2017年高考天津理科数学试题及答案(word解析版).doc

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理科）
参考公式：
如果事件，互斥，那么；
如果事件，相互独立，那么；
柱体的体积公式，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高；
锥体体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高．
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2017年天津，理1，5分】设集合，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】，故选B．
（2）【2017年天津，理2，5分】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
（A） （B）1 （C） （D）3
【答案】D
【解析】目标函数为四边形及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，故选D．
（3）【2017年天津，理3，5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为
24，则输出的值为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】C
【解析】依次为 ，，输出，故选C．
（4）【2017年天津，理4，5分】设，则“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，，，不满足，所以
是充分不必要条件，故选A．
（5）【2017年天津，理5，5分】已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】由题意得，故选B．
（6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，，所以即，，所以，故选C．
（7）【2017年天津，理7，5分】设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则（ ）
（A）， （B）， （C）， （D），
【答案】A
【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．
（8）【2017年天津，理8，5分】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】不等式为，当时，式即为，
，又（时取等号），
（时取等号），所以，当，式为
，，又（当时取等
号），（当时取等号），所以，综上，故选A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）【2017年天津，理9，5分】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 ．
【答案】
【解析】为实数，则．
（10）【2017年天津，理10，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
【答案】
【解析】设正方体边长为 ，则，外接球直径为．
（11）【2017年天津，理11，5分】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为 ．
【答案】2
【解析】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个交点．
（12）【2017年天津，理12，5分】若，，则的最小值为 ．
【答案】4
【解析】 ，当且仅当时取等号．
（13）【2017年天津，理13，5分】在中，，，．若，，且，则的值为 ．
【答案】
【解析】，，则
．
（14）【2017年天津，理14，5分】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）
【答案】1080
【解析】．
三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）【2017年天津，理15，13分】在中，内角所对的边分别为．已知，，
．
（1）求和的值；
（2）求的值．
解：（1）在中，，故由，可得．由已知及余弦定理，，
所以．由正弦定理，得．所以值为，的值为．
（2）由（1）及，得，所以，．
故．
（16）【2017年天津，理16，13分】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为．
（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
解：（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．，
，
，．
所以，随机变量的分布列为

0
1
2
3

随机变量的数学期望．
（2）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为．
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．
（17）【2017年天津，理17，13分】如图，在三棱锥中，底面，．点分别为棱的中点，是线段的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
解：如图，以为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标
系．依题意可得，，，，，，，
．
（1），．设，为平面的法向量，则，
即．不妨设，可得．又，可得．
因为平面，所以平面．
（2）易知为平面的一个法向量．设为平面的法向量，则，
因为，，所以．不妨设，可得．
因此有，于是．二面角的正弦值为．
（3）依题意，设（），则，进而可得，．由已知，
得，整理得，解得，或．
所以，线段的长为或．
（18）【2017年天津，理18，13分】已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，得，而，
所以．又因为，解得．所以，．由，可得①．
由，可得②，联立①②，解得，，由此可得．
所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（2）设数列的前项和为，由，，有，
故，，
上述两式相减，得
得．所以，数列的前项和为．
（19）【2017年天津，理19，14分】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为．已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为．
（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（2）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点．若的面积为，求直线的方程；
解：（1）设的坐标为．依题意，，，，解得，，，．
所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故．
将与联立，消去，整理得，解得，或．
由点异于点，可得点．由，可得直线的方程为
，令，解得，故．
所以．又因为的面积为，故，整理得
，，．直线的方程为，或．
（20）【2017年天津，理20，14分】设，已知定义在R上的函数在区间 内有一个零点，为的导函数．
（1）求的单调区间；
（2）设，函数，求证：；
（3）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足．
解：（1）由，可得，可得．
令，解得，或．当x变化时，的变化情况如下表：
x

+
-
+

↗
↘
↗
所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是．
（2）由，得，．
令函数，则．由（1）知，当时，，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增．
因此，当时，，可得，．
令函数，则．由（1）知，在上单调递增，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减．
因此，当时，，可得，． 所以，．
（3）对于任意的正整数，，且，令，函数．
由（2）知，当时，在区间内有零点；当时在区间内有零点．
所以在内至少有一个零点，不妨设为，则．
由（1）知在上单调递增，故，
于是．因为当时，，
故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故．
又因为，，均为整数，所以是正整数，
从而．．只要取，就有．
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