衡南二中高二11月份月考试卷.doc

衡南二中2014年下学期11月月考试卷
高二数学（理科）
满分:150分 时量：120分钟
一．选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。注意:请将此题所有题目的正确答案代码统一写在后面指定的答题框内，否则，答题视作无效,不予计分。)

1．命题“x∈R，sinx＞”的否定是（ ）
A．x∈R，sinx≤ B．x0∈R，sinx0≤
C．x0∈R，sinx0＞ D．不存在x∈R，sinx＞
2．数列的通项公式可能是( )
A B C D
3．已知等比数列的前三项依次为（ ）
A. B. C. D.
4．设x，y为正数，若，则最小值为( )
A．6 B.9 C.12 D.15
5．数列的通项公式是，若前n项和为10，则项数n为（ ）
A．11 B．99 C.120 D．121
6．若满足，则为 （ ）三角形
A．等腰 B．等边 C．等腰直角 D．等腰或直角
7．等差数列项的和等于( )
A． B． C． D．

8．在，三个内角、、所对的边分别为、、，若内角、、依次成等差数列，且不等式的解集为，则等于（ ）
A． B．4 C． D．
9．在R上定义运算，若不等式成立，则实数a的取值范围是(　　)．
A．{a|} B．{a|} C．{a|} D．{a|}
10．已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且则的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
二．填空题：(本大题5小题，每小题5分，共25分。)
11．当时,不等式 恒成立，则实数的最大值是
12. 已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为6,则P到另一个焦点的距离为
13．已知数列的前n项和为，且，则=
14．已知命题p：实数m满足m2＋12a27am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为________．
15．已知椭圆C：，为其左、右焦点，M为椭圆上的一点，的重心为G，内心为I，且直线IG平行x轴，则椭圆的离心率为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分12分）某餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A、B蔬菜每斤的单价分别为2元和3 元。根据需要，A蔬菜至少要买6斤，B蔬菜至少要买4斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元。
（1）写出一天中A蔬菜购买的斤数x和B蔬菜购买的斤数y之间的不等式组；
（2）在下面给定的坐标系中画出（1）中不等式组表示的平面区域（用阴影表示），并求z=x+y的最大值。

17. （本小题满分12分）
已知在等比数列中，，且是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和．

18、（本小题满分12分）
已知命题方程在上有解；命题只有一个实数满足不等式，若命题“”是假命题，求的取值范围。

19．（本小题满分13分）
在海岛上有一座海拔km的山峰，山顶设有一个观察站.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东、俯角为的处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西、俯角为的处.
(1) 求船的航行速度；
(2) 求船从到行驶过程中与观察站的最短距离.

20．（本小题满分13分）
已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）问是否存在直线，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OA⊥OB，若
存在求m值，若不存在说明理由．

21、（本小题满分13分）
数列满足：，，，。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，证明：（）。

衡南二中2014年下学期11月月考试题答案
总分：150分 时间：120分

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．命题“x∈R，sinx＞”的否定是（ B ）
A．x∈R，sinx≤ B．x0∈R，sinx0≤
C．x0∈R，sinx0＞ D．不存在x∈R，sinx＞
2．数列的通项公式可能是( B )
A B C D
3．已知等比数列的前三项依次为(C)
A. B. C. D.
4．设x，y为正数，若，则最小值为( B )
A．6 B.9 C.12 D.15
5．数列的通项公式是，若前n项和为10，则项数n为（ C ）
A．11 B．99 C.120 D．121
6．若满足，则为 （ D ）三角形.
A．等腰 B．等边 C．等腰直角 D．等腰或直角
7．等差数列项的和等

于（ B）
A． B． C． D．
8．在，三个内角、、所对的边分别为、、，若内角、、依次成等差数列，且不等式的解集为，则等于（D ）
A． B．4 C． D．
9．在R上定义运算，若不等式成立，则实数a的取值范围是(　C　)．
A．{a|} B．{a|}
C．{a|} D．{a|}

10．已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且则的最小值是 (B)
A． B． C． D．

二．填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分。
11．当时,不等式 恒成立，则实数的最大值是
【答案】 2
12. 已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为 则到另一个焦点的距离为
【答案】 8
13．已知数列的前n项和为，且，则=___．
【答案】
14. 已知命题p：实数m满足m2＋12a27am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为________．
【答案】[，]
15．已知椭圆C：，为其左、右焦点，M为椭圆上的一点，的重心为G，内心为I，且直线IG平行x轴，则椭圆的离心率为
【答案】
三、解答题：(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

16、（本小题满分12分）
某餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A、B蔬菜每斤的单价分别为2元和3 元。根据需要，A蔬菜至少要买6斤，B蔬菜至少要买4斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元。
（1）写出一天中A蔬菜购买的斤数x和B蔬菜购买的斤数y之间的不等式组；
（2）在下面给定的坐标系中画出（1）中不等式组表示的平面区域（用阴影表
示），并求z=x+y的最大值。

解：（1）………6分
（2）画出的平面区域如右图，
A（6，4），由求得C（6，16）
由求得B（24，4）易知在B点时得最大值
………12分

17. （本小题满分12分）
已知在等比数列中，，且是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和．
解：（Ⅰ）设公比为q，则，，
∵是和的等差中项，
∴，
∴………6分
（Ⅱ）
则
………12分

18、（本小题满分12分）
已知命题方程在上有解；命题只有一个实数满
足不等式，若命题“”是假命题，求的取值范围。
解：由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝或x＝－a，
∴当命题p为真命题时，≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. ………4分
又“只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2. ………8分
∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为{a|a>2，或a<－2}．………12分

19．（本小题满分13分）
在海岛上有一座海拔km的山峰，山顶设有一个观察站.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东、俯角为的处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西、俯角为的处.
(1) 求船的航行速度；
(2) 求船从到行驶过程中与观察站的最短距离.
【解析】解：⑴设船速为km/h，则km
在△中，∠与俯角相等为30°，∴.
同理，△中，. ------4分
在△中，∠15°＋45°＝60°，
∴由余弦定理得，
∴km/h，∴船的航行速度为km/h. ------7分
⑵ 作于点，∴当船行驶到点时，最小，
从而最小.
此时，. ------11分
∴＝.
∴船在行驶过程中与观察站的最短距离为km. ------13分

20．（本小题满分13分）
已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）问是否存在直线，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OA⊥OB，
若存在求m值，若不存在说明理由．
解（Ⅰ）由题意：且，又
解得：，即：椭圆E的方程为 ------6分
（Ⅱ）设
（*）
所以 ------------8分

由
得 ---12分
又方程（*）要有两个不等实根，
m的值符合上面条件，所以 -----------13分

21、（本小题满分13分）
数列满足：，，，。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，证明：（）。

【解析】（Ⅰ）∵，，
∴由题设递推关系式，当（）时，
，
即。所以数列是首项为1公差为1的等差数列，
因此。 ……………3分
当（）时，，
所以数列是首项为2公比为2的等比数列，因此………6分
故数列的通项公式为
。 …………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
于是， ……………………①
从而， ……………………②
①―②得。
所以。故有。 …………13分