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四边形面积的计算的感悟
陕西省咸阳市永寿县常宁中学 杨亚伟 师明侠 邮编：713403 电话：[phone]
笔者在一次数学辅导课上感悟到，只要四边形的对角线互相垂直，那么这样的四边形的面积就等于两条对角线乘积的一半，下面是笔者肤浅的分析及证明。
C
B
A
D
例1：如图在四边形ABCD中，AC┴BD,AC=3cm, BD=4cm,求：四边形ABCD的面积。

分析：由于一般的四边形的面积不太好计算，所以AC将四边形ABCD分成两个三角形，即ΔABC和ΔADC，这两个三角形有一个公共边AC，把AC都作为这两个三角形的底边，那么ΔABC和ΔADC，AC边上的高分别是BO和DO。所以SΔABC=AC×BO ； SΔADC=AC×DO,
解：由于S四边形ABCD=SΔABC+SΔADC
=AC×BO+AC×DO,
=AC×（BO+DO）
=AC×BO
=×3×4
=12cm2
如例2：在梯形ABCD中，AC┴BD且AC=5，BD=12，求梯形ABCD的面积？
C
B
A
D

分析：由于AC⊥BD，BD将梯形ABCD分成了ΔABD和ΔBCD，因此，S梯形ABCD=SΔABD+SΔBDC将BD作为ΔABD和ΔBCD的底边，
∴SΔABD=AO×BD SΔBDC=OC×BD
解：方法一： ∵S梯形ABCD=SΔABD+SΔBDC
=AO×BD+CO×DB
=BD×（AO+CO）
= BD×AC
=×5×12
C
B
A
D
H
=30
方法二：

解：过点D作DH∥AC延长BC与DH相较于H，
∴ 四边形ACHD是平行四边形,∵ AD=CH
∴∠BDH=90°
又 ∵SΔABD=SΔDCH(等底等高)
∴SΔBDH=S梯形ABCD
又∵SΔBDH=BD×DH
=30
∴S梯形ABCD=30
从而可知：对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半。
这样的性质菱形具有，正方形也具有，因为他们的对角线是垂直的，他们是特殊的四边形，特殊的具有一般的一切性质。