广东省潮州市实验中学2010届高三周测考试试题(数学理).doc

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广东省潮州市实验中学2010届高三周测考试试题（数学理）

参考公式：锥体的体积公式，其中S表示底面面积，h表示锥体的高。
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合（其中i为虚数单位），，且，则实数的值为 ( )
A． B． C．或 D．
2．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人,现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为720的样本进行某项调查，则高二年级应抽取的学生数为（ ）
A．180 B．240 C．480 D．720
3．在边长为1的等边中，设，则（ ）
正视图
俯视图
侧视图
A． B．0 C． D．3
4．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，
俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题错误的是（ ）
A．命题“若，则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根，则”。
B．“”是“”的充分不必要条件。
C．命题“若，则中至少有一个为零”的否定是：“若，则都不为零”。
D．对于命题，使得；则是，均有。
6．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
7．设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的可能值为（ ）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
8. 已知函数的定义域为[—2，，部分对应值如下表，为的导函数，函数的图象如右图所示：

—2
0
4

1
—1
1

若两正数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
第10题
开始
a=1,b=1

输出b
a=a+1
b=2b
结束
是
否
a≤ ①
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只需选做二题作答，三题全答的，只计算前两题得分．）
9. 已知，若，,则 。
10.已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的值为，则循环体的判断框内①处应填 。
11. 以、为焦点的椭圆＝１（）上
一动点P，当最大时的正切值为2，
则此椭圆离心率e的大小为 。
12. 已知等差数列的前项和为，且，，则过点和N*)的直线的斜率是__________。
（★请考生在以下二个小题中任选做一题作答，二题全答的，只计算前一题得分．）

13．极坐标系中，曲线和相交于点，则＝　　　　　　．
14．如图，已知：内接于，点在
的延长线上，是⊙的切线，若，
，则的长为 。

三、解答题（本大题共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）（★请在答题卷的指定区域内作答，否则该题计为零分．）
15．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的周期和最大值；
（Ⅱ）已知，求的值．

16．（本小题满分14分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：．已知甲、乙两地相距100千米
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

17．（本小题满分12分）
已知关于的一元二次函数
（Ⅰ）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率。

18．（本小题满分14分）
A
B
C
D
E
F
如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，
AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=1200，F为AE中点。
(Ⅰ) 求证：平面ADE⊥平面ABE ；
(Ⅱ) 求二面角A—EB—D的大小的余弦值；
（Ⅲ）求点F到平面BDE的距离。

19．（本小题满分14分）
如图，已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，为坐标原点，。
（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；
（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，
求△ABP面积最大值．

20．（本小题满分14分）
已知数列的首项，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的，，；
（Ⅲ）证明：．

参考答案
一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
D
C
D
A
B
1、解析：则中的复数必须为实数，所以m=3；实部恰为-9, ∴选：B
2、解析：抽取学生数为（人）。∴选A。
3、解析：，故选C。
4、解析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，
，∴选D．
5、解析：命题的否定是只否定结论，∴选C.
6、解析：圆心（0，0）到直线的距离， 圆的半径为1，可能相切或相交。故选D。

O
7、解析：P点取法总共有16种，由图知直线截距为3时经过的点最多；∴选A．
8、解析：由题意，函数的图象大致如图，

O
b
a
，
则由不等式组所表示的区域如图所示，
的取值范围即区域内的点与
连线的斜率的取值范围，
，故选B。
二．填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只需选做二题作答，三题全答的，只计算前两题得分．）
9、3 10、 3（注：答题卡填的是也给5分） 11、
12、4 13、 14、 4
9、解析：或（舍去），故
10、解析：=1时进入循环此时=21=2，=2时再进入循环此时=22=4，=3时再进入循环此时=24=16，∴=4时应跳出循环，∴循环满足的条件为，∴填3。
（注：答题卷上填的是也给5分）
11、解析当最大时P为椭圆与y轴的交点，的正切值为2，即，∵，则椭圆离心率e为。
12、解析：由消去得。直线的斜率为，∴填4．
13、解析：在平面直角坐标系中，曲线和分别表示圆和直线，作图易知＝。
14、解析：连结，则，且由知为正三角形，所以。又因为是⊙的切线，即，所以
三．解答题（本大题共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
＝．…………………………………………………… 3分
∴周期为， …………………………………………………… 4分
最大值为6 …………………………………………………………………… 5分
（Ⅱ）由，得．………………… 6分
∴． …………………………… 7分
∴， ………………………………………………… 8分
即 ………… 9分
， ………………………………………………………10分
∴． …………………………………………………… 12分
16．（本小题满分14分）
解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， ………………2分
要耗油（升）。 ………………4分
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。…6分
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，
依题意得
………8分
令得 ……10分
当时，是减函数； 当时，是增函数。
当时，取到极小值 …………………………12分
因为在上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11.25升。14分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵函数的图象的对称轴为
要使在区间上为增函数，
当且仅当>0且 …………………………………………2分
若=1则=－1，
若=2则=－1，1
若=3则=－1，1； …………………………………………4分
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为 …………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当且>0时，
函数上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分。 …………………………………………8分
由 …………………………………………10分
∴所求事件的概率为 …………………………………………12分
18.(本小题满分14分)
A
B
C

E
F
D
O
解法1：(Ⅰ)证明：取BE的中点O，连OC，OF，DF，则2OFBA ………………2分
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD BA，
∴OFCD，∴OC∥FD ………………4分
∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.
∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.
从而平面ADE⊥平面ABE. ………………6分
(Ⅱ)二面角A—EB—D与二面角F—EB—D相等，由(Ⅰ)知二面角F—EB—D的平面角为∠FOD。BC=CE=2, ∠BCE=1200，OC⊥BE得BO=OE=，OC=1，∴OFDC为正方形，∴∠FOD=450，
∴二面角A—EB—D的余弦值为。 ……………………10分
（Ⅲ）∵OFDC为正方形，∴CF⊥OD，CF⊥EB，∴CF⊥面EBD，
∴点F到平面BDE的距离为FC，∴点F到平面BDE的距离为。……………14分
解法2：取BE的中点O，连OC.∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.
以O为原点建立如图空间直角坐标系O－xyz，
则由已知条件有: ，，
A
B
C

E
F
D
O
x
y
z
……………………………2分
设平面ADE的法向量为，
则由·
及·
可取 …………………………… 4分
又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，OC⊥平面ABE，
∴平面ABE的法向量可取为＝.
∵··=0, ∴⊥，∴平面ADE⊥平面ABE.…… 6分
（Ⅱ）设平面BDE的法向量为，
则由·
及·可取……… 7分
∵平面ABE的法向量可取为＝ …………8分
∴锐二面角A—EB—D的余弦值为=，………… 9分
∴二面角A—EB—D的余弦值为。 ……………………………10分
（Ⅲ）点F到平面BDE的距离为。……………………………14分
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由得, ……………………2分
设则
因为=
所以解得 ………………4分
所以直线的方程为抛物线C的方程为 …………6分
（Ⅱ）方法1：设依题意，抛物线过P的切线与平行时，△APB面积最大，
，所以 所以
此时到直线的距离 ………………8分
由得， ………………………10分

∴△ABP的面积最大值为。 …………………………14分
（Ⅱ）方法2：由得， ……………………8分
……9分
设 ，
因为为定值，当到直线的距离最大时，△ABP的面积最大，
……………………………12分
因为，所以当时，max=，此时
∴△ABP的面积最大值为。……………………………14分
20．(本小题满分14分)
解法一：（Ⅰ），，， ……………………2分
又，是以为首项，为公比的等比数列． ………3分
，． ……………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ……………………5分

， 原不等式成立．………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有

． ……………………10分
取，…………12分
则．
原不等式成立． ……………………14分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设， ……………………5分
则…………6分
，当时，；当时，，
当时，取得最大值．
原不等式成立． ……………………8分
（Ⅲ）同解法一．
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