三次函数的对称性中心问题.doc

三次函数再探讨---对称中心问题
武汉市长虹中学 郭永清
三次函数存在对称中心吗？
我们先从几个特殊的函数入手，三次函数（)是奇函数，其图象关于对称，三次函数()的图象关于点对称，那么对于一般的三次函数有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是。
在证明之前，先回忆一个结论：
定理1：函数的图像关于点对称，则在
证明：设是图像上任意一点，则A关于点的对称点也在函数图像上，
即, 又，所以
定理2：三次函数的对称中心是
证明1：设是图像上任意一点，只要能证明点
也在函数图像上。

所以
所以三次函数的对称中心是
证明2：因为的对称中心是(0,0),所以的对称中心为,即

而
的图象关于对称。
证明3：设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以

-2n=0
化简得：
上式对恒成立，故
得
，
。
所以，函数的对称中心是（）。
定理3：若三次函数有极值，则它的对称中心是两个极值点的中点
证明：不妨设为的导方程，判别式,设两极值点为

所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数的拐点。
定理4：是可导函数，若的图像关于点对称，则的图像关于直线对称
证明：的图像关于对称，则
由

图像关于直线对称。
三次函数的对称中心是（）。所以其导函数的图像关于直线对称。
定理5：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条
证明：设三次函数，一直线与三次曲线切于点Q（），且直线过点（）。
直线方程可写为：
又

化简为：
这说明切点就是对称中心。
经典例题欣赏：
1. 求的对称中心。
2. 求的极值和对称中心。
3. （2004年重庆高考题）设函数,
（1） 求导函数,并证明有两个不同的极值点
（2） 若不等式成立，求a的取值范围。
4. 已知
（1） 求证
（2） 若是R上的增函数，是否存在点P使的图像关于点P 中心对称？如存在，请求出P点坐标，并给出证明，如果不存在，请说明理由。