2017年高考天津理科数学试题及答案(word解析版).doc

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）参考公式： 如果事件，互斥，那么； 如果事件，相互独立，那么； 柱体的体积公式，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高； 锥体体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高第卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2017年天津，理1，5分】设集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，故选B（2）【2017年天津，理2，5分】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）（A） （B）1 （C） （D）3【答案】D【解析】目标函数为四边形及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，故选D （3）【2017年天津，理3，5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C【解析】依次为 ，输出，故选C（4）【2017年天津，理4，5分】设，则“”是“”的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，不满足，所以是充分不必要条件，故选A（5）【2017年天津，理5，5分】已知双曲线的左焦点为，离心率为若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由题意得，故选B（6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函数在R上是增函数，若，则a，b，c的大小关系为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，从而是上的偶函数，且在上是增函数，又，所以即，所以，故选C（7）【2017年天津，理7，5分】设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则（ ）（A）， （B）， （C）， （D），【答案】A【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，由得，故选A（8）【2017年天津，理8，5分】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】不等式为，当时，式即为，又（时取等号），（时取等号），所以，当，式为，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上，故选A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分（9）【2017年天津，理9，5分】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 【答案】【解析】为实数，则（10）【2017年天津，理10，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 【答案】【解析】设正方体边长为 ，则，外接球直径为（11）【2017年天津，理11，5分】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为 【答案】2【解析】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个交点（12）【2017年天津，理12，5分】若，则的最小值为 【答案】4【解析】 ，当且仅当时取等号（13）【2017年天津，理13，5分】在中，若，且，则的值为 【答案】【解析】，则（14）【2017年天津，理14，5分】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个（用数字作答）【答案】1080【解析】三、解答题：本大题共6题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）【2017年天津，理15，13分】在中，内角所对的边分别为已知，（1）求和的值；（2）求的值解：（1）在中，故由，可得由已知及余弦定理，所以由正弦定理，得所以值为，的值为 （2）由（1）及，得，所以，故（16）【2017年天津，理16，13分】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率解：（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望（2）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为（17）【2017年天津，理17，13分】如图，在三棱锥中，底面，点分别为棱的中点，是线段的中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长解：如图，以为原点，分别以，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得，（1），设，为平面的法向量，则，即不妨设，可得又，可得因为平面，所以平面（2）易知为平面的一个法向量设为平面的法向量，则，因为，所以不妨设，可得因此有，于是二面角的正弦值为（3）依题意，设（），则，进而可得，由已知，得，整理得，解得，或所以，线段的长为或（18）【2017年天津，理18，13分】已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为由，得，而，所以又因为，解得所以，由，可得由，可得，联立，解得，由此可得所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）设数列的前项和为，由，有，故，上述两式相减，得得所以，数列的前项和为（19）【2017年天津，理19，14分】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点若的面积为，求直线的方程；解：（1）设的坐标为依题意，解得，所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为（2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故将与联立，消去，整理得，解得，或由点异于点，可得点由，可得直线的方程为，令，解得，故所以又因为的面积为，故，整理得，直线的方程为，或（20）【2017年天津，理20，14分】设，已知定义在R上的函数在区间 内有一个零点，为的导函数（1）求的单调区间；（2）设，函数，求证：；（3）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足解：（1）由，可得，可得令，解得，或当x变化时，的变化情况如下表：x+-+所以，的单调递增区间是，单调递减区间是（2）由，得，令函数，则由（1）知，当时，故当时，单调递减；当时，单调递增因此，当时，可得，令函数，则由（1）知，在上单调递增，故当时，单调递增；当时，单调递减因此，当时，可得， 所以，（3）对于任意的正整数，且，令，函数由（2）知，当时，在区间内有零点；当时在区间内有零点所以在内至少有一个零点，不妨设为，则由（1）知在上单调递增，故，于是因为当时，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故又因为，均为整数，所以是正整数，从而只要取，就有6