1、
高效测试45：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图
一、选择题
1．如图所示，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图)是( )
解析：由题知AA′＜BB′＜CC′，正视图为选项D所示的图形．
答案：D
2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )
解析：被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照
2、各图，只有选项D符合．
答案：D
3．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )
解析：由三视图间的关系，易知B正确．
答案：B
4．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
解析：通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D.
答案：D
5．如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是( )
解析：以正方体上底面中心O2与下底面中心O1连线为轴作出截面，截面绕O1O2轴旋转过程中分别出
3、现截面A、B、C，本题需要更强的空间想象力．
答案：D
6．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原梯形的面积为( )
A．2 B.
C．2 D．4
解析：直观图为等腰梯形，若上底设为x，高设为y，
则S直观图＝y(x＋2y＋x)＝，
而原梯形为直角梯形，其面积为S＝·2y(x＋2y＋x)＝2×＝4.
答案：D
二、填空题
7．若正三棱锥(底面为正三角形，顶点与底面中心的连线垂直于底面)的正视图与俯视图如图所示(单位：cm)，则它的侧视图的面积为__________cm2.
解析：由该正三棱锥的正视图和俯视图可知，其侧视图
4、为一个三角形，它的底边长等于俯视图的高即，高等于正视图的高即，所以侧视图的面积为S＝××＝(cm2)．
答案：
8．图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h＝__________cm.
解析：由三视图可知，棱锥的三条长分别为5,6，h的侧棱两两垂直，故××5×6×h＝20，h＝4
答案：4
9．如图所示，ABCD是一平面图形水平放置的斜二测直观图．在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行．若AB＝6，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是__________．
解析：由斜二测直观图的作图规则知：该平面图形是梯形，
5、且AB与CD的长度不变，仍为6和4，高CB为4，∴面积为20.
答案：20
三、解答题
10．已知圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径及两底面面积之和．
解析：如图所示，设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，且∠ASO＝30°，
在Rt△SO′A′中，＝sin30°，
∴SA′＝2r.
在Rt△SOA中，＝sin30°，
∴SA＝4r.
∴SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a.
∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.
∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面
6、面积之和为5πa2.
11．如图所示的三幅图中，图(1)所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图(2)(3)所示(单位：cm)．
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．
解析：(1)如图．
(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－×(×2×2)×2＝(cm3)．
12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，求由A到C1在长方体表面上的最短距离为多少？
解析：展开1如图(1)所示：
AC1＝＝；
展开2如图(2)所示：AC1＝＝3；
展开3如图(3)所示：AC1＝＝2.
由A到C1在长方体表面上的最短距离为3.
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