二次函数动点问题(提高篇).doc

数学压轴题 二次函数动点问题
1.如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得
解得a＝－，b＝－，c＝．
（2）由（1）知y＝－x 2－x＋，令y＝0，得－x 2－x＋＝0．
解得x1＝－3，x2＝1．
∵A(－3，0)，∴B(1，0)．又∵C(0，)，∴OA＝3，OB＝1，OC＝，
∴AB＝4，BC＝2．∴tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝60°，∴∠CAO＝30°．
同理，可求得∠CBO＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACB＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
又∵BM＝BN＝t，∴△BMN是等边三角形．
∴∠BNM＝60°，∴∠PNM＝60°，∴∠PNC＝60°．
∴Rt△PNC∽Rt△ABC，∴＝．
由题意知PN＝BN＝t，NC＝BC－BN＝2－t，∴＝．
∴t＝．∴OM＝BM－OB＝－1＝．
如图1，过点P作PH⊥x轴于H，则PH＝PM·sin60°＝×＝．
MH＝PM·cos60°＝×＝．∴OH＝OM＋MH＝＋＝1．
∴点P的坐标为(－1，)．
（3）存在．
由（2）知△ABC是直角三角形，若△BNQ与△ABC相似，则△BNQ也是直角三角形．
∵二次函数y＝－x 2－x＋的图象的对称轴为x＝－1．∴点P在对称轴上．
∵PN∥x轴，∴PN⊥对称轴．
又∵QN≥PN，PN＝BN，∴QN≥BN．
∴△BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形．
①如图2，过点N作QN⊥对称轴于Q，连结BQ，则△BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形，且QN＞PN，∠MNQ＝30°．
∴∠PNQ＝30°，∴QN＝＝＝．

∴＝＝．∵＝tan60°＝，∴≠．
∴当△BNQ以点N为直角顶点时，△BNQ与△ABC不相似．
②如图3，延长NM交对称轴于点Q，连结BQ，则∠BMQ＝120°．
∵∠AMP＝60°，∠AMQ＝∠BMN＝60°，∴∠PMQ＝120°．
∴∠BMQ＝∠PMQ，又∵PM＝BM，QM＝QM．
∴△BMQ≌△PMQ，∴∠BQM＝∠PQM＝30°．∵∠BNM＝60°，∴∠QBN＝90°．
∵∠CAO＝30°，∠ACB＝90°．∴△BNQ∽△ABC．
∴当△BNQ以点B为直角顶点时，△BNQ∽△ABC．
设对称轴与x轴的交点为D．
∵∠DMQ＝∠DMP＝60°，DM＝DM，∴Rt△DMQ≌Rt△DMP．
∴DQ＝PD，∴点Q与点P关于x轴对称．∴点Q的坐标为(－1，－)．
综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点Q(－1，－)，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
2.如图①，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

解：（1）由题意得．解得．
∴所求抛物线的解析式为y＝－x 2－2x＋3；
（2）存在符合条件的点P，其坐标为P(－1，)或P(－1，)
或P(－1，6)或P(－1，)；
（3）解法一：
过点E作EF⊥x轴于点F，设E(m，－m 2－2m＋3)（－3＜ a ＜0）
则EF＝－m 2－2m＋3，BF＝m＋3，OF＝－m．
∴S四边形BOCE ＝S△BEF ＋S梯形FOCE＝BF·EF ＋(EF＋OC)·OF
＝(m＋3)(－m 2－2m＋3)＋(－m 2－2m＋6)(－m)．
＝－m 2－m＋＝－(m＋)2＋
∴当m＝－时，S四边形BOCE 最大，且最大值为．
此时y＝－(－)2－2×(－)＋3＝∴此时E点的坐标为(－，)．
解法二：过点E作EF⊥x轴于点F，设E(x，y)（－3＜ x ＜0）
则S四边形BOCE ＝S△BEF ＋S梯形FOCE＝BF·EF ＋(EF＋OC)·OF
＝(3＋x)· y＋(3＋y)(－x)．＝(y－x)＝(－x 2－3x＋3)．
＝－(x＋)2＋
∴当x＝－时，S四边形BOCE 最大，且最大值为．
此时y＝－(－)2－2×－)＋3＝∴此时E点的坐标为(－，)．

3.如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x 2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵OA、OC的长是方程x 2－5x＋4＝0的两个根，OA＜OC．
∴OA＝1，OC＝4．
∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴∴A（－1，0），C（0，－4）．
∵抛物线y＝ax 2＋bx＋c的对称轴为x＝1∴由对称性可得B点坐标为（3，0）．
∴A、B、C三点的坐标分别是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）．
（2）∵点C（0，－4）在抛物线y＝ax 2＋bx＋c图象上，∴c＝－4． 4分
将A（－1，0），B（3，0）代入y＝ax 2＋bx－4得
解得
∴此抛物线的解析式为y＝x 2－x－4．
（3）∵BD＝m，∴AD＝4－m．
在Rt△BOC中，BC 2＝OB 2＋OC 2＝3 2＋4 2＝25，∴BC＝5．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴＝，即＝．∴DE＝．
过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF＝sin∠CBA＝＝．
∴＝，∴EF＝DE＝×＝4－m．
∴S ＝S△CDE ＝S△ADC －S△ADE＝(4－m)×4－(4－m)(4－m)＝－m 2＋2m
＝－(m－2)2＋2（0＜m＜4）．
∵－＜0 ∴当m＝2时，S有最大值2．
此时OD＝OB－BD＝3－2＝1．∴此时D点坐标为（1，0）．

4.如图，抛物线y＝a(x＋3)(x－1)与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为(－2，6)．
（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得6＝a(－2＋3)(－2－1)，∴a＝－2．
∴抛物线的解析式为y＝－2(x＋3)(x－1)，即y＝－2x 2－4x＋6
令－2(x＋3)(x－1)＝0，得x1＝－3，x2＝1
∵点A在点B右侧，∴A(1，0)，B(－3，0)
设直线AC的函数关系式为y＝kx＋b，把A(1，0)、C(－2，6)代入，
得 解得
∴直线AC的函数关系式为y＝－2x＋2．
（2）①设P点的横坐标为m(－2≤ m ≤1)，
则P(m，－2m＋2)，M(m，－2m 2－4m＋6)．
∴PM＝－2m 2－4m＋6－(－2m＋2)＝－2m 2－2m＋4＝－2(m＋)2＋
∴当m＝－时，线段PM长度的最大值为．
②存在. M1(0，6),． M2(－，)．
ⅰ)如图1，当M为直角顶点时，连结CM，则CM⊥PM，△CMP∽△ANP
∵点C(－2，6)，∴点M的纵坐标为6，代入y＝－2x 2－4x＋6
得－2x 2－4x＋6＝6，∴x＝－2（舍去）或x＝0∴M1(0，6)
（此时点M在y轴上，即抛物线与y轴的交点，此时直线MN与y轴重合，点N与原点O重合）
ⅱ)如图2，当C为直角顶点时，设M(m，－2m 2－4m＋6)(－2≤ m ≤1)
过C作CH⊥MN于H，连结CM，设直线AC与y轴相交于点D
则△CMP∽△NAP
又∵△HMC∽△CMP，△NAP∽△OAD，∴△HMC∽△OAD ∴＝
∵C(－2，6)，∴CH＝m＋2，MH＝－2m 2－4m＋6－6＝－2m 2－4m
在y＝－2x＋2中，令x＝0，得y＝2
∴D(0，2)，∴OD＝2 ∴＝
整理得4m 2＋9m＋2＝0，解得m＝－2（舍去）或m＝－
当m＝－时，－2m 2－4m＋6＝(－)2－4×(－)＋6＝ ∴M2(－，)

8