基于动态探究揭示一般规律.doc

基于动态探究，揭示一般规律徐老师，您好！这是我最近做高考题时，写的一篇文章，您帮我看看，斧正一下。

1.引言
2012年的高考已然落下帷幕，给我们留了一笔丰富的教育教学资源。在闲暇之余，细细品读，最别具风味的是那些别出新裁、独具匠心的一道道解析几何试题。笔者在借助由张景中院士开发的国产智能化动态数学教育软件《超级画板》进行动态探究中，发现一些试题的结论不仅可以推广得出一般化结论，而且还可以进行类比、迁移，例如在椭圆中成立的结论，在双曲线和抛物线中同样成立。在动态探究的过程中，由特殊向一般层层推进，步步为营，直至得出统一的性质和规律，这刚好与我们的新课程注重引导学生对知识的自主探究和动态化生成的理念不谋而合，以2012年福建卷的一道解析几何题为例加以探究和说明。
2.引例
【2012年福建】如图，椭圆的左焦点为右焦点为离心率为过的直线交椭圆于两点，且的周长为.
(I)求椭圆的方程；
(II)设动直线与椭圆有且只有一个公共点且与直线相交于点试探究：在坐标平面内是否存在定点使得以为直径的圆恒过点若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【动态解析】（1）由椭圆的定义知：的周长为，故.又由离心率知，，，故椭圆的方程为.
（2）由题意知，过切点的椭圆的切线交直线于点，而椭圆的右准线恰好是直线，即过椭圆上任意一点的切线交椭圆的右准线于点(如图1所示).
需要我们探究的结论：在坐标平面内是否存在定点使得以为直径的圆恒过点
【动态探究1】:可以用超级画板做出以为直径的圆，拖动点在椭圆上运动，观察动圆上是否存在不动的定点(探究结果如图2所示).

图1 图2
结果发现：存在使得以为直径的圆恒过轴上的定点
通过动态解析我们找到了这个定点的位置，接下来，我们需要通过解析法求出这个定点的坐标，解析如下：
由消去得：
因为动直线与椭圆有且仅有一个公共点，所以，即
，化简得
由韦达定理知：，即，
所以，又由知，
设定点的坐标为，则,即对于满足式的恒成立.
又，由可得：
，整理得：
因为对于满足式的恒成立，所以，解得
故存在定点,使得以为直径的圆恒过点
通过上述的解析发现果真如我们动态探究的结果一样，存在且唯一的定点,使得以为直径的圆恒过点借助动态化数学软件进行探究，为我们的解析几何解题教学提供了一个直观化的工具，也为我们的发散式的变式教学提供了一个很好的平台。因为椭圆只是圆锥曲线中的一种，那么这样的结论在双曲线中是否依然成立呢？我们可以借助《超级画板》继续进行动态变式探究。
【变式探究1】:将椭圆的方程中的变成，“摇身一变”就得到了
双曲线的图象（如图3和图4所示）。
x^2/4-y^2/3=1

图3 图4
下面来动态探究在双曲线上，是否存在定点使得以为直径的圆恒过点
【动态探究2】可以用超级画板做出以为直径的圆，拖动点在双曲线上运动，观察动圆上是否存在不动的定点(探究结果如图5所示).

图5
结果发现：存在使得以为直径的圆恒过轴上的定点
类似地，通过解析法可以求出定点，此时双曲线的方程为。
综合我们所得出的结论：
（i）当椭圆的方程为时，定点的坐标为；
（ii）当双曲线的方程为时，定点的坐标为；
观察上述结论我们发现：所求的定点刚好是椭圆（或双曲线）的右焦点！然而这个结论只是我们的一个猜想，需要严格地加以验证。以椭圆为例（双曲线过程类似）证明过程如下：
设过椭圆上任意一点的切线
交椭圆的右准线于点，以为直径的圆恒过点.
由消去可得：，
因为动直线与椭圆有且仅有一个公共点，所以，即
，化简得：
由韦达定理知：，即，
所以，又由知，
又因为对于满足式的恒成立.
又，
由可得：，
整理得：
因为对于满足式的恒成立，所以，解得
故存在定点,使得以为直径的圆恒过点即定点为椭圆的右焦点！
一般性结论：
结论1：已知是椭圆的右焦点，点是椭圆上任意一点，以点为切点的椭圆的切线与椭圆的右准线交于点,以为直径的圆恒过定点.
结论2：已知是双曲线的右焦点，点是双曲线上任意一点，以点为切点的双曲线的切线与双曲线的右准线交于点,以为直径的圆恒过定点.
【变式探究2】以上椭圆和双曲线具有的一般化性质，能否类比推广到抛物线上呢？我们可以继续进行动态探究一下，看能否得出类似的结论。
【动态探究3】可以用超级画板做出以为直径的圆，拖动点在抛物线上运动，观察动圆上是否存在不动的定点(探究结果如图6所示).

图6
结果发现：存在使得以为直径的圆恒过轴上的定点，并且定点刚好是抛物线的焦点.
下面我们来对动态探究的结果进行一般化的证明，过程如下：
证明：设抛物线上任意一点，以点为切点的切线交抛物线的准线于点，以为直径的圆恒过点.
由消去得：
因为动直线与抛物线有且仅有一个公共点，所以，即
，化简得：
由韦达定理知：，即，
所以，又由知，
又因为对于满足式的恒成立.
又，
由可得：，
由得：
整理得：
由知：
因为对于满足式的恒成立，所以，解得
故存在定点,使得以为直径的圆恒过点即定点为抛物线的焦点！
结论3：已知是抛物线的焦点，点是抛物线上任意一点，以点为切点的抛物线的切线与抛物线的准线交于点,以为直径的圆恒过定点.
3.结语
利用现代化教育技术手段，为我们的数学教学，特别是解题教学插上一双“信息化”的翅膀，让学生在动态探究过程中，发现知识和规律，经过合情推理，对知识和规律进行类比、迁移、推广、归纳得出一般化的结论。与此同时，在富有生趣的探究活动中，不仅能让学生领略到现代科学技术的神奇和曼妙，还能在学生的心灵深处种下“探索”的种子，引导他们在学习中拥有一双发现的眼睛，渐渐地形成勤于钻研、勤于思考、勤于探寻的优良的思维品质，成为学习中的有心人，真正地做学习的主人。