初中数学第一轮总复习之第85份学案.doc

人教版七至九年级数学第一轮总复习学案
之
角平分线知识及应用
（主导：信州区秦峰中学 朱校华）
学情分析：
如今班级学生中，心骄气傲者至少占60﹪；舍不得吃苦者起码有八成；潜在悲哀！事实已证明：
每天不做十道题，数学成绩甭高提！（这也是历届不少学生数学成绩平平的主因之一。）
面对中考数学试题千变万化，要想提高中考数学成绩，多做题，对强基固本有帮助；现实中，题是做不完的，有的学生做完题后，会感觉收效不高，加上功课多，时间又不允许；如今学生存在的普遍现状是“考试时老师讲过的或自己做过的题有的会做，稍有变化的或者说没做过的题感觉不知从何处下手做，想了好久结果白白浪费时间，导致最终难以拿到高分（考过100分者少啊！）”。这应该是目前第一轮总复习所要解决的大问题！
方法悟正再给力，以一当十高效率！（由图形变化.条件变换悟道是本案主要目的之一。）
天天预备：准备齐全直尺、圆规、铅笔等作图用具；草稿本；笔记本和作业本。
学案内容：（至少两节课完成）
（一）． ※考点罗列※
1.角平分线的定义和表示；（角平分线是直线？射线？还是线段？）
2.会叙述角平分线性质定理及逆定理；(使用时须注意什么？这里暗藏第一幅基本图形：如图4示，①AP是∠BAC的平分线，点D在AP上，②DE⊥AB于E,③DF⊥AC于F，则④DE = DF 成立.即条件①②③共同作用才有④成立.出示例考题：△ABC中，AD既是∠BAC的平分线,又是BC上的中线，则△ABC是等腰三角形；试证明之.)
3.如何作出角平分线？（尺规作图，保留痕迹。）
4.三角形的四条重要线段之一：角平分线（其余三条是指谁？），能否说三角形的三条角平分线一定在三角形内部？外角平分线呢？内心指什么？内心有何性质？内心肯定在三角形内部吗？（课后请记得抽时间联系外心进行对比，并与垂心，及重心一起来归纳；勿忘关注这些概念隶属于特殊三角形的表现情形！）
【ZHXH教学笔记851】 【ZHXH教学笔记852】

5.由角平分线可以联想到哪些知识？(知道这点对做题特有效，俗称解题找到“下刀处”!)
碰到题给条件或结论中出现角平分线时，请记住：（绝招系列）
① 有相等的角出现，即使用定义；
② 与三角形其它重要线段之高、中线、中位线等结合使用，注意综合处理。
③ 通过翻折，易构作轴对称型全等三角形，利用全等性质；
④ 与平行线搭配，构成等腰三角形，巧用其性质；（这里暗藏第二幅基本图形）
⑤ 与垂线搭档，不仅可勾出等腰三角形（这里又暗藏着第三幅基本图形）；有时甚至还能活用到角平分线性质定理；
⑥ 有对应线段成比例结论存在（现已移到高中教材中咯！暂不要求.）。
（二）．㊣考题解决㊣
№1. 在任意△ABC中，
（1）如图1示，若两角平分线BI、CI交于点I,试探求∠I与∠A之间的关系；
（2）如图2示，若两外角平分线BP、CP交于点P，试探求∠P与∠A间的关系；
（3）如图3示，BI、CI是角平分线，BP、CP是外角平分线，则∠I与∠P存在怎样的数量关系？写出您认为正确的结论并证明之。
（4）如图4示，角平分线AP与外角平分线BP交于点P，求证：∠ACB = 2∠P
A
B
I
C
A
B
C
P
图1 图2

图3 图4
I
C
B
C
A
A
B
P
P

做后感悟：透过不同的表象，你从中悟到哪些共同点？
题中用到角平分线的什么知识？（明知识是什么？暗知识又是什么？）
悟道之一：万变肯定不离宗，抓住题宗别放松！本题“宗”指什么？
№2. 在△ABC中，∠ABC ＜∠ACB , AE是∠CAB的平分线交BC于E，
（1）如图5示，若A D⊥B C于点D ，则 2 ∠ EAD = ∠C - ∠B .试证明之；
（2）如图6示，点F是A E上任一点，若F D⊥B C于点D ， 试探究 ∠ EFD 、 ∠C 与 ∠B的关系；
（3）如图7示，点F是A E延长线上任一点，若F D⊥B C于点D ，则 （2）中的推导是否仍成立？
A
A
（4）如图8示，点F是内心，过F作F D⊥B C于点D ，请探究∠ EFD 、∠ABC与 ∠ ACB的关系.
A
B
图5 图6
D
E
E
D
F
C
B
C

E
图7 图8
E
D
F
C
D
F
B
E
A
B
C

做后感悟： 你能很快看出四小题变化的要点是平移了吗？（勿忘翻折与旋转哦！）
题图虽变，关系是否在改变呢？什么在改变？什么没改变？
悟道之二： 以不变来应万变，学会添加辅助线！ 首先常规抓补全基本图形；其次熟记常添辅助线作图例；最后是需什么想到添什么。 【ZHXH教学笔记853】 【ZHXH教学笔记854】

№3. 如图9示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，DE平分∠ADC, CE平分∠DCB,DE与CE交AB于E. 求证：AE = BE
（一）探究：还可以得出哪些结论？用不同方法来说明之
（Key：①DE⊥CE;②AD ＋ BC = DC;③△ADE∽△BEC;④SABCD=2SEDC）
（二）变式：试将原题已知和求证交换位置，是否成立？（至少有三题哦！）
（三）变形：若梯形ABCD不是直角梯形呢？
（如图10示，砍掉已知条件AB⊥BC，结论AE = BE还成立吗？）
（四）变透：若将已知条件AB⊥BC变成DC⊥BC ，其余条件不变 ；结果又会怎样？（请您借助作图工具作出符合题意的题图，再好好地究一究噢！敬请同学们时刻牢记伟人毛泽东言：自己动手，丰衣足食！）
将本题再次延伸拓展，有下列漂亮中考题例：（安徽 ● 中考）
已知△CDE中，DE = EC,∠ DEC = 900，过点E任作一直线AB，分别过点D、C作DA⊥AB、CB⊥AB，垂足分别为A、B.（1）如图11示，点D、C位于直线AB同侧时， 求证：AD + BC = AB ；（2）如图12示，点D、C位于直线AB异侧时，试猜想:（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出您认为正确的结论并证明之；若成立，简单说明之.
图9 图10 图11 图12
A
E
B
C
C
D
B
E
C
B
D
E
A
C
B
D
A
A
D

做后感悟： 充分挖掘一道题深层次的内涵，正如尝试剥开椰子坚实的外壳，过程很简单，结果很惬意！假如我们每天在这方面多磨磨，收成应更多！
悟道之三： 探果索因手段现，解题思路易寻见！

（三）.◆相关好题◆
（请选择您认为非常好又喜欢的其中一题做在作业本上供批阅！）
№4. 平行四边形ABCD中，∠ABC ＝ 720，B E平分∠ABC交A D于点E,
且B E ＝ B C ,点F在B E上，∠EFC ＝∠D .
（1） 求证 ： E F ＝ E D
（2） 仔细研究，试在你所画的题图中以所标字母为端点添加一条线段，
使等腰三角形最多；
（3） 事实上，图中等腰三角形最多应有 个，先逐一写出来；
再选择其中一个简单地给予说理.
№5. 已知A B是⊙ O的直径，C是⊙ O上一点，∠CAB的平分线交⊙ O于点D,交
⊙O的过点B的切线B E于点E,过点D作D F ⊥ C A，交A C的延长线于点F.
（1） 猜想：D F 是否是⊙ O的切线？ 请说明之；
（2） 若D E ＝ 2, D F ＝ 3, 求A D ：B E的值？
№6. 已知：△ABC 中，2∠ ABC ＝∠ ACB ，A D 是角平分线，试猜想:
线段 A B ,A C 和C D长度存在何种数量关系？写出你认为正确的结论并证明之.
№7. 如图13示，B D 、C E 分别是△ABC外角∠ ABM 、∠ ACN 的平分线，
过点 A分别作B D 、C E 的垂线段，垂足分别为 D、 E ，连D E .
求证：2 D E ＝ A B ＋ B C ＋ C A （或证 D E 长等于△ABC的半周长）
图13
M
N
C
B
D
E
A

【ZHXH教学笔记855】 【ZHXH教学笔记856】

（四）.●归纳总结●
今后凡遇到或用到有关角平分线知识题，离不开上面所支五大高招：即在【ZHXH教学笔记852】黑体字所表的①至⑤条款. 例如，
第4题中就呈现了“角平分线 ＋ 平行线 → 等腰三角形” 这一（第二幅）基本图形，即妙用了④；
第5题仅用了①，没什么特色，然而“角相等”是最基本的用法，不能轻视之；
第6题活用了“沿角平分线所在直线翻折三角形构成轴对称型全等三角形”方法，渗透了转化思想，充分体现了辅助线的桥梁作用.即巧用了③；
第7题表明上看，似乎无从下手.其实借用了⑤，也就是角平分线的另一种（即第三幅）基本图形：
“角平分线 ＋ 垂 线 → 等腰三角形”
应该能较容易找到突破口（分别延长A D、A E 交直线M N 分别于点F 、H .）！
至于条款②，在第2题中早动用了②，已很了不起囖！ 更何况第7题最终还是需要通过三角形中位线性质定理来搞定的；说明：知识单一难成题，错综复杂隐神奇！)
本案旨在抛砖引玉，希望同学们在今后的学习生涯中（ⅰ）多多动脑，（ⅱ）多多动手（人有两块宝，双手和大脑；动手不动脑，很难学得好；动脑不动手，学业很难守；手脑联合用，成功易掌控）；（ⅲ）分秒必争；（ⅳ）分分必争；（ⅴ）充实自我；（ⅵ）充实每天（别将过去抱得太紧，因为那样你就腾不出手来拥抱现在了！）。赠言：
☆☆☆☆☆
人生难得几回搏，
中考堪称第一搏！
相信自己可成才，
真才多财放光彩！
★★★★★