数列通项公式的常用求法.doc

数列通项公式的六种常用求法
一 、累加法
形如 (n=2、3、4…...) 且可求，则用累加法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
例1. 在数列{}中，=1， (n=2、3、4……) ，求{}的通项公式。
解：∵
这n-1个等式累加得：=
故 且也满足该式 ∴ ().

例2．在数列{}中，=1， (),求。
解：n=1时, =1以上n-1个等式累加得
==，故 且也满足该式 ∴ ()。
二 、累乘法
形如 (n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
例3．在数列{}中，=1，，求。
解：由已知得 ，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，故
且=1也适用该式 ∴ ().

例4．已知数列{}满足=，，求。
解：由已知得，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入
上式得n-1个等式累乘，即=
所以，又因为也满足该式，所以。
三、构造等比数列法
原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数，为一次式。

例8、已知数列{}中，=1，=，求数列的通项公式。
分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含是变量，而不是常量了。故应构造新数列，其中为常数，使之为公比是的系数2的等比数列。
解：构造数列，为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列
即= 整理得：=
满足 = 得 ∴新数列是首项为=，q=2的等比数列 ∴= ∴=
四、构造等差数列法
数列{}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出。
例、数列{}满足= ()，首项为，求数列{}的通项公式。
解：= 两边同除以得=+1
∴数列是首项为=1，d=1的等差数列
∴=1+ 故
五、取倒数法
有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出。
例、已知数列{}，= ， ，求=？
解：把原式变形得 两边同除以得
∴是首项为，d=的等差数列故∴。

六、利用公式求通项
有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出。
例.数列{}的前n项和为，=1， ( n∈),求{}的通项公式。
解：由=1，=2，当n≥2时==得=3，因此{}是首项为=2，q=3的等比数列。故= (n≥2),而=1不满足该式
所以=。