高中数学必修一函数知识点与典型例题总结(经典)(适合高一或高三复习)分解.ppt

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，,（,1,）求：,A,B,，,C,R,(A,B),；（数轴法）,（,2,）若集合,满足,，求实数,a,的取值范围。,2,1,1,-,，,，,=,M,2.,已知集合 集合,则,M,N,是,(),A B1 C1,，,2 D,，,，,M,x,x,y,y,N,=,=,2,练习,1.,集合,A=1,0,x,且,x,2,A,则,x,。,3.,满足,1,2 A 1,2,3,4,的集合,A,的个数有,个,-1,B,3,函数,定义域,奇偶性,图象,值域,单调性,函数的复习主要抓住两条主线,1、函数的概念及其有关性质。,2,、几种初等函数的具体性质。,二次函数,指数函数,对数函数,反比例函数,一次函数,幂函数,函数,函数的概念,函数的基本性质,函数的单调性,函数的最值,函数的奇偶性,函数知识结构,B,C,x1,x2,x3,x4,x5,y1,y2,y3,y4,y5,y6,A,函数的三要素：定义域，值域，对应法则,A.B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。,一、函数的概念：,思考,:,函数值域与集合,B,的关系,二、映射的概念,设,A,B,是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系,f,使对于集合,A,中的任意一个元素,x,在集合,B,中都有唯一确定的元素,y,于之对应,那么就称对应,f:AB,为集合,A,到集合,B,的一个映射,映射是函数的一种推广,本质是,:,任一对唯一,函数的定义域：,使函数有意义的,x,的取值范围。,求定义域的主要依据,1,、分式的分母不为零,.,2,、偶次方根的被开方数不小于零,.,3,、零次幂的底数不为零,.,4,、对数函数的真数大于零,.,5,、指、对数函数的底数大于零且不为,1.,6,、实际问题中函数的定义域,（一）函数的定义域,1,、具体函数的定义域,1.【-1,2）,（2，+）,2.（-，-1）（1，+）,3.（34,1】,练习：,2,、抽象函数的定义域,1,）已知函数,y=f(x),的定义域是,1,，,3,，求,f(2x-1),的定义域,2,）已知函数,y=f(x),的定义域是,0,，,5),，求,g(x)=f(x-1)-f(x+1),的定义域,3),1.1,2;2.1,4);3.-,思考：若值域为R呢？,分析：,值域为R等价为真数N能取（0，+,）每个数。,当a=0时，N=3只是,（0，+,）上的一个数，不成立；,当a,0时，,真数N取（0，+,）每个数即,求值域的一些方法：,1,、图像法，,2,、配方法，,3,、分离常数法，,4,、换元法，,5,单调性法。,1),2),3),4),三、函数的表示法,1,、解 析 法,2,、列 表 法,3,、图 象 法,例,10,求下列函数的解析式,待定系数法,换元法,（,5,）,已知：对于任意实数,x,、,y,，,等式 恒成立，求,赋值法,构造方程组法,(4),已知,求 的解析式,配凑法,增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的某个区间而言的。,注意,三、函数单调性,定义：一般地，设函数,f(x),的定义域为,I,：,如果对于定义域,I,内某个区间,D,上的任意两个自变量,x,1,、,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f(x,1,)f(x,2,),，那么就说函数在区间上是增函数。区间,D,叫做函数的增区间。,如果对于定义域,I,内某个区间,D,上的任意两个自变量,x,1,、,x,2,，当,x,1,f(x,2,),，那么就说函数在区间上是减函数。区间,D,叫做函数的减区间。,写出常见函数的单调区间,并指明是增区间还是减区间,、函数 的单调区间是,2,、函数,y=ax+b,（,a0,）的单调区间是,3,、函数,y=ax,2,+bx+c,（,a0,）的单调区间是,用定义证明函数单调性的步骤,:,(1),设元，设,x,1,x,2,是区间上任意两个实数，且,x,1,x,2,;,(2),作差，,f(x,1,),f(x,2,);,(3),变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式,(4),判号，判断,f(x,1,),f(x,2,),的符号；,（,5,）下结论,.,1.,函数,f(x)=,2x+1,(x1),x,(x,1),则,f(x),的递减区间为,(),A.1,),B.(,1),C.(0,),D.(,0,B,2,、若函数,f(x)=x,2,+2(a-1)x+2,在区间,4,+),上是增函数,求实数,a,的取值范围,小试身手？,3,判断函数 的单调性。,拓展提升复合函数的单调性,复合函数的定义：设,y=f(u),定义域,A,，,u=g(x),值域为,B,，若,A B,，则,y,关于,x,函数的,y=fg(x),叫做函数,f,与,g,的复合函数，,u,叫中间量,复合函数的单调性,复合函数的单调性由两个函数共同决定；,引理1：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。,x,增 g(x)增 y增:故可知y随着x的增大而增大,引理2：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。,x,增 g(x)减 y增:故可知y随着x的增大而增大,复合函数的单调性,若u=g(x),增函数,减函数,增函数,减函数,y=f(u),增函数,减函数,减函数,增函数,则,y=fg(x),增函数,增函数,减函数,减函数,规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。,“同增异减”,复合函数的单调性,例题：求下列函数的单调性y=log,4,(x,2,4x+3),解 设,y=log,4,u（外函数）,u=x,2,4x+3（内函数）,.由 u0,u=x,2,4x+3，解得原复合函数的,定义域为x|x1或x3,.,当x(，1)时，u=x,2,4x+3为减函数，而y=log,4,u为增函数，所以(，1)是复合函数的单调减区间；当x(3，)时，u=x,2,4x+3为增函数y=log,4,u为增函数，所以，(3，+)是复合函数的单调增区间.,解：设,u=x,2,4x+3,，,u=x,2,4x+3=(x,2)2,1,x,3,或,x,1,，,(,复合函数定义域,),x,2,(u,减,),解得,x,1.,所以,x(,，,1),时，函数,u,单调递减,.,由于,y=log,4,u,在定义域内是增函数，所以由引理知：,u=(x,2),2,1,的单调性与复合函数的单调性一致，所以,(,，,1),是复合函数的单调减区间,.,u=x,2,4x+3=(x,2),2,1,x,3,或,x,1,，,(,复合函数定义域,),x,2,(u,增,),解得,x,3.,所以,(3,，,+),是复合函数的单调增区间,.,代数解法：,解,:,设,y=logu,u=2x,x,2,.,由,u,0,u=2x,x2,解得原复合函数的定义域为,0,x,2.,由于,y=log13u,在定义域,(0,，,+),内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数,u=2x,x2,的单调性正好相反,.,易知,u=2x-x,2,=-(x,1),2,+1,在,x1,时单调增,.,由,0,x,2,（复合函数定义域）,x1,，,(u,增,),解得,0,x1,所以,(0,，,1,是原复合函数的单调减区间,.,又,u=,(x,1),2,+1,在,x1,时单调减，由,x,2,，,(,复合函数定义域,),x1,，,(u,减,),解得,0 x,2,所以,0,，,1,是原复合函数的单调增区间,.,例,2,求下列复合函数的单调区间：,y=log(2x,x,2,),例题：求函数 的单调性。,解：设 ，,f(u),和,u(x),的定义域均为,R,因为，,u,在 上递减，在 上递增。,而 在,R,上是减函数。,所以，在 上是增函数。在 上是减函数。,例,4,：求 的单调区间,.,解,:,设 由,uR,u=x,2,2x,1,解得原复合函数的定义域为,xR.,因为 在定义域,R,内为减函数，所以由二次函数,u=x,2,2x,1,的单调性易知,u=x,2,2x,1=(x,1),2,2,在,x1,时单调减，由,xR,(,复合函数定义域,),x1,，,(u,减,),解得,x1.,所以,(,，,1,是复合函数的单调增区间,.,同理,1,，,+),是复合函数的单调减区间,.,复合函数的单调性小结,复合函数,y=fg(x),的单调性可按下列步骤判断：,(1),将复合函数分解成两个简单函数：,y=f(u),与,u=g(x),。其中,y=f(u),又称为外层函数,u=g(x),称为内层函数,;,(2),确定函数的定义域；,(3),分别确定分解成的两个函数的单调性；,(4),若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数,y=fg(x),为增函数；,(5),若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数,y=fg(x),为减函数。,复合函数的单调性可概括为一句话：,“同增异减”。,四、函数的奇偶性,1.,奇函数,:,对任意的,都有,2.,偶函数,:,对任意的,都有,3.,奇函数和偶函数的必要条件,:,注,:,要判断函数的奇偶性,首先要看其定义域区间是否关于原点对称,!,定义域关于原点对称,.,奇,(,偶,),函数的一些特征,1.,若函数,f(x),是奇函数,且在,x=0,处有定义,则,f(0)=0.,2.,奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上不改变单调性,.,3.,偶函数图像关于,y,轴对称,且在对称的区间上改变单调性,例,12,判断下列函数的奇偶性,函数的图象,1,、用学过的图像画图。,2,、用某种函数的图象变形而成。,（,1,）关于,x,轴、,y,轴、原点对称关系。,（,2,）平移关系。,（,3,）绝对值关系。,反比例函数,1、定义域,.,2,、值域,3,、图象,k0,k0,a1,0a1,0a0),的性质及应用,.,函数,(a0),的大致图像,x,y,0,获取新知,利用所掌握的函数知识,探究函数,(a0),的性质,.,1.,定义域,2.,奇偶性,(-,0)(0,+,),奇函数,f(-x)=-f(x),3.,确定函数,(a0),的单调区间,.当x(0,+,)时,确定某单调区间,.当x(-,0)时,确定某单调区间,综上,函数,(a0),的单调区间是,单调区间的分界点为,:,a,的平方根,4.,函数,(a0),的大致图像,x,y,0,5.,函数,(a0),的值域,运用知识,1.,已知函数,2.,已知函数,求,f(x),的最小值,并求此时的,x,值,.,3.建筑一个容积为800米,3,深8米的长方体水池(无盖).池壁,池底造价分别为a元/米,2,和2a元/米,2,.底面一边长为x米,总造价为y.,写出y与x的函数式,问底面边长x为何值时总造价y最低,是多少?,函数图象与变换,1,平移变换,(1),水平方向的变换：,y,f,(,x,a,),的图象可由,y,f,(,x,),的图象沿,x,轴向左平移,(,a,0),或向右平移,(,a,0),或向下平移,(,b,0)|,b,|,个单位而得到,2,对称变换,(1),y,f,(,x,),与,y,f,(,x,),的图象关于,y,轴对称,(2),y,f,(,x,),与,y,f,(,x,),的图象关于,x,轴对称,(3),y,f,(,x,),与,y,f,(,x,),的图象关于原点对称,(4),y,|,f,(,x,)|,的图象是保留,y,f,(,x,),图象中位于,x,轴上方的部分及与,x,轴的交点，将,y,f,(,x,),的图象中位于,x,轴下方的部分翻折到,x,轴上方去而得到,(5),y,f,(|,x,|),的图象是保留,y,f,(,x,),中位于,y,轴右边部分及与,y,轴的交点，去掉,y,轴左边部分而利用偶函数的性质，将,y,轴右边部分以,y,轴为对称轴翻折到,y,轴左边去而得到,(2),先作函数,y,x,2,2,x,的位于,x,轴上方的图象，再作,x,轴下方图象关于,x,轴对称的图象，得函数,y,|,x,2,2,x,|,的图象，如图所示,(3),先作函数,y,x,2,2,x,位于,y,轴右边的图象，再作关于,y,轴对称的图象，得到函数,y,x,2,2|,x,|,的图象，如图所示,例 作函数的图象,y,x,o,1,y,x,o,1,抓住函数中的某,些性质，通过局,部性质或图象的,局部特征，利用,常规数学思想方,法（如类比法、,赋值法,添、拆项,等）。,高考题和平时的,模拟题中经常出,现。,抽象性较强；,综合性强；,灵活性强；,难度大。,没有具体给出函,数解析式但给出,某些函数特性或,相应条件的函数,概念,题型特点,解题思路,抽象函数问题,一、,研究函数性质,“赋值”策略对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。,(1),令,x=,-2,-1,0,1,2,等特殊值求抽象函数的函数值；,(3),令,y=-x,判断抽象函数的奇偶性；,(4),换,x,为,x+T,确定抽象函数的周期；,(2),令,x=x,2,y=x,1,或,y=,且,x,1,0,且 ）,y=log,a,x,(,a0,且 ）,同上,一、一次函数模型,:,f(x+y)=f(x)+f(y),解：,例,1:,解法,2,：,例,2,：,解,：,二,.,指数,函数模型,:,f(x+y)=f(x),f(y),例,3:,求证,:,证明,：,三,.,对数,函数模型：,f(x,y)=f(x)+f(y),例,4,：,解：,