高等数学-重积分.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*/6,1,/61,重积分,第八章,习题课,一、关于二重积分计算,二、关于三重积分在直角坐标系下计算,三、关于二重积分的应用,2,/61,（一）、,重积分常见题目类型,1.,一般重积分的计算：,a.,选择坐标系,使积分域多为坐标面,(,线,),围成,;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离,.,b.,确定积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙,.,列不等式法,(,投影穿线,),c.,写出积分限,累次积分法,d.,计算要简便,充分利用对称性,应用换元公式,一、关于二重积分计算,3,/61,2.,改变累次积分的积分次序,题目要求改变积分次序或按原积分次序积不出来，必须改变积分次序,.,3.,求平面图形,D,的面积,4.,求由曲面所围立体的体积,5.,用二,重积分求曲面的面积,4,/61,6.,重积分性质的应用题,（二）、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1.,交换积分顺序的方法,2.,利用对称性简化计算,3.,消去被积函数绝对值符号,4.,被积函数为,1,时巧用其几何意义,5,/61,其中函数 、在区间 上连续,.,(,三,),、利用直角坐标系计算二重积分,(1),X,型域,【,X,型区域的特点,】,穿过区域内部且平行于,y,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,1.,【预备知识及,二重积分公式推导,】,6,/61,若积分区域为,X,型域：,【方法,】,根据二重积分的几何意义以及计算,“,平行截面面积为已知的立体求体积,”,的方法来求,.,7,/61,即得,公式,1,8,/61,【几点小结,】,a,b,o,x,y,D,x,9,/61,(2),Y,型域,【,Y,型区域的特点,】,穿过区域内部且平行于,x,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,10,/61,公式,2,11,/61,(3),既非,X,型域也非,Y,型域,在分割后的三个区域上分别都是,X,型域,(,或,Y,型域,),如图,则必须分割,.,由二重积分积分区域的可加性得,2.,【,二重积分的计算步骤可归结为,】,画出积分域的图形，标出边界线方程,；,根据积分域特征，确定积分次序；,根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算,.,12,/61,(1),使用公式,1,必须是,X,型域，公式,2,必须是,Y,型域,.,(2),若积分区域既是,X,型区域又是,Y,型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序,.,则有,(3),若积分域较复杂,X,-,型域或,Y,-,型域,.,【说明,】,可将它分成若干,13,/61,【例,1,】,【解,】,看作,X,型域,1,2,o,x,y,y=x,y=1,D,x,D,既是,X,型域又是,Y,型域,法,1,3,、【利用直角坐标系计算二重积分题类】,14,/61,看作,Y,型域,1,2,o,x,y,x=y,x=2,D,y,1,2,法,2,15,/61,【例,2,】,【解,】,D,既是,X,型域又是,Y,型域,法,1,1,1,1,x,o,y=x,D,x,y,16,/61,法,2,注意到先对,x,的积分较繁，故应用法,1,较方便,1,1,1,y,o,y=x,D,1,x,y,注意两种积分次序的计算效果！,17,/61,【例,3,】,【解,】,D,是,Y,型域,也可以视,X,型域,先求交点,18,/61,法,1,视为,X,型域,（计算较繁）,本题进一步说明两种积分,次序的不同计算效果！,法,2,（计算简单）,19,/61,【例,4解,】,X-,型,20,/61,【例,5,】,【解,】,先去掉绝对值符号，如图,21,/61,【例,6,】,【解,】,【分析,】,交换积分次序,若直接计算，积分比较困难！,（注意被积函数）,作业,P152;,同济,p154,22,/61,（四）、利用极坐标系计算二重积分,首先分割区域,D,两组曲线将,D,分割成许多小区域,用,1.,极坐标系下二重积分表达式,23,/61,将典型小区域近似看作矩形（面积,=,长,宽）,则 面积元素,扇形弧长,径向宽度,24,/61,则,二重积分极坐标表达式,可得下式,【注意,】,极坐标系下的面积元素为,直角坐标系下的面积元素为,区别,25,/61,2,.二重积分化为二次积分的公式,区域特征如图,（,1,）,极点,O,在区域,D,的边界曲线之外时,26,/61,若区域特征如图,特别地,27,/61,（,2,）,极点,O,恰在区域,D,的边界曲线之上时,区域特征如图,（,1,）,的特例,28,/61,区域特征如图,（,3,）,极点,O,在区域,D,的边界曲线之内时,（,2,）,的特例,一般在什么情况下利用极坐标计算二重积分呢？,29,/61,【解,】,3,、利用极坐标系计算二重积分,30,/61,【解,】,x,y,o,的原函数不是初等函数,故本题无法,【注,】,1.,由于,用直角坐标计算,.,31,/61,【解,】,32,/61,【例,4,】,计算二重积分,其中,:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,【,解,】,(1),利用对称性,.,围成,.,33,/61,(2),积分域如图,:,将,D,分为,添加辅助线,利用对称性,得,34,/61,【例,6,】,【解,】,作业,P153;,同济,p155!,35,/61,4.,【补充】改变二次积分的积分次序例题,【例,1,】,交换下列积分顺序,【,解,】,积分域由两部分组成,:,视为,Y,型区域,则,36,/61,【例,2,】,计算,其,中,D,是由直线,y=x,及抛物线,y,2,=x,所围成,【解,】,积不出的积分，无法计算。,37,/61,【例,3,】,【解,】,38,/61,作业,P153;,同济,p155!,39,/61,二、三重积分的计算,1.,利用直角坐标计算三重积分,以下只限于叙述计算方法,1.,直角坐标下,2.,柱面坐标下,3.,球面坐标下,方法,1.,投影法,(“,先一后二”,),方法,2.,截面法,(,切片法,)(“,先二后一”,),先假设连续函数,最后,推广到一般可积函数的积分计算,.,-,将三重积分化为三次积分,40,/61,方法,1,：投影法【,“,先一后二,”,】,如图,z,轴,41,/61,得,X,型域,42,/61,【注意】,此式称为先对,z,、次对,y,、最后对,x,的三次积分,得计算公式,（,1,）,43,/61,（,2,）,若交点多于两个也可像处理二重积分那样，,将,分割，化为部分区域上的三重积分之和,.,（,3,）,也可把,投影到,yoz,面或,zox,面上，便可,把三重积分化为其它顺序的三次积分,.,（要求平行于,x,轴或,y,轴且穿过闭区域,内部的直线与,的边界曲面,S,相交不多于两点）,.,44,/61,【例,1,】,【解】,如图,X,型域,作直线穿越,内部,45,/61,故,则,46,/61,【解】,得交线投影区域,47,/61,【解】,如图,48,/61,【例,4,】,【解】,如图示,49,/61,【方法,】,截面法,(,切片法,),【,“,先二后一,”,】,【“先二后一”法的一般步骤,】,50,/61,(?),D,z,之面积,作业,:,同济,P164:4,5,51,/61,1.,若积分区域为,D,三、关于二重积分的应用,（一）、立体的体积,概念,p138,！,52,/61,【例,1,】,【解,】,由对称性,其中,Flash,动画演示,2a,2,a,2.,例题,53,/61,例,1.,求球体,被圆柱面,所截得的,(,含在柱面内的,),立体的体积,.,解,:,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,54,/61,【例,2,】,求两个底圆半径都等于,R,的直交圆柱面所围成,的立体的体积,V,.,【解,】,设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,55,/61,1.,设曲面的方程为：,在,D,上偏导数连续,设光滑曲面,则面积,A,可看成曲面上各点,处小切平面的面积,d,A,无限积累而成,.,设它在,D,上的投影为,d,(,称为曲面,S,的面积元素,),则,（二）、曲面的面积,56,/61,故有曲面面积公式,即,2.,若光滑曲面方程为,则有,3.,若光滑曲面方程为,则有,57,/61,【解】,动画演示,58,/61,a,a,0,59,/61,【,例,2,】计算双曲抛物面,被柱面,【,解,】,曲面在,xoy,面上投影为,则,所截,出的面积,A,.,a,z,o,x,y,z=x y,.,60,/61,【解】,解方程组,得两曲面的交线为圆周,在 平面上的投影域为,61,/61,【作业,P141,例题,;,同济,p175!,】,