线段和差最值问题.doc

专题一.线段和（差）的最值问题
【知识依据】
1． 线段公理——两点之间，线段最短；
2． 对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；
3． 三角形两边之和大于第三边；
4． 三角形两边之差小于第三边；
5、 垂直线段最短。
一、已知两个定点：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：

（2）点A、B在直线同侧：

A、A’ 是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：

（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.

变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

二、一个动点，一个定点：
（一）动点在直线上运动： 点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）

1、两点在直线两侧：

2、两点在直线同侧：

（二）动点在圆上运动：点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）

1、点与圆在直线两侧：

2、点与圆在直线同侧：

三、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)

（1）点A、B在直线m两侧：

过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左移动PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

（2）点A、B在直线m同侧：

四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)

1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：

（2）点A、B在直线m异侧：

过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’

Ⅰ．专题精讲
最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．

Ⅱ．典型例题剖析
一．归入“两点之间的连线中，线段最短”
Ⅰ．“饮马”几何模型：

条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．

模型应用：
1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是 ．

2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 ．

3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．

第1题 第2题 第3题 第4题

4．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．

5．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，∠ABC＝60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为              ．

第5题 第6题 第7题
6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为              ．

7．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若PA＋PB长度最小，则最小值为             ．若PA—PB长度最大，则最大值为             ．

8．已知：如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S△PAB＝1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；
3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Ⅱ．台球两次碰壁模型
已知点A位于直线m，n 的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点，使PA+PQ+QA周长最短.

变式：已知点A、B位于直线m，n 的内侧，在直线m、n分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.

模型应用：
1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

2．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）
设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝______，n ＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

中考赏析：
1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA＋PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA＋PB．
（1）求S1、S2，并比较它们的大小；
（2）请你说明S2＝PA＋PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

2．如图，抛物线y＝x2－x＋3和y轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长．

Ⅲ．已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小．(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：

模型应用：
1. 如图，抛物线y＝－x 2－xError! No bookmark name given.＋2的顶点为A，与y 轴交于点B．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA－PB≤AB；
(3)当PA－PB最大时，求点P的坐标.

2. 如图，已知直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，
抛物线y＝x 2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．

y
x
C
B
A
D
O

E
y

3. 如图，直线y＝－x＋2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由．

4. 已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC＝3，BC＝2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．
（1）试直接写出点D的坐标；
（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；
（3）试问在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得的值最大？若存在，则求出点T点的坐标；若不存在，则说明理由．

一． 归入“三角形两边之差小于第三边”
1. 直线2x-y-4=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是 .

2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P）的位置：
（1）求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？
（2）汽车行驶到什么点时，到A、B两村距离相等？

好题赏析：
原型：已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

例题：如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意
一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM＋BM＋CM的最小值为＋1时，求正方形的边长．

变式：如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（　　）
①若菱形ABCD的边长为1，则AM＋CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S四边形AMBE=S四边形ADCM；④连接AN，则AN⊥BE；
⑤当AM＋BM＋CM的最小值为2时，菱形ABCD的边长为2．
A．①②③ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
10