数学 几何论证题中辅助线的添加方法.doc

中考数学复习专题几何论证题中辅助线的添加方法例1： 如图：等腰梯形ADBC 中ABCD，底角ABC=450 对角线AC、BD交于点O，且BOC=1200 求：的值分析：在已知条件中，底角ABC=450，有的同学想到延长两腰，出现一个等腰直角三角形。而在本题中这样添辅助线，反而增加解题困难，因为 BOC=1200 的条件不能很好的运用。故本题添辅助线时，应考虑过上底顶点D（或A）作对角线的平行线，把梯形问题转化为平行四边形及顶角为1200的等腰三角形问题，而解等腰三角形时，常添的辅助线是作底上的高，这样不难求的比值。证明：过D点作DFAC交BC的延长线于F，作DEBC于EADBC AD=CFACDF AC=DF 等腰梯形ABCD DB=AC BD=DF ACDFBDF=BOC=1200 DEBF BDE=600 BE=EF BE=EF= BED=900 设DEBC BCD=450 EF= .例2： 如图：已知直线PQ是线段AB的中垂线， C是OQ上的任意一点，若ODBC是 于D，M是OD的中点 求证：CMAD分析：在已知条件中，PQ是线段AB的中垂线，同学们肯定想到连结AC运用线段中垂线性质，但证明此题这样的添线与其它已知条件的应用没有多大关系，这种添线不能解答本题，而图中出现“母子三角形”，使我们想到能否运用三角形相似及线段成比例来解本题。而要证CMAD，从图中观察到如能证得1=A，那么CMAD即可成立；而A除了在RtAON中，它还在AOD中，若把1也放到与AOD相似的三角形中，结论就可成立。因此构筑一个与AOD相似的三角形是本题解答的关键。而已知条件M是OD的中点，想到增添中点（或添平行线）的方法，故取OC的中点为G，想法证明AOD CGM。通过基本图形分析，发现2=3，故AOD=CGM。因此证：是本题又一关键。证明：取OC的中点为G，连GM, PQ是AB的中垂线, BOC=900设OA=OB=a，OD=b . ODBC, CDO=ODB=900 4+3=900，3+B=900 . 4=B，CODOBD . ，G、M为OC、OD的中点. OC=2CG，CD=2GM. ，AODCGM . 1=A. A+ANO=900 1+CNH=900 即NHC=900，CMAD.例3：如图：正方形ABCD中，E、F分别AB、BC的中点， AF和DE交于点P 求证：CP=CD 图（1） 图（2）分析：要证明CP=CD，因为CP、CD在同一三角形中，一般三种思路可证：思路（1）：只要证对角相等，即证1=2。如图（1）分别寻找1、2的等量，ABCD是正方形，ABCD，2=AEP，1=？，延长CP交AB于G，1=EPG。要证1、2只要证AEP=EPG，由已知可知，E、F为AB、BC的中点可证：AEDBFA，可得AFDE，P为垂足。假设AEP=EPG，G可能为AE的中点，因此证PG为AE的中线是本思路证题的关键。本题出现“母子”三角形基本图形故不难，推得，设PE为a，PA为2a，PD为4a，因为AECD，可推得PE:PD=EG:CD=1:4。由此可证得G为AE的中点，PG是AE的中线，AEP=EPG成立。从分析的过程中得到思路（2），思路（3）：要证CP=CD，只要证：C在线段PD的中垂线上，取AD的中点，连CH、PH，证：四边形AFCH为平行四边形，由思路（1）可知，AFDE，故CHDE，再证：CH平分PD，通过RtAPO易证CH平分PD。证明方法（1）：E、F为AB、BC的中点，ABCD是正方形，AB=AD，B=DAE，BF=AEADEBAF，ADE=EAPEAP+DAP=900，ADE+DAP=900，APD=APE=900，ADE=EAP，APEDPA，ABCD1:2，G为AE的中点，PG=EGGEP=GPE，GPE=1，GEP=21=2，CP=CD证明方法（2）（如图2）： 取AD的中点为H，连CH、PH.ABCD是正方形，BCAD，BC=AD，F、H为BC、AD的中点，CFAH，CF=AH，AFCH为平行四边形.CHAF，由证明方法（1）可知APDE，故CHP.在RtAPO中，PH为斜边中线，CH垂直平分PD，CP=CD.例4：O1与O2相交于点A，P是O1O2的中点（1） 如图（1）如果AC切O2于点A，交O1于点C，D是AC的中点求证：PA=PD（2） 如图（2）如果过点A作两圆的一条割线交O1于点C，交O2于点B，点D是BC的中点，那么PA与PD是否相等？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由。 图（1） 图（2）分析（1）：由已知可知，P为O1O2的中点，D为AC的中点，AC切于O2于点A。想到常用辅助线，连O1D、O2A，由O1DAC，O2AAC，得O1DO2A ，作PGO2A 可证得G为AD中点，PG垂直平分AD，可证得PA=PD分析（2）：通过观察发现PA=PD，理由是什么？由已知条件，分别作O1EAC，PHBC，O2FAB，P为O1O2的中点，所以H为EF中点，要证：PD=PA，只要证：DH=AH，现在只要证DE=AF，因为DE=CDCE，AF=EFAE，因为CE=AE，所以证CD=EF是本题的关键，而，所以只要证即可。证明（1）：在图（1）中连O1D、O2A，作PGO2A. D为AC中点， O1DAC. AC切于O2于点A， O2AAC. O2AO1DPG. P为O1O2的中点, G为AD的中点，且PGAD. PA=PD.证明（2）：作O1EBC于E，PHBC于H，O2FBC于F, O1EPHO2. P为O1O2的中点, H为EF的中点，E为AC的中点，F为AB的中点. , , CD=EF，AF=EFAE，DE=CDCE. AF=DE. EH=PH, DH=AH，PHAD. PA=PD.从以上四例中，你是否有所收益，拿到几何题以后，应认真分析已知条件找出证题中有用的隐含条件，当直接用已知条件论证发生困难时，想到各题中隐含的常用辅助线，化繁就简，化难为易，在添辅助线时，切记要随题意，要充分运用每个已知条件。有的在关键点上添辅助平行线，有的需增添线段中点，有的需倍长中线，有的只要延长某条线段等等，不要硬性添作，把简单的问题复杂化，反而误导论证思路。希望我的分析给同学带来启发。5