摩擦角及应用.doc

摩擦角及其应用
提要：建立摩擦角的概念，知道用摩擦角解平衡问题的思路，会用摩擦角解题
关键词：全反力；摩擦角；最大静摩擦角；临界平衡

图1
一、摩擦角的概念①全反力：物体所受的正压力与摩擦力的合力，图1中的F 就是全反力，N为物体所受的正压力，fk为摩擦力。
动摩擦角：物体受动摩擦力作用时，正压力N与全反力F的夹角，图1中的就是动摩擦角
-1=tan-1
说明：接触面一定，动摩擦因数一定，动摩擦角就一定

图2
静摩擦角：物体所受静摩擦力作用时，正压力N与全反力F’的夹角。图2中的角就是静摩擦角
= tan-1
最大静摩擦角：物体所受最大静摩擦力fm作用时，正压力N与全反力F的夹角。图2中的角就是最大静摩擦角
= tan-1= tan-1
说明：接触面一定，静摩擦因数一定，最大摩擦角就一定
一般情况下，物体平衡时，静摩擦力不超过最大静摩擦力，即，其中是临界平衡状态。
判断一个受摩擦力的物体是否能静止时，可先假设该物体静止，由平衡条件求出此时全反力与正压力间的夹角= tan-1，然后判断：若，物体能静止平衡或临界平衡，假设正确；若>，物体不能静止平衡，假设错误。
二、意义引入摩擦的意义：摩擦力与支持面的支持力是成对出现的，引入摩擦角后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程度上起到问题简化的效果。尤其是在物体在四个力作用下保持动态平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定）这里特别补充说明的是：在物体的三力平衡问题中，作用在物体这三个力合力为0等效于三力共点，则三力的作用线汇交于一点，即三力汇交
三、应用摩擦角解12年高考24题第2问
图3
1、（2012新课标）24（14分）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图3）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g。某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。
(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0．若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0。
解法一（标准答案）：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有
Fcosθ+ mg=N ① Fsinθ=f （2）
式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有
f=μN （3） 联立①②③得F= （4）
(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有
Fsinθ≤λN （5） 这时①式仍满足，联立①⑤得
sinθ-λcosθ≤λ (6)
现考察使上式成立的θ角的取值范围，注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有 sinθ-λcosθ≤0 (7)
使上式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。临界角的正切为
tanθ0=λ ⑧

解法二：用摩擦角解第二问

θ0
图4
（2）临界平衡时，受力分析如图4，有θ0= ⑤
=Fsin ⑥
=λ ⑦
tan= ⑧
联立⑤⑥⑦⑧得:临界角的正切为 tan =λ ⑨
显然，本题的难点是临界平衡条件方程的构建，而用摩擦角寻找临界平衡条件直观明了，省去了用数学方法探讨极值的过程，这是用摩擦角解临界平衡问题的优点所在。
以下例题我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力（以下讲到的斜面对物体的作用力或平面对物体的作用力都为此力），

v
45º
图2
例1，如图2所示，用绳通过定滑轮 物块，使物块在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动，若物块与地面的摩擦因素，滑轮的质量及摩擦不计，则物块运动过程中，以下判断正确的是（ ）。
A.绳子的拉力将保持不变 B.绳子的拉力将不断增大
C.地面对物块的摩擦力不断减小 D.物块对地面的压力不断减小
①
③
②
θ
O
图3
解析：如图3所示，取物体O点，作力的三角形。重力为有向线段①，从该线段箭头端点做全反力的作用所在射线②，作从射线②上任意点指向O点且将图形封闭成三角形的一系列的有向线段③，它们就是绳子拉力矢量，用曲箭头标明变化趋势。由知力三角形中①和②的夹角小于45º，初始状态绳子拉力与水平呈45º，力三角形中③和①的夹角从45º开始慢慢减小，图3中θ<90º，不难得出结论：绳子的拉力不断增大，地面的作用力不断减小，由图1易知，地面支持力与摩擦力均随之减小，所以BCD正确。
45º
m
图4
例2，如图4所示，倾角45º的斜面上，放置一质量m的小物块，小物块与斜面的动摩擦因素，欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施加一力，该力最小时大小与方向是（ ）。
A. ，与水平成15º斜向右 B. ，竖直向上
C. ，沿斜面向上 D. ，水平向右
45º
m
图5
15º
30º
O
解析：由得，摩擦角，作出力的三角形，如图5所示，蓝色有向线段为重力，黑色射线为斜面全反力，红色有向线段为施加的力，青色有向线段为施加的力的最小位置（与斜面的作用力相垂直），则方向与水平成15º斜向右。即A正确。F
θ
图6
例3，（2009.辽宁、宁夏理综）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为，如图6，在从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（ ）
A. F先减小后增大 B. F一直增大C. F的功率减小 D. F的功率不变解析：方法一（传统方法）：由于木箱的速度保持不变，因此木箱始终处于平衡状态，受力分析如图所示，则由平衡条件得：，两式联立解得，可见F有最小值，所以F先减小后增大，A正确；B错误；F的功率，可见在从0逐渐增大到90°的过程中tan逐渐增大，则功率P逐渐减小，C正确，D错误。（此常规方法对数学要求比较高，如果是在高考时过于紧张，一时半会儿对其中的F表达式里变化情况弄不清楚从而半途而废）
φ<45º
图7
v
ψ
F1
F
G
方法二（引入摩擦角）：由得，摩擦角φ<45º，作出力的三角形，如图7所示，黑色射线为地面对木箱的全反力F1，红色有向线段为拉力F，蓝色有向线段为重力。由题意在从0逐渐增大到90°的过程中，F的变化趋势为青色曲箭头方向变化，易得到：F先减小后增大。对于F的功率，由矢量表达式：，重力的功率显然为0（重力与速度成90º），得到F的功率与F1的功率互为相反数，F1的功率,显然F1与v的角度ψ保持不变，而F1不断的减小，从而F的功率的值不断的减小，所以答案为AC。F
θ
图8
结论：对比两种方法，方法二显然要简单容易的多。因此高中有必要掌握摩擦角的应用，而不一定非得参加竞赛的学生才掌握。
例4，（竞赛训练题）如图8所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面的动摩擦因素，想用力F推动物体沿水平地面滑动，推力方向与水平夹角在什么范围内是可能的？F
θ
图9
mg
ψ
F
解析：摩擦角，考虑临界情况，重力mg、地面对物体的全反力以及推力F构成闭合三角形时，则有，临界角，由图9可知时物体可在地面上滑动。即。

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