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教材过关二十二 一元二次方程
一、填空题
1.把方程（2x+6）2=-7化成一元二次方程的一般形式为_____________，其中二次项系数为_____________，一次项系数为_____________，常数项为_____________.
答案：4x2+24x+43=0 4 24 43
提示：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0,其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项.
2.已知关于x的二次方程4x2+4kx+k2=0的一个根是-2，那么k=__________________.
答案：4
提示：把根-2代入原方程，得到一个关于k的一元二次方程，解方程即可.
3.若分式的值为0，则x的值是________________.
答案：2
提示：分式的值为0，即x2-3x+2=0且x2-1≠0.
4.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，则x2+bx+c分解因式的结果为___________________.
答案：（x-1）（x-2）
提示：ax2+bx+c=0的两根为x1、x2时，ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
5.如果关于x的一元二次方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________________.
答案：k≥-
提示：一元二次方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0有两个不相等的实数根，所以Δ＞0.
6.已知关于x的方程x2-（a＋b)x＋ab-2=0.x1、x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论：
（1）x1≠x2;（2）x1x2＞ab;(3) x12＋x22＞a2＋b2.
则正确结论的序号是________________.（在横线上填上所有正确结论的序号）
答案：（1）（3）
提示：利用根与系数的关系.
二、选择题
7.方程x2+3x-6=0与x2-6x+3=0所有根的乘积等于
A.-18 B.18 C.-3 D.3
答案：A
提示：方程x2+3x-6=0的两根之积为-6，x2-6x+3=0的两根的乘积为3，所以四个根的乘积为-18.
8.以1，-2为根的一元二次方程是
A.x2+x-2=0 B.x2-x+2=0 C.x2-x-2=0 D.x2+x+2=0
答案：A
提示：以x1、x2为根的一元二次方程为(x-x1)(x-x2)=0.
9.(2010浙江嘉兴中考)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是
A.9 B.11 C.13 D.11或13
答案：C
提示：解一元二次方程得x1=2,x2=4,但当x=2时,2,3,6不能组成三角形,所以要舍去.
解：(x-2)(x-4)=0,x1=2,x2=4,x1=2舍去.
∴x=4,则周长=3+4+6=13.故选C.
10.某钢厂今年1月份生产某种钢2 000吨，3月份生产这种钢2 420吨，设2、3月份两个月平均每月增长的百分率为x，则可列方程为
A.2 000（1+2x）=2 420 B.2 000（1+x2）=2 420
C.2 000（1+x2=2 420 D.2 420（1-x）2=2 000
答案：C
提示：增长率问题.
由题意得：二月份生产量为2 000（1+x）,
三月份为2 000（1+x）（1+x）,即2 000（1+x）2=2 420.
三、解答题
11.不解方程判断根的情况.
（1）x2-2x-4=0;
（2）2x2+4x+2=0;
（3）x2-x+2=0.
答案：（1）两个不相等的实根；（2）两个相等的实根；（3）没有实根.
提示：不解方程判断根的情况，就是看Δ=b2-4ac的正负，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根.当b2-4ac＜0时，方程没有实数根.当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
12.解下列方程:
（1）3x2+x-2=0;
（2）4（x-3）2=25;
（3）x2+6x-10=0(配方法).
答案：（1）x1=-1,x2=；（2）x1=,x2=；（3）x1=-3+,x2=-3-.
提示：（1）公式法；（2）直接开平方法;（3）配方法.
13.已知x1，x2是方程3x2+5x-1=0的两个根，求下列各式的值.
（1）x12x2+ x22x1;
（2）+.
答案：x1+x2=-,x1x2=-,(1)x12x2+x1x22=(-)(-)=;(2)+=-.
提示：用根与系数的关系.
14.列方程解决实际问题.
(1)如图9-1，在一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路,其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53 m2，那么小路的宽为多少？

图9-1
（2）如图9-2，△ABC中，∠B=90°,AB=6 cm，BC=8 cm，点P从点A开始沿AB边向B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，①如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2？②如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6 cm2？

图9-2
(1)答案：设小路宽为x m，可得30x+24x-x2=53，解得x1=1，x2=53（舍去）,小路宽为1 m.
提示：设小路宽为x m，
由题意得（30-x）（24-x）=30×24-53.
(2)答案：①设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，面积为8，（6-x）·2x=8，解得x1=2，x2=4.
②设x秒时，点P移动到BC上，设点Q到BC的距离为h,则sinC==.
由题意得（14-x）·=12.6，
解得x1=7,x2=11.
当x=11秒时QC=14，Q点已超出CA的范围，故此解不合题意应舍去，所以经过7秒.
提示：设经过x秒，则AP=x，BQ=2x，
∴BP=6-x.∴（6-x）·2x=8.
15.已知关于x的方程x2-2（a-2）x+a2=0，是否存在实数a，使方程两个实数根的平方和为56?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
提示：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4（a-2）2-2a2=2a2-16a+16=56.
解得a1=10,a2=-2.
由于判别式4（a-2）2-4a2大于或等于0，所以a应小于或等于1，因此存在实数a，其值为-2.