小波分析在数字图像处理中的应用研究.doc

目录
摘要 I
ABSTRACT II
第一章 前言 1
1.1 小波分析概述 1
1.2 小波分析产生的背景 2
第二章 小波分析简介 4
2.1 小波变换的定义 4
2.2 小波变换的性质 4
2.3 小波多分辨分析 6
2.4 小波分析的算法 8
2.4.1 由尺度函数生成小波函数 8
2.4.2 小波的分解和重构算法 9
2.4.3 小波变换的边界延拓方法 10
2.5 小波分析在图像编码中的应用 10
2.5.1 图像的二维小波变换 10
2.5.2 小波的图像编码算法 12
第三章 小波分析的多尺度边缘检测 14
3.1 小波分析的多尺度边缘检测 14
3.2 经典边缘检测方法 15
3.3 小波分析与多尺度边缘检测 15
3.3.1 局部频率刻画功能 15
3.3.2 小波多分辨分析 16
3.3.3 边缘的多尺度特性刻画 16
3.4 边缘检测准则与多尺度边缘检测 17
3.4.1 边缘检测准则与多尺度边缘检测 17
3.4.2 问题分析 17
3.5 边缘模型和最小位移的小波基的选择 18
3.6 位置不变的多尺度边缘检测模型 19
3.7 实验结果和分析 20
第四章 小波分析的数字图像清晰化方法 22
4.1 数字图像处理概述 22
4.2 数字图像格式 22
4.2.1 计算机数字图像格式 22
4.2.2 MATLAB支持的基本图像类型 23
4.2.3 图像类型转换 24
4.3 小波图像分解与重构 24
4.4 小波图像去噪 26
4.5 小波图像增强 28
4.6 图像直方图分析 29
4.7 图像平滑处理 30
4.8 小波图像清晰化综合处理 31
第五章 小波图像压缩 33
5.1小波图像压缩问题 33
5.2 变换编码 33
5.3 小波用于图像压缩 33
5.3.1 概述 33
5.3.2 量化和编码算法 34
5.3.3 空间域的算法 36
5.3.4 频率域和空间域的结合 37
5.4 图像压缩原理 37
结束语 39
参考文献 40
致谢 41

小波分析在数字图像处理中的应用研究
摘要
小波分析是继Fourier分析之后的新的时频域分析工具。在图像处理领域，其应用包括从图像生成、图像预处理、图像压缩与传输、图像配准、图像分析、特征提取与图像分类等图像处理的几乎所有阶段。本课题对小波分析在多尺度边缘检测、静止图像压缩和数字图像清晰化三个方面应用的方法进行了研究。
传统的边缘检测基于一阶导数极大值或二阶导数零交叉的定义。这种定义对噪声非常敏感，因此边缘检测需要通过图像平滑在大尺度下进行。但在大尺度下进行边缘检测的一个缺点是边缘位置容易发生偏移。这对于基于边缘特征的模式识别而言会造成误识别。小波分析具有多尺度特性，既有大尺度的基函数，又有小尺度的基函数，因而在运用于边缘检测时，正好解决了这个问题。本课题证明了，基于对称小波基的小波变换，在用于多尺度边缘检测时，可以很好地保持边缘位置;本课题的工作讨论了一种基于双正交对称小波的多尺度边缘检测算法。该算法在获得良好边缘的情况下，边缘定位准确度高。
通过对数字图像处理的多种方法进行研究，重点选取小波图像去噪、小波图像增强、灰度直方图调整、中值滤波图像平滑四种方法，在此基础上，将其联合起来进行综合研究，给出了一种基于小波分析的数字图像清晰化综合处理方法。这种方法按照以下步骤和流程:原始含噪模糊图像→小波图像去噪→直方图调整→小波图像增强→中值滤波图像平滑→清晰化综合处理图像。通过对含噪模糊图像处理，可以看出，这种方法对提高含噪模糊图像的清晰化具有一定的效果。

关键词: 小波分析；多尺度边缘检测；图像压缩；数字图像清晰化

The Application and Study of Wavelet Analysis in Digital Image Processing
ABSTRACT
Wavelet analysis is a tool of time-frequency analysis after Fourier analysis. In the field of image processing, its application covered imaging technique, image pre-processing, image compression and transferring, image registration, image analysis, feature extraction and pattern classification, etc. In this paper, it’s researched on wavelets application in the fields of mufti-scale edge detection, remote sensing image processing and medical imaging.
The traditional methods of edge detection are based on one-order derivative’s maximum, or two-order derivative’s zero-crossing. This kind of edge definition is very sensitive to noises. And thus, edge detection should be carried out in large scale, by which the image was smoothed. One of the shortcomings of edge detection in large scale is that it’s difficult to locate edge precisely, which will make mistakes in pattern recognition based on edge features. With mufti-scale characterization, wavelet analysis was widely used to mufti-scale edge detection. In this paper, it was proved that, wavelet-based mufti-scale edge detection would keep edge positions very well, if symmetric bases were used in wavelet transform. Furthermore, an algorithm of mufti-scale edge detection based on bi-orthogonal symmetric wavelet was put forward; with which, “good edges” will be obtained while the edge positions will be kept well.
Through the study of the many digital image processing methods, we select image denoising and enhancement based on wavelet analysis, gray image histogram modifying and image smoothness based on median filter. Moreover, we develop an integrated method of digital image sharpness on the basis of the above four methods. The integrated method accords to the following steps: blurred noisy image→image denoising based on wavelet analysis→image histogram modification→image enhancement based on wavelet analysis→image smoothness based on median filter →sharpened image. The result of blurred noisy image pressing proves that the integrate method has a good image vision effect and sharpness. so the conclusion we can come to from above all is that the integrated method is an effective and feasible method to improve the sharpness of blurred noisy image.

KEY WORDS: Wavelet transform; Multi-scale edge detecting; Image compression; Digital image sharpness

第一章 前言
1.1 小波分析概述
小波分析真正作为一门理论或学科被研究仅仅是20年的事情。与Fourier分析和Gabor变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取局部信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析。解决了Fourier分析不能解决的许多问题。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样条分析和数值分析的完美结晶;信号和信息处理专家认为，小波分析是时间-尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了具有科学意义和应用价值的成果。
与Fourier分析和Gabor变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分、低频处频率细分(实际就是时间粗分)，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier分析以来在科学方法上的重大突破。
小波变换继承和发展了Gabor变换的局部化思想，基本思想来源于可变窗口的伸缩和平移。小波的概念是由法国的从事石油勘测信号处理的地球物理学家Morlet于1984年提出的。他在分析地震波的时频局部特性时，希望使用在高频处时窗变窄，低频处频窗变窄的自适应变换。但Fourier变换很难满足这一要求，随后他引用了高斯余弦调制函数，将其伸缩平移得到一组函数系，该函数系后来被称作Morlet小波基。Morlet这一根据经验建立的反演公式当时并未得到数学家的认可，幸运的是，Calderon的发现和Hardy空间原子分解的深入研究，己为小波变换的诞生作了理论上的准备。后来，Stromberg构造了第一个小波基。1986年著名的数学家Meyer构造了一个真正的小波基，并与Mallat合作建立了构造小波基的统一方法—多尺度分析。从此，小波分析开始了蓬勃发展的阶段。
小波分析理论作为时频分析工具，在信号分析和处理中得到了很好地运用。平面图像可以看成二维信号，因此，小波分析很自然地被运用到图像处理领域。目前小波分析已经被运用到图像处理的几乎所有分支。但在某些方面的应用并没有达到很完美的程度;另一方面，不断地有一些关于小波的新的应用出现。本课题对小波理论做了粗浅的研究，并给出了小波在某些图像处理中的应用结果[1]。
1.2 小波分析产生的背景
传统的用于信号处理和信号分析的主要工具是Fourier分析。Fourier分析由两个变换组成，即积分Fourier变换和离散Fourier变换。函数f(R)的积分Fourier变换如下:
(1-1)
Fourier变换的作用是将时(空)域信号转变成频域信号，在频域上对原信号的频谱进行分析，以便对原信号进行去噪、平滑和压缩等处理以及信号分解等分析工作。Fourier变换具有许多重要性质，如卷积性质和能量守恒性质等。这些性质对信号处理既非常有用，又非常方便。但Fourier分析并非完美无缺。早在60年代末70年代初工程技术人员就发现Fourier分析在分析信号频谱时的缺陷:Fourier分析适合从整个时域(空域)上分析信号的频谱信息，却不适合分析信号在局部的频率变化情况，尤其是局部发生突变的信号。这从Fourier变换的表达式中不含时域（空域）变量这一点可以看出。为了使Fourier变换同时也能刻画函数的局部特征，人们引入了窗口Fourier变换(又称短时Fourier变换)。
设函数g(x)为窗口函数，f(x)(R)关于w(x)的窗口Fourier变换定义为:
(1-2)
其中，作为窗口函数的w(t)要求满足：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
从以上定义可以看出，这样的窗口函数必须在无穷远处迅速趋向于零。最常用的窗口函数是Gaussian。函数窗口Fourier变换的目的是要在每一点，处开一个窗口以便观察函数f (t)在该点附近的变化情况。窗口函数的中心定义为：
(1-3)
窗口函数的宽度为2Δg，其中
(1-4)
从上面的定义可知，这样定义的窗口Fourier变换有其固有的缺陷，其窗口的大小(宽度)是固定不变的。这与设立窗口的初衷不完全相符，事实上，在函数变化较快的地方需要较窄的窗口;而在变化较慢的地方需要较宽的窗口。如何构造一种随原函数的频率变化而变化的窗口函数，这从理论上要求将Fourier变换的核函数与窗口函数蹂合在一起考虑，这样就导致了小波的产生[2]。

第二章 小波分析简介
2.1 小波变换的定义
从第一章的分析知道，小波分析是对Fourier分析的重要补充和改善。因此，小波变换的定义应满足这样的条件:小波基尽可能由少数的几个函数生成;理想的小波基应是紧支的。类似于Fourier分析，小波分析主要由两个变换构成，即连续小波变换和离散小波变换。连续的小波变换的形式化定义最早由Morlet和Grossman提出。设为变换的核函数，函数的连续小波变换定义为：
（2-1）
其中，核函数要满足的下面的容许条件。
定义:设函数满足：
（2-2）
则称为基小波。（2.2）式称为容许条件。
2.2 小波变换的性质
当基函数满足容许条件时，离散的小波变换将映射到。即
若令：
（2-3）
则
（2-4）
通常T的逆不存在。如果存在常数0 （2-8）
而
（2-9）
则称的消失矩为m。
小波函数均有非负的消失矩。消失矩越大，则基于这样的小波所对应的函数分解对信号压缩越有利。因为一般函数都可以由多项式函数逼近(Taylor定理)，消失矩性质表明了，次数不大于m的多项式在小波分解后，对应的分支都归于零。
(2)正交性质
设为小波函数，构成一组规范正交基。并设
（2-10）
若同时还有重构关系
（2-11）
则称为正交小波。若，但存在函数示，使得对于任意的，若则
（2-12）
则称为对偶基，原小波基称为双正交小波基(或半正交小波基)。正交小波在信号分解时，具有独立性，对于提取信号的特征以便进行模式识别很有用。
(3)紧支撑性质和对称性
设为小波函数，如果它的支集sup()有限，则称为紧支撑小波。紧支撑小波变换可以刻画信号的局部特征，这对于分析和描述突变信号很有用。
如果小波函数为对称的或反对称的，则对应的小波基称为对称小波基。对称小波基用于小波变换，可以保持重要纹理位置不变。这对于多尺度边缘检测、或运用多尺度方法进行目标跟踪有利。
常用的小波有Mexican hat小波，Meyer小波，Morlet小波，三次B样条小波，Daubechies小波和Simoncelli小波等。这些小波都为正交小波，且具有紧支集。不同小波在刻画信号或图像的属性时存在差异，如Morlet小波用于纹理图像的分割较好;而Mexican hat小波更适合于直边物体的分割。小波分析具有的方向性对纹理分类不利，但对于图象分割却是优点。Daubechies构造出的系列小波{Dn}中，D0(Haar)可用于刻画不连续性，D4可用于检测一阶导数的不连续性，D8可用于检测二阶导数的不连续性，等等。
遗憾的是，除Haar小波外，同时具有紧支性和正交性的小波将肯定不具有对称性。在有些应用中，希望小波基在具有紧支集的前提下，仍然具有正交性和对称性。这时，可以用双正交小波。
2.3 小波多分辨分析
在数字信号或数字图像处理领域，一般将离散小波的步长取为2。即若是小波函数，令
（2-13）
如果它满足稳定性条件
（2-14）
则称是一个二进小波。此时不论小波是否为正交，均存在级数表示对任何
（2-15）
对于每个j，令
（2-16）
即是由线性张成的闭子空间。(2. 16)式表明，空间能够分解为子空间的直接和。即：
（2-17）
在此意义下，对每个，都有一个分解
（2-18）
其中,，对所有成立。
定义：中的闭子空间序列称为形成一个(二进)多分辨分析，若满足:
(1) 是一个嵌套序列，即
(2)所有的并在中是稠密的，即
(3)所有的交是零空间，即
(4)
(5)), 并且，存在的一个函数使得是的一个Riesz基，即且存在常数，使对所有双无限平方和序列，有
（2-19）
此时称为对应于基小波的尺度函数。
设为基小波，令

（2-20）
则有。若存在中的一个函数，使得族是的一个Riesz基，则满足上述定义的所有条件。于是，由小波函数可生成一个多分辨分析。尺度函数与小波函数存在两尺度关系:
（2-21）
（2-22）
及分解关系
（2-23）
其中
用表示，表示，两尺度关系可以重写为
（2-24）
（2-25）
在此基础上，定义
（2-26）
（2-27）
则函数族称为关于尺度函数的小波包。本课题不在此陈述函数生成一个多分辨分析的条件。这里着重指出，多分辨分析的定义，以及小波函数所满足的上述条件，为构造小波函数提供了一种思路，同时也为小波变换的算法实施提供了一种思路。即小波函数可以通过尺度函数构造，小波变换可以通过多分辨分析的方法逐层进行。
2.4 小波分析的算法
小波分析的算法主要包括两个方面:生成小波基的算法和基于小波基的函数分解和重构算法。由上面的分析知，小波基由小波母函数经平移和伸缩构成。而母函数由可以由尺度向量构成。因此生成一组小波基的关键是找到一个尺度向量以及由尺度向量生成小波向量的算法。
2.4.1 由尺度函数生成小波函数
由多分辨分析可以导出基于二进小波的尺度函数和小波函数之间的关系。设为尺度向量，为对应的小波向量。由基于两尺度关系的多分辨分析可导出如下关系:
或 （2-28）
其中，2N为尺度向量的支撑区间的长度。许多小波函数由样条函数构造出来的。由样条函数构造出的二进小波函数可以表示成尺度函数的导数。这在多尺度边缘检测中很有用。
由二进小波的定义，二进小波在对信号分解时，将原信号分解为波长相等的两个分支。设分解后的高频部分和低频部分分别为g(x)和h(x)，他们所代表的频带宽度各占一半。下一次的分解总是对低频部分h(x)再进行频带的二分之一分解。有时希望对信号进行小波变换后得到的分支所代表的频带宽度不是原来的二分之一，而是三分之一或五分之一。这是的小波变换称为多进小波。设由尺度函数生成的小波函数为平，对应的小波变换称为多进小波变换。
多进小波和尺度函数的关系稍微复杂一些。设讨论的是多进小波，即由尺度函数生成M-1个小波函数，则由该尺度函数和小波函数同样可以生成多分辨分析。且通过M带滤波器的参数化，可以得到下列关系:
（2-29）
其中，为Householder参数。对于给定的一组参数，确定了唯一的一个尺度函数以及M-1个小波函数，小波函数由矩阵的其余M-1行决定，共有种选择法。
无论二进小波还是多进小波，他们的第二次分解总是只对低频的部分进行。有时希望在小波变换的进一步分解时同时对己分解出的低频部分和高频部分同时进行。既要对低频部分进一步局部化，同时又对高频部分进一步局部化。这时就要用到小波包 [3]。
2.4.2 小波的分解和重构算法
目前，使用最多的是基于二进小波的S.Mallat的快速算法，但是二维情形的小波变换较为复杂。原因是二维小波基的形式要复杂一些。一种简化的形式是用可分离的小波基。设和分别为尺度函数和小波函数，二维可分离的尺度函数定义为，二维小波基由三部分组成:
，， （2-30）
从物理的意义上说，是沿水平方向平滑，而沿垂直方向高通滤波的滤波器;是沿水平方向高通滤波，而沿垂直方向平滑的滤波器:是沿水平方向和垂直方向均为高通滤波的滤波器。小波变换后的图像见图2.1。

(a)二进小波变换 (b) 3-带小波变换
图2.1小波变换图例
2.4.3 小波变换的边界延拓方法
小波变换是以卷积的形式出现的。对于有限长度的信号或有限大小的图像，在边界处的卷积实际上时不严格的。设信号x(n)的长度为N，初始信号为x(o)，滤波器长度(或小波的支集)为L(假设为偶数)。则基于二进离散小波的变换公式可以表示为
，
上面求和公式中，和没有定义。因此，为了使上面的公式完善，必须对原信号进行边界延拓。常用的延拓方法有四种：
(1) 零延拓

(2) 边界重复延拓

(3) 周期延拓(即缠绕)
;
(4) 对称延拓
;
2.5 小波分析在图像编码中的应用
2.5.1 图像的二维小波变换
Mallat提出的多分辨率塔式分解与合成算法促进了小波变换在数字信号处理中的工程应用。对于二维数字图像信号，离散小波变换可以通过在水平和垂直方向上分别应用h，g滤波器进行一维滤波来实现：二维离散小波变换的Mallat实现如图2.2所示：

a二维离散小波分析

图2.2 二维离散小波变换的实现
二维离散小波变换每次分解产生一个低频子图LL和三个高频子图，即水平子图LH、垂直子图HL和对角子图HH，下一级小波变换是在前级产牛的低频子图LL的基础上进行的，依次重复，可完成图像的N级小波分解，得到图像的N级分辨率，其中N-1级对应效果最差的分辨级，0级时对应效果做好的分辨级。对图像进行N级小波小波变换后，产生的子图数目为3N+1。图2.3是二维图像小波分解的示意图

图2.3 二维图像小波分解的示意图
2.5.2 小波的图像编码算法
自小波理论应用十图像编码领域时起，迄今为止，各国学者已经提出了多种结合不同量化和编码措施的基于小波的编码算法。这些算法大多首先利用小波变换将原始图像分解成若干个子带图像，然后再对各个子图分别进行量化，最后根据某种失真准则对各子进行比特分配和编码。通常为低频子带分配较多的比特数，而给高频了带分配较少的比特数，甚至为零比特。
原始图像经过小波变换后，其在小波变换域的系数存在三种相关性：同一子带内相邻系数之间的相关性；相邻级同一方向上，两个子带对应位置系数之问的相关性(子带的方向性指的是LH，HL和HH三个方向)；不同子带相同位置系数之间的相关性。对变换后的小波域系数的编码，人们提出了许多策略，主要有零树编码、位平面编码、基于上下文的自适应算术编码、矢量量化编码等。但矢量量化编码运算量较大，且对图像的依赖性较强，使用中有一定的局限性。目前，小波图像压缩算法主要有以下几种：EZW，SPIHT，SFQ，EPWIC，EBCOTI。
1.嵌入式小波零树编码(EZW)
EZW算法是一种简单而十分有效的压缩算法。小波分解以后，高频子带的每个系数都对应着上一分解级上同一位置的四个系数，1992年Lewis和Knowles最先引入四义树结构用于保存小波系数。1993年Shapiro在这种结构的基础上发展了零树算法。EZW算法的一个基本假定是不同分解级的小波系数仍然存在一定相关。设定一个阈值T，凡是小于T的系数都为次要系数。则小波系数之间存在以下关系：若某个小波系数为次要系数，与之对应的较高频子带上的四个子系数也以较人概率为次要系数，所有的次要系数编码的时候都不需要保存。零树编码以后，高频子带上大带的次要系数只需要网叉树上少量的节点就可以表达。零树编码的顺序是从低频到高频扫描每一个系数，重要的系数始终在前而，形成嵌入式码流。这种结构的优点在于，编码器和解码器可以在任意码率上停下米，并且保证压缩质量始终最优。EZW算法不需要预先知道图像的特性，不需要训练，也不用保存额外的码表，算法简洁而高效，是小波图像压缩的一个经典算法。此后，很多学者对EZW算法做了改进，又发展出一些新的算法，SPIHT，SFQ和EPWIC是其中具有代表性的几种算法。
2.分区层次树编码(SPIHT)
SPIHT算法1996年由Said和Pearlman提出。他们认为EZW算法之所以成功来自于三方面的原因：首先，根据小波系数的幅值对系数做了局部分段排序；其次，精细比特采用位平面方式传输；最后，利用了不同分解级上系数的相似性。建立在这些认识的基础上，他们提出了一种更加有效的编码策略SPHIT以取代EZW算法，SPIHT的独特之处在于对重要系数所对应的树结构分段进行处理。该算法同时也保留了EZW的幅度排序和重要比特优先等策略。和EZW一样，SPIHT算法也采用了标量量化方法。根据原作者的实验，SPIHT的压缩性能在多数情况下都超过了EZW算法。
3.空间频率量化编码(SFQ)
SFQ算法1997年由Xiong提出。和传统的图像压缩算法不同，SFQ算法建立在一个相对简单的图像模型之上，认为图像的特性可以由频域和时域能量分布的线性组和共同描述，即图像的能量主要集中在低频部分，高频部分只残存一少部分，但同时图像的能量又主要集中在边缘和突变的地方，平坦的区域相对能量较少。小波变换将图像的能量转移到少量低频系数和一些成簇分布的高频系数上。SFQ算法的理论模型非常简单，性能也不错，其不足之处在于系数取舍的优化过程需要多次迭代计算。
4.嵌入式预测小波编码 (EPWlC)
EPWIC算法1997年由Simon celli提出。小波编码压缩提出以后，人们逐渐意识到正交变换之后小波系数之间还存在一定的相关性和相似性，利用这种相关性和相似性可以提高图像压缩的性能。EZW算法利用了不同分解级上小波系数分布的相似性。EPWIC算法在这方面则通过分析相邻空间位置、方向和分解级系数幅度的相关性，设计基于统计模型的小波系数预测算法，从而降低小波系数的熵值。
5.嵌入式分块优化截断编码(EBCOT)
EBCOT算法1999年由David Taubman提出。目前己被新的图像压缩国际标准JPEG2000所采用。EBCOT算法和上述算法的一个重大区别在于前者不再利用不同分解级或者足不同频带上小波系数的相似性，而是简单地将所有小波系数分成规则的小方块进行处理，这样小波系数的管理不再牵涉复杂的四叉树结构，简化了编码算法。作为补偿，EBCOT采用上卜．义相关二进制MQ算术编码器对小波系数做熵编码，其总体压缩性能不逊于上述任意一种算法。同时，系数分块使得EBCOT算法可以满足感兴趣区编码，容错编码等特殊应用要求。
综上，小波变换图像算法日益成熟，目前只有小波图像编码的几种算法能够超过DCT编码；而EZW，SPIHT由于涉及浮点运算，需要较大的缓存，也不在可选之列：SFQ算法由于需要进行多次迭代不适合用于固定码率的图像压缩；剩下的两种算法EPWIC和EBCOT比前述算法更有可取之处，比较而言，EBCOT的压缩效率更高，可生成嵌入式码流，支持无损压缩[17]。

第三章 小波分析的多尺度边缘检测
3.1 小波分析的多尺度边缘检测
边缘检测是低级视觉中要解决的关键问题之一。边缘检测的首要任务是边缘的定义。按照人们的直观认识，图像边缘是那些局部灰度变化最剧烈的地方。由此引入基于导数的阶跃型边缘的定义:即一阶导数的极大值或二阶导数的零交叉。但是，由于导数定义本身的局部性，因而无法避免噪声的干扰。基于这样定义的边缘是一个病态问题。为此，必须平滑噪声，但同时又要尽可能的保持原图象的信息不变。比较好的方法是正则化方法。它被认为是在假定的模型下使边缘检测成为具有完善解的最优化方法。但正则化方法只是证明了在单一尺度下用3次样条函数平滑可以使整体误差最小。并没有完全解决噪声问题。一般而言，大尺度平滑因子可以平滑更多的噪声而失去较多的细节，而小尺度平滑因子可以保留较多的细节边缘，但对噪声的抑制能力减弱。Marr曾经指出，为了可靠的检测边缘，应当同时使用多个尺度不同的算子.这一思想后来由Witkin等发展成了尺度空间滤波的概念。在此基础上，出现了多种自适应多尺度边缘检测算子。这些算子虽然对抑制噪声有了一定的改善，但却忽视了边缘位移的问题。多尺度边缘检测时发生位移的原因包括两个方面:噪声的影响和相邻边缘的干扰。因此，抑制噪声和保持边缘具有一定的矛盾性。矛盾解决的效果客观上取决于边缘附近噪声的类型和强度相邻边缘的强度和边缘之间的距离。主观上则取决于平滑算子和自适应选择尺度的算法[4][5]。
小波分析具有多分辨特性，因而被很多多尺度边缘检测方法采用;而且，小波基函数可以具有紧支集(绝大多数小波函数满足该性质)，用基于小波基函数的平滑因子可以减少对原图像的局部扰动。同时，小波分解的高频信息有助于提取边缘信息。在使用小波分析提取边缘的过程中，人们已经注意到采用不同的小波基进行的小波变换获得结果的效率是不一样的，如Marlet小波用于纹理图像的分割较好;而Mexican hat小波更适合于直边物体的分割;一般而言，对于不同的小波，在提取图像的边缘特征的能力上是有差别的。
本课题首先给出一种广义的阶跃型边缘的定义。然后证明，对于特定的一类小波基，在一定的尺度范围内，其小波变换不会改变原图像的基于二阶导数零交叉的边缘点的位置;进而讨论一种根据局部图像的特点，求出保持图像局部边缘点位置不变的最大尺度的多尺度自适应边缘检测方法。该算法在尽量保持细节边缘不被丢失的情况下，使得在大尺度下求取的边缘位置不变。
3.2 经典边缘检测方法
(1)梯度算子和Robert算子。利用的是边缘点的一阶导数有极小值，它们对噪声非常敏感，常产生一些孤立点。
(2)Prewitt和Sobel算子。在计算微分以前，先进行邻域平均或加权平均。
(3)Kirsch算子。是一个3x3的非线性算子，基本思想是尽量使边缘两侧的像素各自与自己的同类像素取平均，然后再求平均值之差，这样既抑制了噪声又减少了由于平均而造成的边缘细节丢失，缺点是增大了计算量。
(4)Laplacian算子。最基本的二阶边缘检测算子，它对噪声更为敏感。
(5)沈俊算子。J.Shen证明了指数滤波器是一阶最佳滤波器，井给出了边缘检测的递归算子。
(6)Canny算子。J.Canny早就证明了一维空间的指数滤波器的最佳性，并提出了边缘检测的准则，即精确定位准则、良好的检测准则和边缘点的一对一响应准则。他还证明了最佳滤波实际是用高斯函数的一阶导数来滤波，并导出了二阶边缘检测最佳算子，由于Canny算子的良好特性，它已成为很多边缘检测器设计的比较标准[6]。
3.3 小波分析与多尺度边缘检测
与传统的Fourier分析相比，小波分析除了具有和Fourier分析类似的频谱分析功能外，还具有以下两个特点:局部化特性和多分辨特性。局部化特性为使用小波变换直接进行边缘检测提供了可能;而多分辨分析则为多尺度边缘检测提供了理论基础。
3.3.1 局部频率刻画功能
一般的，满足性质的函数称为平滑函数。对每一个表示对函数f (x)在x0附近的一种连续加权平均(离散的情况为)，因此称卷积为对原信号的平滑。当具有紧支集时，这种光滑具有局部刻画能力。当和f (x)时，下面卷积关系成立。
（3-1）
上式的左端为信号f(x)的变化率的局部平均，中间项可看成另一函数对信号f (x)的平滑。如能找出这样的函数，则正好刻画了f (x)在点x附近的平均变化率。以为尺度函数产生的小波正好具有这样的功能。
与Fourier分析不同，小波分析能够计算在每一点附近信号(图像)的频率(变化情况)。从而可用于分析图像的局部信息，提取图像的局部特征，发现图像的细节信息。由于图像中的物体边缘处灰度值变化较快，因此正好可利用小波的局部刻画特性，以检测边缘而达到分割的目的。并