平面几何中的最值问题.doc

平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在 一起，统称最值问题如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、 最节约和最高效率下面介绍几个简例 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、 图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1） 应用几何性质： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 定圆中的所有弦中，直径最长。 运用代数证法： 运用配方法求二次三项式的最值； 运用一元二次方程根的判别式。 1 例 1、A、B 两点在直线 l 的同侧，在直线 L 上取一点 P，使 PA+PB 最小。 P，连结 P，BP， 分析：在直线 L 上任取一点 P，连结 A P，BP， 在ABP中 AP+BPAB，如果 AP+BPAB,则 P必在线段 AB 上，而线段 AB 与 ABP中 AP+BPAB，如果 AP+BPAB,则 P必在线段 直线 L 无交点，所以这种思路错误。 A，则 AP AP， 取点 A 关于直线 L 的对称点 A，则 AP AP， AP+BPAB,当 P移到 AP+BPAB， 在ABP 中 AP+BPAB,当 P移到 AB 与直线 L 的交点处 P 点时 AP+BPAB， 所以这时 PA+PB 最小。 是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC 1 已知 AB 是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC 是内接半圆的梯形，试 问怎样剪这个梯形，才能使梯形 ABDC 的周长最大(图 391)？ 的周长最大( 91)？ ABCD， 分析 本例是求半圆 AB 的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为 R由于 ABCD， AC=BD若设 CD=2y，AC=x，那么只须求梯形 必有 AC=BD若设 CD=2y，AC=x，那么只须求梯形 ABDC 的半周长 u=x+y+R 的最大值 即可 =ABBE2R(R-y) 2Ry， 解 作 DEAB 于 E，则 x2=BD2=ABBE2R(R-y)2R2-2Ry， 所以 2 的最大值，只须求所以求 u 的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2 最大值即可 (x-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)23R2， 上式只有当 x=R 时取等号，这时有 所以 2y=R=x 2y=R=x 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点 C，D， 60 120 这时，梯形的底角恰为 60和 120 (m)，怎样才能得出 2 .如图 392 是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为 8 米(m)，怎样才能得出 最大面积，使得窗户透光最好？ 表示半圆半径，y AD，则必有 分析与解 设 x 表示半圆半径，y 表示矩形边长 AD，则必有 2x+2y+x=8， 2x+2y+x=8， 若窗户的最大面积为 S，则 把代入有 代入 3 即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大 在什么位置时，PA+PB 最大( 93)？ 3. 已知 P 点是半圆上一个动点，试问 P 在什么位置时，PA+PB 最大(图 393)？ 分析与解 因为 P 点是半圆上的动点，当 P 近于 A 或 B 时，显然 PA+PB 渐小，在极限 状况(P 重合时) AB因此，猜想 在半圆弧中点时，PA+PB 状况(P 与 A 重合时)等于 AB因此，猜想 P 在半圆弧中点时，PA+PB 取最大值 PB，PA，延长 PC=PA，连 CB，则 设 P 为半圆弧中点，连 PB，PA，延长 AP 到 C，使 PC=PA，连 CB，则 CB 是切线 AP 为了证 PA+PB 最大，我们在半圆弧上另取一点 P，连 PA，PB，延长 AP到 C， =BP CC，则 B= BC=PCB=45 使 PC=BP，连 CB，CC，则PCB=PBC=PCB=45， 四点共圆，所以CCA=CBA=90 所以 A，B，C，C 四点共圆，所以CCA=CBA=90， 所以在ACC中，ACAC PA+PB A+P 所以在ACC中，ACAC，即 PA+PBPA+PB AC 94，在直角 ，在直角 中，AD 是斜边上的高，M 分别是ABD， 4 如图 394，在直角ABC 中，AD 是斜边上的高，M，N 分别是ABD，ACD 的内心， AB， 求证：S 直线 MN 交 AB，AC 于 K，L求证：SABC2SAKL AM，BM，DM，AN，DN，CN 证 连结 AM，BM，DM，AN，DN，CN 因为在 中，A=90 AD 因为在ABC 中，A=90，ADBC 于 D， ABD=DAC， ADB=ADC=90 所以 ABD=DAC，ADB=ADC=90 分别是 因为 M，N 分别是ABD 和ACD 的内心，所以 1=2=45，3=4， 1=2=45 3= 所以 ADNBDM， ADNBDM， BDM 又因为MDN=90 ADB，所以 又因为MDN=90=ADB，所以 所以 BAD=MND BAD=MND 由于BAD=LCD，所以 由于BAD=LCD，所以 MDNBDA， MDNBDA， BDA MND=LCD， MND=LCD， ALK=NDC=45 ALK=NDC=45 所以 D，C，L，N 四点共圆，所以 4 同理，AKL=1=45 AK=AL因为 AKMADM， ADM 同理，AKL=1=45，所以 AK=AL因为 AKMADM， 所以 AK=AD=AL而 AK=AD=AL而 而 从而 所以 SABCSAKL 95已知在正三角 已知在正三角形 包括边上) 求证：PQ AB PQ 5. 如图 395已知在正三角形 ABC 内(包括边上)有两点 P，Q求证：PQAB AB， ，显然，PQ PQ 证 设过 P，Q 的直线与 AB，AC 分别交于 P1，Q1，连结 P1C，显然，PQP1Q1 因为 C=180 因为AQ1P1+P1Q1C=180， 所以 所以AQ1P1 和P1Q1C 中至少有一个直角或钝角 90 若AQ1P190，则 若P1Q1C90，则 90 则 BC=AB P1CBC=AB PQ AB； PQP1Q1AP1AB； PQP1Q1P1C PQ 同理， 中也至少有一个直角或钝角，不妨设 90 同理，AP1C 和BP1C 中也至少有一个直角或钝角，不妨设BP1C90， 两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQAB 他位置也可作类似的讨论，因此，PQ 对于 P，Q 两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQAB 6. 设ABC 是边长为 6 的正三角形，过顶点 A 引直线 l，顶点 B，C 到 l 的距离设为 d1， 的最大值(1992 年上海初中赛题) d2，求 d1+d2 的最大值(1992 年上海初中赛题) 5 96，延长 AB=AB，连 解 如图 396，延长 BA 到 B，使 AB=AB，连 BC，则过顶点 A 的直线 l 或者与 BC 相交，或者与 BC 相交以下分两种情况讨论 (1)若 l 与 BC 相交于 D，则 (1)若 所以 只有当 lBC 时，取等号 (2)若 (2)若 l与 BC 相交于 D，则 所以 B 上式只有 lBC 时，等号成立 97已知直角 已知直角 7. 如图 397已知直角AOB 中，直角顶点 O 在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延 AO， 长 AO，BO 分别与单位圆交于 C，D试求四边形 ABCD 面积的最小值 解 设O 与 AB 相切于 E，有 OE=1，从而 OE=1，从而 6 即 AB AB2 时，AB 当 AO=BO 时，AB 有最小值 2从而 所以，当 AO=OB 时，四边形 ABCD 面积的最小值为 7 几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素 间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题 间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题 的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量( 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长 度、角度大小、图形面积) 度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1特殊位置与极端位置法； 2几何定理(公理)法； 几何定理(公理) 3数形结合法等 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点这是由于这 类问题具有很强的探索性(目标不明确) 类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一 般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法 【例题就解】 AB=10， 【例 1】 如图，已知 AB=10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 为边作等边 和等边BPD，则 PB 为边作等边APC 和等边BPD，则 CD 长度的最小值为 思路点拨 如图，作 CCAB 于 C，DDAB 于 D， CCAB DDAB DQCC 越小，CD DQCC，CD2=DQ2+CQ2，DQ= AB 一常数，当 CQ 越小，CD 越小， 本例也可设 AP= x ，则 PB= 10 x ，从代数角度探求 CD 的最小值 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与 极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等 (2)端点处、临界位置等 1 2 8 【例 2】 如图， 圆的半径等于正三角形 ABC 的高， 此圆在沿底边 AB 滚动， 切点为 T， AC、 圆交 AC、BC 于 M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ 30 60 A从 30到 60变动 30 C保持 30不变 60 90 B从 60到 90变动 60 D保持 60不变 ） 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点 C 时， 其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断 注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下， 动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变 化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时， 研究的量取得定值与最值 ABCD， 【例 3】 如图，已知平行四边形 ABCD，AB= a ，BC= b ( a b )，P 为 AB 边上的一 动点， 直线 DP 交 CB 的延长线于 Q，求 AP+BQ 的最小值 思路点拨 设 AP= x ， AP、 分别用 x 的代数式表示， 把 AP、 BQ 运用不等式 a 2 + b 2 2ab (当 且仅当 a = b 时取等号)来求最小值 时取等号) 如图，已知等边 【例 4】 如图，已知等边ABC 内接于圆，在劣弧 AB 上取异于 A、B 的点 M，设直 线 AC 与 BM 相交于 K，直线 CB 与 AM 相交于点 N，证明：线段 AK 和 BN 的乘积与 M 点的选择无关 AK 是一个定值，在图形中 思路点拨 即要证 AKBN 是一个定值，在图形中ABC AK 的边长是一个定值，说明 AKBN 与 AB 有关，从图知 AB 为 的公共边，作一个大胆的猜想，AK AK ABM 与ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AKBN=AB2， 从而我们的证明目标更加明确 注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题 已知 的等腰直角三角形( Z=90 【例 5】 已知XYZ 是直角边长为 1 的等腰直角三角形(Z=90)，它的三个顶点分 RtABC(C=90 的三边上，求 别在等腰 RtABC(C=90)的三边上，求ABC 直角边长的最大可能值 CA(或 CB)上，当顶 上，当顶点 思路点拨 顶点 Z 在斜边上或直角边 CA(或 CB)上，当顶点 Z 在斜边 AB 上时，取 xy CB)上时，设 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点 Z 在(AC 或 CB)上时，设 CX= x ， CZ= y ，建立 x ， y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值 注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、 9 不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解常见的解题途径是： (1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值； (1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值； 利用一元 (2)构造二次函数求几何最值 (2)构造二次函数求几何最值 学力训练 1如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为边 BC 上任意一点（可与 B 点或 C 点重 合） ，分别过 B、C、D 作射线 AP 的垂线，垂足分别是 B、C、D，则 BB+CC+DD的最 BB+CC+DD 大值为 ，最小值为 PO=10，在角的两边上有两点 R(均不同 2如图，AOB=45，角内有一点 P，PO=10，在角的两边上有两点 Q，R(均不同 如图，AOB=45 O)，则 ，则 于点 O)，则PQR 的周长的最小值为 外的同侧，A AC=8， 3如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN 的距离 AC=8，B 到 MN 的距离 BD=5，CD=4， BD=5，CD=4，P 在直线 MN 上运动，则 PA PB 的最大值等于 的中点，P 4如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧 AN 的中点，P 点是直径 MN 上一动 如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点， 的最小值为( 点，O 的半径为 1，则 AP+BP 的最小值为( A 1 B 2 2 ) D 3 1 C 2 ) 5如图，圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P 从 A 点出发，沿看圆柱 的最短距离是( 的侧面移动到 BC 的中点 S 的最短距离是( A 2 1 + 2 B 2 1 + 4 2 C 4 1 + 2 D 2 4 + 2 ) ABCD， DC、 上的点，E AP、 6如图、已知矩形 ABCD，R，P 户分别是 DC、BC 上的点，E，F 分别是 AP、RP 不动时，那么下列结论成立的是( 的中点，当 P 在 BC 上从 B 向 C 移动而 R 不动时，那么下列结论成立的是( A线段 EF 的长逐渐增大 C线段 EF 的长不改变 B线段 EF 的长逐渐减小 D线段 EF 的长不能确定 10 上的任意一点(C 点重合) AC、 7如图，点 C 是线段 AB 上的任意一点(C 点不与 A、B 点重合)，分别以 AC、BC 为 BCE， 边在直线 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，AE 与 CD 相交于点 M，BD 与 CE 相交于点 N (1)求证：MNAB； (1)求证：MNAB； 求证：MN (2)若 l0cm，当点 (2)若 AB 的长为 l0cm，当点 C 在线段 AB 上移动时，是否存在这样的一点 C，使线段 的长度最长? MN 的长度最长?若存在，请确定 C 点的位置并求出 MN 的长；若不存在，请说明理由 年云南省中考题) (2002 年云南省中考题) 8如图，定长的弦 ST 在一个以 AB 为直径的半圆上滑动，M 是 ST 的中点，P 是 S 为直径的半圆上滑动，M 的中点，P 滑到什么位置， 对 AB 作垂线的垂足，求证：不管 ST 滑到什么位置，SPM 是一定角 的内接三角形，BT 的切线，B 为切点，P 9已知ABC 是O 的内接三角形，BT 为O 的切线，B 为切点，P 为直线 AB 上一 已知 点，过点 P 作 BC 的平行线交直线 BT 于点 E，交直线 AC 于点 F (1)当点 上时(如图)，求证：PA PB=PEPF； PA (1)当点 P 在线段 AB 上时(如图)，求证：PAPB=PEPF； (2)当点 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗? (1)题的结论还成立吗 (2)当点 P 为线段 BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明， 如果不成立，请说明理由 10 如图， 已知； 边长为 4 的正方形截去一角成为五边形 ABCDE， ABCDE， AF=2， BF=l， 10 其中 AF=2， BF=l， 的面积最大值是( 在 AB 上的一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积，则矩形 PNDM 的面积最大值是( A 8 B B12 C C 25 2 ) D14 11 11 AB=2； 11如图，AB 是半圆的直径，线段 CA 上 AB 于点 A，线段 DB 上 AB 于点 B，AB=2； 如图，AB AC=1，BD=3， 的最大面积是( AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形 ACPDB 的最大面积是( A 2 + 2 B 1+ 2 C 3 + 2 D 3 + 2 ) 12如图，在ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边 AB、AC 上分别取点 D、E， 12如图，在 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边 AB、 如图，在 BC=5 使线段 DE 将ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度 13如图，ABCD 是一个边长为 1 的正方形，U、V 分别是 AB、CD 上的点，AV 与 13如图，ABCD 的正方形，U AB、 上的点，AV 如图， DU 相交于点 P，BV 与 CU 相交于点 Q求四边形 PUQV 面积的最大值 14利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水已知每个 14利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水已知每个 米的圆，问如何设计( 喷水器的喷水区域是半径为 l0 米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、 宽)，才能使矩形花坛的面积最大? ，才能使矩形花坛的面积最大? 15某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场( 15某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图 某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场 如图所示) 与四个相同矩形(图中阴影部分) 如图所示)其中，正方形 MNPQ 与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为 800 平方 米 (1)设矩形的边 (1)设矩形的边 AB= x (米)，AM= y (米)，用含 x 的代数式表示 y 为 (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为 (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为 2100 元；在四个相同 的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为 的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为 105 元；在四个三角形区域上铺设草 坪，平均每平方米造价为 40 元 S(元 设该工程的总造价为 S(元)，求 S 关于工的函数关系式 元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务? 若该工程的银行贷款为 235000 元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若 能，请列出设计方案；若不能，请说明理由 若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金 73000 元，问能否完成该工程的建设 任务? 任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由 (镇江市中考题) 镇江市中考题) 12 16某房地产公司拥有一块“缺角矩形” ABCDE，边长 ，边长和方向如图，欲在这块地 16某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地 ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地 某房地产公司拥有一块 上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到 上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积( 1m2) 参考答案 13 14 15 16 最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的人 通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短” 们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题 在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所 求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面 求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面 体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短 路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为 平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最 短路线则是连结两点的直线段 这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的例如，在地球（近似 看成圆球）上 A、B 二点之间的最短路线如何求呢？我们用过 A、B 两点及地球球心 O 的 平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上 平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上 A、B 两点之间 不超过半个圆周的弧线就是所求的 A、B 两点间的最短路线，航海上叫短程线关于这个 问题本讲不做研究，以后中学会详讲 在求最短路线时，一般我们先用“对称” 在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点 之间直线段最短，从而找到所需的最短路线像这样将一个问题转变为一个和它等价的问 题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法 例 1 如下图，侦察员骑马从 A 地出发，去 B 地取情报在去 B 地之前需要先饮一次 马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出 马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出 来 解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线 AA AC=A 作点 A 关于河岸的对称点 A，即作 AA垂直于河岸，与河岸交于点 C，且使 AC=A PA，此时 PA C，连接 AB 交河岸于一点 P，这时 P 点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PAPB 17 就是侦察员应选择的最短路线 证明：设河岸上还有异于 证明：设河岸上还有异于 P 点的另一点 P，连接 PA，PB， PA PA+PBPA+PBAB=PA+PB=PA+PB， A+P +P B=PA+PB=PA+PB， 而这里不等式 PAPBAB 成立的理由是连接两点的折线段大于直线段， 所以 PA+PB 是最短路线 此例利用对称性把折线 APB 化成了易求的另一条最短路线即直线段 AB， 所以这种方 法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等看下面例题 如图一只壁虎要从一面墙壁 点，爬到邻近的另一面墙壁 例 2 如图一只壁虎要从一面墙壁上 A 点，爬到邻近的另一面墙壁上的 B 点捕蛾， 它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？ 解：我们假想把含 点的墙 90 点的墙 解：我们假想把含 B 点的墙顺时针旋转 90（如下页右图），使它和含 A 点的墙处 在同一平面上，此时转过来的位置记为 在同一平面上，此时转过来的位置记为，B 点的位置记为 B，则 A、B之间最短路线应 AB 该是线段 AB，设这条线段与墙棱线交于一点 P，那么，折线 4PB 就是从 A 点沿着两扇墙 面走到 B 点的最短路线 证明：在墙棱上任取异于 AP 90 证明：在墙棱上任取异于 P 点的 P点，若沿折线 APB 走，也就是沿在墙转 90后的 AP APB 路线 APB走都比直线段 APB长，所以折线 APB 是壁虎捕蛾的最短路线 由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可 以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原 到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线 ABCD 中，AB=4 AB=4， A=2 AD=1，有一只小虫从顶点 例 3 长方体 ABCDABCD中，AB=4，AA=2，AD=1，有一只小虫从顶点 D出发， 点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（ ？（见图（1 沿长方体表面爬到 B 点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1） 18 解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含 D、B 两点的两个相邻的面 “展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 DB 间的最短路线就是连结这两点的直线 展开”在同一平面上，在这个“展开” 段，这样，从 D点出发，到 B 点共有六条路线供选择 点，将这两个面摊开在一个平面上 从 D点出发，经过上底面然后进入前侧面到达 B 点，将这两个面摊开在一个平面上 （上页图（2 （上页图（2），这时在这个平面上 D、B 间的最短路线距离就是连接 D、B 两点的直 线段，它是直角三角形 ABD的斜边，根据勾股定理， ABD =D 1+2） =25， B=5 DB2=DA2+AB2=（1+2）242=25，DB=5 容易知道，从 D出发经过后侧面再进入下底面到达 B 点的最短距离也是 5 从 D点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达 B 点将这两个面摊开在同一平面 两点间的最短路线（上页图（3 上，同理求得在这个平面上 D、B 两点间的最短路线（上页图（3），有： 1+4） =29 DB222+（1+4）2=29 容易知道， D出发经过后侧面再进入右侧面到达 B 点的最短距离的平方也是 29 容易知道， 从 29 从 D点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达 B 点，将这两个平面摊开在同一平 面上，同理可求得在这个平面上 D、B 两点间的最短路线（见图）， 2+4） =37 DB2=（2+4）2+12=37 从 出发经过上侧面再进入右侧面到达 37 容易知道， D出发经过上侧面再进入右侧面到达 B 点的最短距离的平方也是 37 比较六条路线，显然情形 比较六条路线，显然情形、中的路线最短，所以小虫从 D点出发，经过上底面然 点（上页图（2 后进入前侧面到达 B 点（上页图（2），或者经过后侧面然后进入下底面到达 B 点的路 线是最短路线，它的长度是 5 个单位长度 利用例 2、例 3 中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决 一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上 A 和 B 两点之间的最短路线问题（下 左图），同样可以把 A、B 两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面 AP1P2B P1、 P2B， （下右图），连接 A、B 成线段 AP1P2B，P1、P2 是线段 AB 与两条侧棱线的交点，则折 线 AP1P2B 就是 AB 间的最短路线 19 圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开” 圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线因为它 具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉 机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题 机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题 例 4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起 点固定在 A 点，绕一周之后终点为 B 点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？ 解：将上左图中圆柱面沿母线 AB 剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方 形卷成上页左图中的圆柱面时，A AB 形卷成上页左图中的圆柱面时，A、B分别与 A、B 重合），连接 AB，再将上页右图还原 的圆柱面时， 成上页左图的形状，则 AB在圆柱面上形成的曲线就是连接 AB 且绕一周的最短线路 AB 圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线请看下面例题 有一圆锥如下图，A 在同一母线上，B 例 5 有一圆锥如下图，A、B 在同一母线上，B 为 AO 的中点，试求以 A 为起点，以 B 为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线 剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面 解：将圆锥面沿母线 AO 剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面 时，A AB，则将扇形还原成圆锥之后，AB AB 时，A、B分别与 A、B 重合），在扇形中连 AB，则将扇形还原成圆锥之后，AB所成的 曲线为所求 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的 例 6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的 A 点爬到桶内的 B 点去寻找 食物，已知 A 点沿母线到桶口 C 点的距离是 12 厘米， B 点沿母线到桶口 D 点的距离是 8 厘米，而 C、D 两点之间的（桶口）弧长是 15 厘米如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该 怎么走？路程总长是多少？ 20 我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于 分析 我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于 B 点在里面，不 DFBD，即以直线 便于作图，设想将 BD 延长到 F，使 DFBD，即以直线 CD 为对称轴，作出点 B 的对称 点 F，用 F 代替 B，即可找出最短路线了 DF=BD，即作点 解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长 BD 到 F，使 DF=BD，即作点 B 关于直 AF，交桶口沿线 线 CD 的对称点 F，连结 AF，交桶口沿线 CD 于 O OBOF，而 因为桶口沿线 CD 是 B、F 的对称轴，所以 OBOF，而 A、F 之间的最短线路是直 AF，又 AF=AOOF，那么 AOOB，故蚂蚁应该在桶外 线段 AF，又 AF=AOOF，那么 A、B 之间的最短距离就是 AOOB，故蚂蚁应该在桶外 爬到 O 点后，转向桶内 B 点爬去 CE=DF，易知 ，易知 是直角三角形，AF 是斜边，EF=CD EF=CD，根据勾 延长 AC 到 E，使 CE=DF，易知AEF 是直角三角形，AF 是斜边，EF=CD，根据勾 股定理， AC+CE） （12 12 AF=25 AF2=（AC+CE）2+EF2 （128）2152625=252，解得 AF=25 即蚂蚁爬行的最短路程是 25 厘米 例7 最短 A、B 两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木 桥，使它垂直于河岸请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使 桥，使它垂直于河岸请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使 A、B 两个村子之间路程 分析 因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难， 于是想到要把折线化为直线由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定 等于河宽，就相当于把河宽预先扣除， 值因此，从 A 点作河岸的垂线，并在垂线上取 AC 等于河宽，就相当于把河宽预先扣除， 找出 B、C 两点之间的最短路线，问题就可以解决 解：如上图，过 A 点作河岸的垂线，在垂线上截取 AC 的长为河宽，连结 BC 交河岸 21 于 D 点， DE 垂直于河岸， 作 交对岸于 E 点， 、 两点就是使两村行程最短的架桥地点 D E 即 AEEDDB 两村的最短路程是 AEEDDB 例 8 在河中有 A、B 两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从 A 岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到 B 岛，最后回到 A 岛，试问应选择怎样的路 线才能使路程最短？ 解：如上图，分别作 A、B 关于甲岸线、乙岸线的对称点 A和 B，连结 A、B 是最短路线，即最短路程为：AE 分别交甲岸线、乙岸线于 E、F 两点，则 AEFBA 是最短路线，即最短路程为：AE EFFBBA EFFBBA 由对称性可知路线 AEFB 的长度恰等于线段 AB的长度 证明： 而从 A 岛到甲岸， 又到乙岸，再到 B 岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接 A、B之间 ，例如上图中用“ “ ”表示的路线 FB 的折线，它们的长度都大于线段 AB，例如上图中用“”表示的路线 AEFB 的 AE 长度等于折线 AEFB 的长度，它大于 AB的长度，所以 AEFBA 是最短路线 22 对称问题教学目的：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法，对于轴对称问题、中心对 称问题有一个比较深入的认识，可以通过对称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找 到证明的方法。 教学重点和难点：猜想验证的过程，及几何问题的说理性。 一、点关于一条直线的对称问题 问题超市：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让 问题超市：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让 小狗到河边喝上水，同是回家又最近？ 问题数学化：设小明与小狗在 A 处，家在 B 处，小河为 L，小明要在直线 L 上找一个点 C（小狗在 C 处饮水） ，使得 AC+BC 最短。 （如图所示） L A B 知识介绍：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段 来研究，利用两点之间的线段最短，可以得出结果。 中学数学中常见的对称有两类，一类是轴对称，一类是中心对称。 轴对称有两个基本特征：垂直与相等。构造点 M 关于直线 PQ 的轴对称点 N 的方法 NO=MO，则点 是：过 M 作 MO 垂直于 PQ 于点 O，并延长 MO 到点 N，使 NO=MO，则点 N 就是点 M 关于直线 PQ 的对称点。 问题分析：过 A 作 AO 垂直于直 线 L 于点 O，延长 AO 到点 A，使 AO=AO，连接 AB，交直线 L 于点 O=AO，连接 B，交直线 C，则小明沿着 ACB 的路径就可以满 足小狗喝上水，同时又使回家的路 A O A C L B A O A C D L B 23 程最短。 问题的证明方法：三角形两边之和大于第三边及对称的性质。 问题的延伸 1：已知直线 L 外有一个定点 P，在直线 L 上找两 点 A、B，使 AB=m，且 PA+PB 最短。 （其中 m 为定值） 提示：作 PC 平行于 AB，且 PC=AB，则问题变为：在直线