2015年海淀区初三二模数学试卷及答案.doc

海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习
数学
2015．6
考生须知
1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1.中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，其中古籍善本约有2000000册．2000000用科学记数法可以表示为
A． B． C． D．
2.若二次根式有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
3．我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关系（部分）如下表所示．天文兴趣小组的小明等4位同学从今夜23:00至明晨7:00将进行接力观测，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小明在子时观测的概率为
古时x§k§b 1
子时
丑时
寅时
卯时
今时
23：00～1：00
1：00～3：00
3：00～5：00
5：00～7：00
A． B． C． D．
4.如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形

A B C D

5.如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立
A．B.
C.D.

6.甲和乙入选学校的定点投篮大赛，他们每天训练后投10个球测试，记录命中的个数，五天后将记录的数据绘制成折线统计图，如右图所示．则下列对甲、乙数据描述正确的是
A．甲的方差比乙的方差小
B．甲的方差比乙的方差大
C．甲的平均数比乙的平均数小
D．甲的平均数比乙的平均数大
7.在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：

对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是：
A．根据“边边边”可知，△≌△，所以∠=∠
B．根据“边角边”可知，△≌△，所以∠=∠
C．根据“角边角”可知，△≌△，所以∠=∠
D．根据“角角边”可知，△≌△，所以∠=∠

8.小明家端午节聚会，需要12个粽子.小明发现某商场正好推出粽子“买10赠1”的促销活动，即顾客每买够10个粽子就送1个粽子.已知粽子单价是5元/个，按此促销方法，小明至少应付钱
A．45元　　B．50元 C．55元 D．60元

9.如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为
A．B．
C．D．
10.如右图所示，点Q表示蜜蜂，它从点P出发，按照着箭头所示的方向沿P→A→B→P→C→D→P的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线l为对称轴的轴对称图形，在直线l上的点O处（点O与点P不重合）利用仪器测量了∠POQ的大小．设蜜蜂飞行时间为x，∠POQ的大小为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是

AB C D
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11. 将函数y=x2 −2x + 3写成的形式为．
12. 点A,B是一个反比例函数图象上的两个不同点.已知点A（2,5），写出一个满足条件的B点的坐标是．

13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，AC平分∠BAD，则∠BAC的度数为．

14．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A观测放置于B，C两处的标志物，数据显示点B在点A南偏东75°方向20米处，点C在点A南偏西15°方向20米处，则点B与点C的距离为米．

15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，以B为圆心，
BA为半径画弧交CB的延长线与点D，则的长为.

A
O
B
16.五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A的坐标为
（7，5），则白子B的坐标为______________；为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为______________的位置处．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17.计算：．

18.解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

19．如图，已知∠BAC=∠BCA，∠BAE=∠BCD=90°，BE=BD．
求证：∠E=∠D．

20.已知，求代数式的值．

21.列方程或方程组解应用题:
小明坚持长跑健身．他从家匀速跑步到学校，通常需30分钟．某周日，小李与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了40米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离．

22．已知关于的方程有两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若a为正整数，求方程的根．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23.已知，中，D是BC上的一点，且∠DAC=30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，
，.
(1)求证：AD=CD；
(2)若tanB=3，求线段的长．

24.小明和小腾大学毕业后准备自主创业，开一个小店卖腊汁肉夹馍．为了使产品更好地适合大众口味，他们决定进行一次抽样调查．在某商场门口将自己制作的肉夹馍免费送给36人品尝，并请每个人填写了一份调查问卷，以调查这种肉夹馍的咸淡程度是否适中．调查问卷如下所示：
调查问卷年月
你觉得这种肉夹馍的口味（单选）
A. 太咸 B. 稍咸 C. 适中 D. 稍淡 E. 太淡

经过调查，他们得到了如下36个数据：
BCBADACDB
CBCDCDCEC
CABEADECB
CBCEDEDDC
（1）小明用表格整理了上面的调查数据，写出表格中m和n的值；
（2）小腾根据调查数据画出了条形统计图，请你补全这个统计图；
（3）根据所调查的数据，你认为他们做的腊汁肉夹馍味道适中吗？．（填“适中”或者“不适中”）

25．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上， CE=CA，
AB，CE的延长线交于点F．
1） 求证：CE与⊙O相切；
（2） 若⊙O的半径为3，EF=4，求BD的长．

26．阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式成立的x的个数．小明发现，先将该等式转化为，再通过研究函数的图象与函数的图象（如图）的交点，使问题得到解决．

请回答：
（1） 当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为_______；
（2） 当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为_______；
（3） 当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为_______．

参考小明思考问题的方法，解决问题：
关于x的不等式只有一个整数解，求的取值范围．

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A（0,3），与轴交于点B，C（点B在点C左侧）.
（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴与轴交于点D，若直线经过点D和点
E，求直线DE的表达式；
（3）在（2）的条件下，已知点P（，0），过点P作垂直于轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在轴下方，直接写出的取值范围．

28．如图1，在中，AB=AC，∠ABC =，D是BC边上一点，以AD为边作，使AE=AD，
+=180°．
（1）直接写出∠ADE的度数（用含的式子表示）；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．

图1 图2 图3

29. 如图1，在平面直角坐标系内，已知点，，，，记线段为，线段为，点是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点的直线l与，都有公共点，则称点是联络点．
例如，点是联络点．
（1）以下各点中，__________________是联络点（填出所有正确的序号）；
①；②；③.

图1 备用图
（2）直接在图1中画出所有联络点所组成的区域，用阴影部分表示；
（3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为联络点，
①若，求点M的纵坐标；
②求r的取值范围．

海淀区九年级第二学期期末练习
数学试卷答案及评分参考
2015．6
一、 选择题（本题共30分，每小题3分）

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
C
A
A
A
C
B
D
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
题号
11
12
13新课 标第 一 网
14
15
16
答案

（1,10）
注:答案不唯一
40º

（5,1）；(1分)
（3,7）或（7,3）
(2分)答对1个给1分
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17.(本小题满分5分)
解：原式……………………..……………………………………………………...4分
．……………………………………………………………………………………...5分
18. (本小题满分5分)
解法一：去括号,得．…………………………………………………………………..1分
移项，得．…………………………………………………………………..2分
合并，得．……………………………………………………………………3分
系数化为1，得．…………………………………………………………...……4分
不等式的解集在数轴上表示如下：x k b 1 . c o m
． …………………………………………………………5分
解法二：去分母，得．…………………………………………………………………1分
移项，得．……………………………………………………………………2分
合并，得．………………………………………………………………..3分
系数化为1，得．…………………………………………………………………..4分
不等式的解集在数轴上表示如下：
． …………………………………………………………5分
19．(本小题满分5分)
证明：在△ABC中
∵∠BAC=∠BCA，
∴AB=CB．……………………………………………1分
∵∠BAE=∠BCD=90°，
在Rt△EAB和Rt△DCB中，

∴Rt△EAB≌Rt△DCB．……………………………………4分
∴∠E=∠D．…………………………………………5分

20.(本小题满分5分)
解：原式……………………………………………………………………….1分
……………………………………………..………………………………2分
．………………………………………………………………………………3分
∵，
∴．………………………………………………………………………………………4分
∴原式．………………………………………………………………………………..5分
21. (本小题满分5分)
解：设小明家到学校的距离为x米．……………………………………………………………………..1分
由题意，得．………………………………………………………………………..3分
解得．……………………………………………………………………..4分
答：小明家到学校的距离为6000米．………………………………………………………………….5分
22. (本小题满分5分)
解：（1）∵关于的方程有两个实数根，
∴．……………………………………………………………………..1分
解得 ．……………………………………………………………………………………2分
∴的取值范围为．
（2）∵，且a为正整数，
∴．…………………………………………………………………………………………3分
∴方程可化为．w w w .x k b 1.c o m
∴此方程的根为．………………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23. (本小题满分5分)
（1）证明： ∵ED⊥AD，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AE=4，
∴，．………………………………………………………………1分
∵，
∴．
∴．
又
∴．
∴AD=DC．………………….…………………………………………………………………2分

（2）解：过点A作AF⊥BC于点F，如图．
∴∠AFC=∠AFB=90°．
∵AE=4，EC=2，
∴AC=6．
在Rt△AFC中，∠AFC =90°，∠C=30°，
∴…………………………………………………………………………3分
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，tanB=3，
∴．……….………………………………………………………………………4分
∴．……….……………………………………………………………5分

24. (本小题满分5分)
（1）；；………………………………………………………………………………...2分
（2）
………………………………………………………………...4分
（3）适中．………………………………………………………………………………….5分
25．(本小题满分5分)
证明：连接OE，OC．
在△OEC与△OAC中，

∴△OEC≌△OAC．………………………………………………………………………………..1分
∴∠OEC=∠OAC．
∵∠OAC=90°，
∴∠OEC90°．
∴OE⊥CF于E．
∴CF与⊙O相切．………………………………………………………………………………...2分
（2）解：连接AD．
∵∠OEC=90°，
∴∠OEF=90°．
∵⊙O的半径为3，
∴OE=OA=3．
在Rt△OEF中，∠OEF=90°，OE= 3，EF= 4，
∴，………………………………………………………………………3分
．
在Rt△FAC中，∠FAC=90°，，
∴．…………………………………………………………………………4分
∵AB为直径，
∴AB=6=AC，∠ADB=90°．
∴BD=．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴．
∴BD=．…………………………………………………………………………………….5分
26. (本小题满分5分)
解：（1）当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为 1 ；…………………………………….………1分
（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为 2 ；…………………………………………2分
（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为 1 ．…..…………………………………………3分
解决问题：将不等式转化为，
研究函数与函数的图象的交点.
∵函数的图象经过点A(1,4)，B(2,2)，
函数的图象经过点C(1,1)，D(2,4)，
若函数经过点A(1,4)，则，……………………………………………………4分
结合图象可知，当时，关于x的不等式只有一个整数解．
也就是当时，关于x的不等式只有一个整数解. ……………………5分

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27. (本小题满分7分)
解：（1）∵抛物线与轴交于点A（0,3），
∴．
∴．
∴抛物线的表达式为．…………………………………………………………………1分
∵抛物线与轴交于点B，C，
∴令，即．
解得，．
又∵点B在点C左侧，
∴点B的坐标为，点C的坐标为．…………………………………………………...……3分
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
∵抛物线的对称轴与轴交于点D，
∴点D的坐标为．…………………………………………………………………………...………4分
∵直线经过点D和点E，
∴
解得
∴直线DE的表达式为. ………………………………………………………………………5分
（3）或……………………………………………………………………………………………7分

28．(本小题满分7分)
（1）∠ADE =．…………………………………………………………………………………….…1分
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF．
∴．…………………………….……2分
由（1）知，∠ADE =，
∴．…………………...……3分
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=CD．……………………………………………………………………………………..……………4分

②证明：
∵AB=AC，∠ABC =，
∴．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF, AE=BF．
∴．……………………………………………………………………………………………5分
由（1）知，，
∴．…………………………………………………………………………………………………6分
∴．

∴AD=CD．
∵AD=AE=BF，
∴BF=CD．
∴BD=CF．………………………………………………………………………………………………………7分

29. (本小题满分8分)
（1）②，③是联络点．…………………………………………………………………………2分
（2）所有联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）．

x k b1 . co m

………………………………………………………………………4分

（3）① ∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为联络点，阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M与直线AC相切于(0，0)，
或与直线BD相切于(0，1)，如图所示．
又∵⊙M的半径，
∴点M的坐标为(0，)或(0，2)．………………6分
经检验：此时⊙M与直线AD，BC无交点，⊙M上只有一个点为联络点，符合题意．
∴点M的坐标为(0，)或(0，2)．∴点M的纵坐标为或2．
② 阴影部分关于直线对称，故不妨设点M位于阴影部分下方．
∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为联络点，
阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M与直线AC相切于O(0，0)，且⊙M与直线AD相离．
作ME⊥AD于E，设AD与BC的交点为F，
∴MO=r，ME>r，F(0，)．
在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1，，
∴，．
在Rt△FEM中，∠FEM=90°，FM=FO+OM=r+，，
∴．
∴．又∵，
∴．……………………………………………………………………………………8分

新课 标第 一 网