(,至少当,k,充分大时,),(,其中,是常数）,当,1,时,级数,绝对收敛,而当,1,时,发散,.,各判据依次增强，其复杂程度依次增加,.,解析、绝对且一致收敛级数,可进行四则运算、逐项积分、逐项求导,11,（三）幂级数,幂级数的一般形式：,b,为中心,阿贝尔,(,Abel,),定理,:,内绝对收敛,而且,在该圆域内的任何闭域上一致收,在,z,=,z,0,收敛,则该级数在圆域,敛,.,即在,绝对且一致收敛,(,连续、解析,).,若,12,证明,:,在,z,0,收敛的必要条件：,存在正数,M,，,使得,在区域,上有,而,上是绝对且一致收敛的,.,几何级数,则由定理五,在,是收敛的,13,推论一,:,若,在,发散,则该级数在圆,外处处发散,.(,利用,Abel,定理采用反证法证明,),推论二,:,对于幂级数,必存在一个,R,0,使得在圆,内处处收敛,而在圆外处处发散,.,收敛圆,：,，,R,为收敛半径，在该圆内,处处绝对且一致收敛，在圆外处处发散,.,定 理,:,在收敛圆内幂级数,可逐项积分或求导任意次，收敛半径不变,14,证：每一项是幂函数都解析,必连续,而级数在收敛圆,内绝对且一致收敛,可逐项积分或求导,.,反证法证收敛半径不变：,类似可证,收敛性的强弱,收敛半径：运用达朗贝尔或,Cauchy,判别法,或,.,积分或求导虽不改变收敛半径，但改变,15,幂级数在收敛圆内是一个解析函数，本节讨论在圆内解析的,函数展开成,Taylor,级数的问题,2.2,Taylor,级数 鞍点,16,定理,：若,f,(,z,),在,（一）,Taylor,展开,内是解析的,则,f,(,z,),在该圆域,内可展开为绝对且一致收敛的幂级数,且此展开是唯一的,17,证：一致收敛是指在圆内任何闭域上一致收敛,故对任何,证明级数在,上是绝对且一致收敛,对如图,应用,Cauchy,公式,对于,上任一点,z,注意到,则,已证得展开式,其绝对一致收敛性和展开唯一性的论证见书,P50,18,a,）按定理计算,b,）,据展开的唯一性及幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛,(,且解析),的性质,通过级数的四则运算、逐项积分、求,导、函数复合或宗量代换等,.,展开方法,：,、,e,z,、,sin,z,、,cos,z,等初,可利用,等函数的展开式,b,）或求得展开式后，据,或,求,.,收敛半径确定方法,a,）按定理,R,=,展开中心,b,到与,b,最邻近的奇点之间的距离,(,这是,最直观最方便的方法，实变函数的幂级数理论中无此结果,),；,19,a,）确定,b,是,f,(,z,),的解析点,与,b,最邻近的奇点,收敛半径,b,）按定理,或将待展开的,f,(,z,),通过四则运算、求导、,积分、函数复合或宗量代换等同展开式已知的,一般步骤,、,e,z,、,sin,z,、,cos,z,联系起来等,P50,51,例题,20,（二）鞍点,复变函数一阶导数为,0,的点,b,，称为鞍点，,f(z)-f(b),的实部和虚部呈现为马鞍形状，且可正可负。,21,3.,函数,(1-,z,),-1,、,e,z,、,sin,z,、,cos,z,在,思考与讨论题：,1.,幂级数,的收敛半径为,R,，该级数在,绝对收敛，在,内,上一致收敛，级数的每一项,是解析的，所以，可以逐项求导、逐项积分，且不改变收,敛半径；在共同收敛区域上的幂级数可以进行四则运算,.,你,认为呢？,2.,为什么,Taylor,级数的收敛半径等于展开中心到被展开函数的,最近的奇点的距离？,4.,Taylor,展开的条件是什么？将函数以,b,为中心进行,Taylor,展开和在,z,=,b,的邻域内进行,Taylor,展开有无区别？,作业,：,p54,：,1,、,2(1)(4)(5),，,内的,Taylor,展开式,.,22,2.3,复变函数在环形解析区域的幂级数展开 洛朗级数,23,正幂部分,-,解析部分,在,上收敛,令,，则负幂部分,收敛,上收敛,若,，则,Laurent,级数发散,若,，则,Laurent,级数在,上收敛,Laurent,级数,在,负幂部分,-,主要部分,24,若,f,(,z,),在,内单值解析，则,f,(,z,),在该环域内可展开,为绝对且一致收敛的级数,（,l,是环域内绕,b,一周的任意闭曲线）该展开是唯一的,.,运用复通域上的,Cauchy,公式证明,证法类似,Taylor,定理的证明,.,1),含有,(,z,-,b,),的负幂项,，但,b,不一定是奇点：,Laurent,定理,2),l,内必有被积函数的奇点，故,Cauchy,导数公式不再成立,.,特例,:,R,2,=0,时,b,为奇点没有导数,;,3),环域的特例,，,R,2,0,时,b,为解析点,k,取负值时的导数也无意义,.,4),展开方法,:,按定理计算回路积分求展开系数,;,依据,Laurent,级数在环域内绝对且一致收敛性、展开的唯一性展开,.,l,R,1,R,2,b,25,按定理展成,Taylor,级数,与实函幂级数展开相似,Laurent,级数,较复杂,根据幂级数在收敛域上是绝对一致收敛且解析的性质，可运用,、,e,z,、,sin,z,、,cos,z,等的展开式和幂级数的四则运算、,逐项求导、,逐项积分、宗量代换及函数的复合展开,泰勒级数和洛朗级数展开的几种常用方法,P58 59,例题,26,(1),利用,(,),例,1,在,上,27,例,2,解,:,先部分分式,i,1,-1,x,y,o,D,1,28,(2),利用,e,z,、,sin,z,、,cos,z,等的展开式,如,(3),级数逐项求导或逐项积分,例,3,解,:,原式,=,n,=,k,+1,n,=,k,+2,29,(4),级数相乘或相除,例,4,cot,z,P49,运用级数乘法或待定系数法,据,cot,z,是奇函数并可知最低幂项为,z,-1,，故设,代入,依次令,30,(5),其它展开法,例如：,将最右端各项展开，即得,的展开式,.,总之：,就是将待展开函数通过四则运算、积分、求导、宗量代换,函数复合等方式与展开式已知的函数联系起来，再运用级,数的上述运算将其展开,.,31,3.,f,(,z,),可以展开成以,b,为中心的,Laurent,级数，据此是否可以说,b,是,f,(,z,),的奇点呢？举例说明,.,作业,：,p61,：,1,2,5,思考与讨论题：,1.,复变函数展开成,Taylor,级数或,Laurent,级数的方法有,哪些？各自的要点和优缺点是什么？,2.,Laurent,级数的展开系数公式,为什么它不等于,32,