北京高考近5年三角、数列考题.doc

2017数列
（2017年文科数列1道大题）（2017年理科数列1小题、1大题）
2017年北京高考文科第15题
15. 已知等差数列 和等比数列 满足 ，，．
（1）求 的通项公式；
（2）求和：．
15. （1） 等差数列 ，，，
可得：，解得 ，
所以 的通项公式：．
      （2） 由（Ⅰ） 可得 ，
等比数列 满足 ，，
可得 （等比数列奇数项符号相同），
所以 ， 是等比数列，公比为 ，首项为 ，
．

2017年北京高考理科第10题
（10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______.
【答案】1
【解析】
2017年北京高考理科第20题
20. 设 和 是两个等差数列，记
，
其中 表示 ，，， 这 个数中最大的数．
（1）若 ，，求 ，， 的值，并证明 是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时，；
或者存在正整数 ，使得 ，，， 是等差数列．
20. （1） ，，，，，，
当 时，，
当 时，，
当 时，，
下面证明：对 ，且 ，都有 ，
当 ，且 时，
则

由 ，且 ，
则 ，则 ，
因此，对 ，且 ，，，
又 ，
所以 对 均成立，
所以数列 是等差数列．
      （2 设数列 和 的公差分别为 ，，下面考虑 的取值，
由 ，，，，
考虑其中任意 （，且 ），
则

下面分 ，， 三种情况进行讨论，
①若 ，则 ，
当 ，，
则对于给定的正整数 而言，，此时 ，
所以数列 是等差数列；
当 ，，
则对于给定的正整数 而言，，
此时 ，
所以数列 是等差数列；
此时取 ，则 ，，，是等差数列，命题成立；
②若 ，则此时 为一个关于 的一次项系数为负数的一次函数，
故必存在 ，使得 时，，
则当 时，

因此当 时，，
此时 ，故数列 从第 项开始为等差数列，命题成立；
③若 ，此时 为一个关于 的一次项系数为正数的一次函数，
故必存在 ，使得 时，，
则当 时，

因此，当 时，，
此时

令 ，，，
下面证明： 对任意正整数 ，存在正整数 ，使得 ，，
若 ，取 ， 表示不大于 的最大整数，
当 时，

此时命题成立；
若 ，取 ，
当 时，

此时命题成立，
因此对任意正数 ，存在正整数 ，使得当 时，；
综合以上三种情况，命题得证．

2017三角
（2017文科一小题一大题）（2017理科一小题一大题）
2017年北京高考文科第9题
9. 在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称，若 ，则  ．
9.
2017年北京高考文科第16题
16. 已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求证：当 时，
16. （1）
所以 ，
所以 的最小正周期为 ．
      （2） 因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．

2017年北京高考理科第12题
（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.
【答案】
【解析】

2017年北京高考理科第15题
（15）（本小题13分）
在△ABC中， =60°，c=a.
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.
【答案】
（1）根据正弦定理
（2）当时，，
△ABC中

2016数列
（2016文科一大题）（2016理科一小题一大题）
2016年北京高考文科第15题
15. 已知 是等差数列， 是等比数列，且 ，，，．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和．
15. （1） 等比数列 的公比 ，
所以 ，．
设等差数列 的公差为 ．
因为 ，，
所以 ，即 ．
所以 ．
      （2） 由（1）知，，．
因此 ．
从而数列 的前 项和

2016年北京高考理科第12题
12. 已知 为等差数列， 为其前 项和，若 ，，则  ．
12.
【解析】 为等差数列，，所以 ，，解得 ．所以 ．
2016年北京高考理科第20题
20. 设数列 ：，，，．如果对小于 的每个正整数 都有 ，则称 是数列 的一个“ 时刻”．记 是数列 的所有“ 时刻”组成的集合．
（1）对数列 ：，，，，，写出 的所有元素；
（2）证明：若数列 中存在 使得 ，则 ；
（3）证明：若数列 满足 ，则 的元素个数不小于 ．
20. （1） 的元素为 和 ．
      （2） 因为存在 使得 ，
所以 ．
记 ，
则 ，且对任意正整数 ，．
因此 ．
从而 ．
      （3） 当 时，结论成立．
以下设 ．
由（2）知 ．
设 ，．
记 ，
则 ．
对 ，记 ．
如果 ，取 ，
则对任何 ，．
从而 且 ．
又因为 是 中的最大元素，
所以 ．
从而对任意 ，，特别地，．
对 ，．
因此 ．
所以 ．
因此 的元素个数 不小于 ．
2016三角
（2016文科一小题一大题）（2016理科一小题一大题）
2016年北京高考文科第13题
13. 在 中，，，则  ．
13.
【解析】在 中，由正弦定理知 ，又 ，，所以 ，解得 ，又 为锐角，所以 ，，所以 ．
2016年北京高考文科第16题
16. 已知函数 的最小正周期为 ．
（1）求 的值；
（2）求 的单调递增区间．
16. （1）
因为 ， .
所以 ．
      （2） 由 可知 ，
，，
，
．
所以单调递增区间是 ．

2016年北京高考理科第7题
7. 将函数 图象上的点 向左平移 个单位长度得到点 ．若 位于函数 的图象上，则
A. ， 的最小值为 B. ， 的最小值为
C. ， 的最小值为 D. ， 的最小值为
7. A 【解析】因为点 在 的图象上，
所以 ．
点 向左平移 个单位长度得到 ．
因为 在 的图象上，
所以 ．所以 ，
所以 ．又 ，所以 ．

2016年北京高考理科第15题
15. 在 中，．
（1）求 的大小；
（2）求 的最大值．
15. （1） 因为 ，
所以 ，所以 ．
      （2） 在 中，，

所以当 时， 的最大值为 ．
2015数列
（2015文科一大题）（2015理科一小题一大题）
2015年北京高考文科第16题
16. 已知等差数列 满足 ，．
（1）求 的通项公式；
（2）设等比数列 满足 ，，问： 与数列 的第几项相等?
16. （1） 设等差数列 的公差为 ．
因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ，故 ．
所以 （）．
      （2） 设等比数列 的公比为 ，
因为 ，，
所以 ，，
所以 ．
由 得 ，
所以 与数列 的第 项相等．
2015年北京高考理科第6题
6. 设 是等差数列，下列结论中正确的是
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
6. C 【解析】数列 是等差数列，如数列 ，满足 ，则 ；如数列 满足 ，则 ；所以A，B不正确；对于等差数列 ，所以D不正确；等差数列若 ，则数列 是单调递增数列，有 ，所以C正确．

2015年北京高考理科第20题
20. 已知数列 满足：，，且 记集合 ．
（1）若 ，写出集合 的所有元素；
（2）若集合 存在一个元素是 的倍数，证明： 的所有元素都是 的倍数；
（3）求集合 的元素个数的最大值．
20. （1） ，，．
      （2） 因为集合 存在一个元素是 的倍数，所以不妨设 是 的倍数．
由 可归纳证明对任意 ， 是 的倍数．
如果 ，则 的所有元素都是 的倍数．
如果 ，因为 或 ，所以 是 的倍数，于是 是 的倍数．
类似可得 ，， 都是 的倍数．
从而对任意 ， 是 的倍数，因此 的所有元素都是 的倍数．
综上，若集合 存在一个元素是 的倍数，则 的所有元素都是 的倍数．
      （3） 由 ， 可归纳证明 （）．
因为 是正整数， 所以 是 的倍数．
从而当 时， 是 的倍数．
如果 是 的倍数，由（2）知对所有正整数 ， 是 的倍数．
因此当 时，，这时 的元素个数不超过 ．
如果 不是 的倍数，由（2）知对所有正整数 ， 不是 的倍数．
因此当 时，，这时 的元素个数不超过 ．
当 时， 有 个元素．
综上可知，集合 的元素个数的最大值为 ．

2015三角
（2015文科一小题一大题）（2015理科一小题一大题）
2015年北京高考文科第11题
11. 在 中，，，，则  ．
11.

2015年北京高考文科第15题
15. 已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最小值．
15. （1） 因为 ，
所以 的最小正周期为 ．
      （2） 因为 ，所以 ．
当 ，即 时， 取得最小值．
所以 在区间 上的最小值为 ．

2015年北京高考理科第12题
12. 在 中，，，，则  ．
12.
【解析】因为 中，，，，
所以 ，，
所以 ，，
所以 ．

2015年北京高考理科第15题
15. 已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最小值．
15. （1） 由题意得 ，
所以 的最小正周期为 ．
      （2） 因为 ，所以 ．
当 ，即 时， 取得最小值．
所以 在区间 上的最小值为 ．

2014数列
（2014文科一大题）（2015理科两小题一大题）
2014年北京高考文科第15题
15. 已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，且 是等比数列．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和．
15. （1） 设等差数列 的公差为 ，由题意得：

所以

设等比数列 的公比为 ，由题意得：

解得 ．所以

从而

      （2） 由（1）知，

数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为

所以数列 的前 项和为

2014年北京高考理科第5题
5. 设 是公比为 的等比数列，则 “ ” 是" 为递增数列"的
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. D
2014年北京高考理科第12题
12. 若等差数列 满足 ，，
则当   时， 的前 项和最大．
12.
【解析】根据等差数列的性质，得 ，，
于是 ，，即 ，，
故 为 的前 项和中的最大值．

2014年北京高考理科第20题
20. 对于数对序列 ，记 ，，其中 表示 和 两个数中最大的数．
（1）对于数对序列 ，，求 ， 的值；
（2）记 为 四个数中最小值，对于由两个数对 ， 组成的数对序列 ， 和 ，，试分别对 和 时两种情况比较 和 的大小；
（3）在由 个数对 ，，，， 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 使 最小，并写出 的值．（只需写出结论）
20. （1）

      （2） 当 时，

因为 是 中最小的数，所以 ，从而

当 时，

因为 是 中最小的数，所以 ，从而

综上，这两种情况下都有 ．
      （3） 数对序列 （不唯一）对应的 最小，此时 ．

2014三角
（2014文科一小题一大题）（2014理科一小题一大题）
2014年北京高考文科第12题
12. 在 中，，，，则  ；  ．
12. ，
2014年北京高考文科第16题
16. 函数 的部分图象如图所示．

（1）写出 的最小正周期及图中 ， 的值；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值．
16. （1） 的最小正周期为 ，，．
      （2） 因为 ，所以
于是，当 ，即 时， 取得最大值 ；
当 ，即 时， 取得最小值 ．

2014年北京高考理科第14题
14. 设函数 （ ，， 是常数，， ）．若 在区间 上具有单调性，且 ，则 的最小正周期为  ．
14.
【解析】记 的最小正周期为 ．由题意知 ，
又 ，且 ，
可作出示意图如图所示（一种情况）：

所以 ， ，
所以 ，所以 ．

2014年北京高考理科第15题
15. 如图，在 中， ， ，点 在 上，且 ， ．

（1）求 ；
（2）求 的长．
15. （1） 因为

所以

      （2） 在 中 ，

即

解得

在 中，

所以 ．
2013数列
（2013文科一小题一大题）（2013理科一小题一大题）
2013年北京高考文科第11题
11. 若等比数列 满足 ，，则公比  ；前 项和  ．
11. ，
2013年北京高考文科第20题
20. 给定数列 ，，，，对 ，，，，该数列前 项的最大值记为 ，后 项 ，，， 的最小值记为 ，．
（1）设数列 为 ，，，，写出 ，， 的值；
（2）设 ，，， 是公比大于 的等比数列，且 ，证明：，，， 是等比数列；
（3）设 ，，， 是公差大于 的等差数列，且 ，证明：，，， 是等差数列．
20. （1） ，，．
      （2） 因为 ，公比 ，所以 ，，， 是递增数列．
因此，对 ，，，，，．故 ，，，，

因此， 且 ，即 ，，， 是等比数列．
      （3） 设 为 ，，， 的公差．
对 ，因为 ，，所以

又因为 ，所以

从而 ，，， 是递增数列．因此

又因为

所以

因此 ，所以

所以

因此对 ，，， 都有

即 ，，， 是等差数列．
2013年北京高考理科第10题
10. 若等比数列 满足 ，，则公比  ；前 项和  ．
10. ，
2013年北京高考理科第20题
20. 已知 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，第 项之后各项 的最小值记为 ，．
（1）若 为 ，是一个周期为 的数列（即对任意 ），写出 的值；
（2）设 是非负整数，证明： 的充分必要条件为 是公差为 的等差数列；
（3）证明：若 ，则 的项只能是 或者 ，且有无穷多项为 ．
20. （1） ．
      （2） （充分性）因为 是公差为 的等差数列，且 ，所以

因此

（必要性）因为 ，所以

又因为 ，所以

于是，．因此

即 是公差为 的等差数列．
      （3） 因为 ，所以

故对任意 ．
假设 中存在大于 的项．
设 ，并且对任意 ．又因为 ，所以

于是，

故

与 矛盾．
所以对于任意 ，有 ，即非负整数列 的各项只能为 或
因为对任意 ，所以 ．故

因此对于任意正整数 ，存在 满足 ，且 ，即数列 有无穷多项为

2013三角
（2013文科一小题一大题）（2013理科一小题一大题）
2013年北京高考文科第5题
5. 在 中，，，，则
A. B. C. D.
5. B
【解析】由正弦定理： 及已知得 ．
所以 ．
2013年北京高考文科第15题
15. 已知函数 ．
（1）求 的最小正周期及最大值；
（2）若 ，且 ，求 的值．
15. （1） 因为

所以 的最小正周期为 ，最大值为 ．
      （2） 因为 ，所以

因为 ，所以

所以

故 ．

2013年北京高考理科第3题
3. " "是"曲线 过坐标原点"的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. A
2013年北京高考理科第15题
15. 在 中，，，．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
15. （1） 因为 ，，，
所以在 中，由正弦定理得 ．
所以 ．故 ．
      （2） 由（1）知 ，所以 ．
又因为 ，所以 ．所以 ．
在 中，．所以 ．

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