牛顿插值法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,2.3 Newton,插值,2,函数插值问题描述,设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值：,插值问题,:,根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式,以便于计算点 的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。,3,Newton,插值,求作,n,次多项式 使得：,4,插值问题讨论,Lagrange,插值虽然易算，但若要增加一个节点时，,全部基函数,l,i,(,x,),都需重新算过。,5,Newton,插值的承袭性,6,Newton,插值,7,具有承袭性的插值公式,线性插值公式可以写成如下形式：,其中 ，其修正项的系数,再修正 可以进一步得到拋物插值公式,其中,以上讨论说明，为建立具有承袭性的插值公式，需要引进差商概念并研究其性质。,8,差商的概念,1,差商的定义,定义,1,：设有函数,f,(,x,),以及自变量的一系列互不相等,的,x,0,x,1,x,n,（即在,i,j,时，,x,i,x,j,）的值,f,(,x,i,),称,为,f,(,x,),在点,x,i,x,j,处的一阶差商，并记作,f,x,i,x,j,，,9,差商的概念(续),又称,为在点 处的二阶差商,称,为,f,(,x,),在点处的,n,阶差商。,10,差商表,x,f,(,x,),一阶差商,二阶差商,三阶差商,x,0,f,(,x,0,),x,1,f,(,x,1,),f,x,0,x,1,x,2,f,(,x,2,),f,x,1,x,2,f,x,0,x,1,x,2,x,3,f,(,x,3,),f,x,2,x,3,f,x,1,x,2,x,3,f,x,0,x,1,x,2,x,3,由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。,11,差商形式的插值公式,再考虑拉格朗日插值问题：,问题 求作次数 多项式 ，使满足条件：,利用差商，其解亦可表达为如下形式：,这种差商形式的插值公式称为牛顿插值公式。,12,Newton,插值,容易证明牛顿插值多项式满足插值条件。,由插值多项式的唯一性，得,牛顿插值多项式的误差估计,13,Newton,插值(续),牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，,只要再增加一项就行了，即有递推式,:,14,例题分析,15,例题分析（续1）,16,例题分析（续2）,17,练习：,若上例中增加两点,f,(-2)=2,f,(3)=2,，加上原来三点,f,(-1)=2,f,(1)=1,f,(2)=1,，求,f,(,x,),的,Newdon,插值多项式。,18,Hermite,插值多项式,要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。,在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅,把此类插值多项式称为埃尔米特（,Hermite,）,插值多项式或称带导数的插值多项式，记为,H,(,x,),。,19,Hermite,插值多项式（续1）,要求在,1,个节点,x,0,处直到,m,0,阶导数都重合的插值多项式即为,Taylor,多项式,其余项为,N,1,N,个条件可以确定 阶多项式。,20,已知函数 在区间,a,b,上,n,个互异点,处的函数值,，,以及导数值 ，求,使得满足插值条件,Hermite,插值多项式（续2）,21,简化问题描述,使得满足插值条件,22,Hermite,插值多项式,构造各个节点的插值基函数,Hermit,插值函数可表成,构造方法：（类似,Lagrange,插值基函数）,23,两点三次,Hermit,插值,使得满足插值条件,已知：,24,两点三次,Hermit,插值（续1）,直接设,待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆,Lagrange,插值基函数的方法，引入四个基函数,使之满足,25,两点三次,Hermit,插值（续2）,为方便起见，先考虑,的情形,，,，,在一般情形下，只需作变换,26,两点三次,Hermit,插值（续3）,相应的基函数为：,，,，,，,27,两点三次,Hermit,插值（续4）,从而,Hermite,插值多项式为,28,算例：已知对数函数在两点处的值及导数值,1,2,0,0.693147,1,0.5,用三次,Hermit,多项式求 的近似值,ln,1.5,=,0.409074,两点三次,Hermit,插值（续5）,29,一般的,Hermit,插值设在,n,+1,个节点,给出函数值和导数值,要求插值多项式 满足,满足这些条件的插值多项式就是,Hermit,插值多项式。其构造方法和两点情况类似，不再重复。,30,高次插值的龙格现象,对于代数插值来说，插值多项式的次数很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考察函数 ，设将区间 分为 等份，表取 个等分点作节点的插值多项式，如下图所示，当 增大时，在两端会发出激烈的振荡，这就是所谓,龙格现象,。,31,龙格现象,32,分段插值的概念,所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先将所考察的区间作一分划,并在每个 子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一起作为整个区间 上的插值函数，即称为分段多项式。如果函数 在分划 的每个子段上都是 次式，则称为具有分划 的分段,次式。,33,分段插值,1.分段线性插值；,2.分段抛物插值；,3.分段低次多项式插值；,原因：高次插值会发生,Runge,现象。,逼近效果并不算太好！,34,分段线性插值,满足条件 具有分划 的分段一次式 在每个子段 上都具有如下表达式：,35,分段三次埃尔米特插值,问题：求作具有分划 的分段三次式 ，使成立,解：由于每个子段 上的 都是三次式，且满足埃尔米特插值条件：,所以,其中 ，且有,36,样条函数的概念,所谓样条函数，从数学上讲，就是按一定光滑性要求“装配”起来的分段多项式，具体的说，称具有分划,的分段 次式 为 次样条函数，如果它在每个内节点 上具有直到 阶连续导数。点 称为样条函数的节点。,特别地，零次样条 就是人们熟知的阶梯函数，一次样条 则为折线函数。,37,样条函数插值,插值曲线既要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。,这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，我们把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数，它所对应的曲线称为样条曲线，其节点称为样点，这种插值方法称为,样条插值。,38,样条函数插值（续1）,插值函数。,39,样条函数插值（续2）,f,(,x,),H,(,x,),S,(,x,),注：三次样条与分段,Hermite,插值的根本区别,在于,S,(,x,),自身光滑，不需要知道,f,的导数值,（除了在,2,个端点可能需要）；而,Hermite,插值依赖于,f,在所有插值点的导数值。,40,作业：,1,、,实验中测得汞的黏度随温度的变化如下,:,用,Newton,插值多项式,求,353.15,，,593.15K,温度下的黏度,。,2,、,已知,两点,(2,8),，,(3,27),，用,三次,Hermite,多项式,求,(2.15),3,的值。,T/K,313.15,393.15,473.15,513.15,553.15,10,3,/km/(,m,s,),1.453,1.189,1.036,0.985,0.946,