1、1.（1）证明：当y=0时，得. ∵.
∵，∴.∴无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点.
（2）解：如图，过点P作PA⊥x轴于A,则∠OAP=90°，依题意得：.
∴.∵n<0,∴.
∵P在抛物线上，∴.∴.
∴抛物线解析式为.
（3）当y=0时，.∴，
∴抛物线与x轴相交于点
当直线y = - x + b经过点C（-2，0）时，b = -2.
当直线y = - x + b与抛物线 ，∴△ = .∴ b = . ∴ 当＜b＜-2时，直线与图形M有四个交点.
2.解：(1)∵的图象与x轴只有一个交点，
∴令，即.∴.解得n=1.
(2)由(
2、1)知，.
∵的图象与x轴有两个交点，
∴. ∵，
∴.又∵且m是整数，∴m=4或3.
当m=4时，的图象与x轴的交点的横坐标不是整数； 当m=3时，，令，即，解得，.综上所述，交点坐标为（1，0），（3，0）.
3.解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
， 解得.∴ 抛物线为y=﹣x2+2x+3 .
又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得,
，解得. ∴ 直线AC为y=x+1 .
（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
∴ 直线DN′的函数关系式
3、为y=﹣x+ 当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小则m=﹣×=
（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）
① 当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）
∵F在抛物线上， ∴x+3=﹣x2+2x+3 解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）
② 当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）
由F在抛物线上，∴x﹣1=﹣x2+2x+3
解得x=或x=，∴ E（，）或（，）
满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（， ）.
4.解：(1)证明： Δ==
4、＞0．
∴ 无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根.
（2） 解关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0，得 . 要使原方程的根是整数，必须使得是完全平方数.
设，则.∵ +和的奇偶性相同，
可得或解得或. 将m=-1代入，得符合题意. ∴ m=-1
5.解：（1）
所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根.
(2)设．∵ 的两根都在和之间，
∴ 当时，，即： ．
当时，，即：．∴ ．
∵ 为整数
5、∴ ．
① 当时，方程， 此时方程的根为无理数，不合题意．
②当时，方程，，不符合题意．
③当时，方程，符合题意．
综合①②③可知，．
6.解：（1）根据题意，抛物线与x轴交点为（1,0）和（5,0）
∴，解得. ∴抛物线的解析式为.
（2）∵的图象过A（，m）和B（4，n）两点
∴ m=，n=3 ， ∴A（，）和B（4，3）
∵直线（k≠0）过A（，）和B（4，3）两点
∴，解得.∴直线的解析式为.
（3）①根据题意，解得t2
②根据题意E（t，），F（t+2，）
H（t，），G（t+2，），
∴EH=，FG=.若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即=
解得t=，∵t=满足t2.
∴存在适当的t值，且t=使得EFGH是平行四边形.
7.解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，
所以
令解之得.
∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0） (2) 如图1，当直线经过A点时，可得
当直线经过B点时，可得
由图可知符合题意的的取值范围为
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
