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中考数学压轴题分类思想
一、耐心填一填——一锤定音
1.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在圆C内,点B在圆C外,那么圆A的半径r的取值范围是__________________.
解析:分⊙A与⊙C内切、外切两种情况.
答案:1形三边之长为5、4、m,则此三角形斜边上的高为_____________.
解析:5和m都有可能为斜边.
答案:
4.若正方形四个顶点分别在直角三角形三条边上,直角三角形的两直角边的长分别为3 cm和4 cm,则此正方形的边长为____________ cm.
解析:分以下两种情况讨论.

答案:
5.一个等腰三角形的周长为14 cm,且一边长是4 cm,则它的腰长是_______________.
解析:一边长为4 cm,可能为腰也可能为底.
答案:4 cm或5 cm
6.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分,则底边长为____________.
答案9或5
7.要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,欲使这两个三角形相似,三角形框架的另两边长可以是_______________.
解析:与2对应的边中,4、5、6均有可能.
答案:
8.用一张边长分别为10 cm、8 cm的矩形纸片做圆柱的侧面,所得圆柱的底面半径为_________________(结果可带π).
解析:10 cm、8 cm均有可能为圆柱的高.
答案:
二、精心选一选——慧眼识金
9.如图1-3-2,⊙O的直径为10 cm,弦AB为8 cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有( )

图1-3-2
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案：D
10.在同一个平面内,四条直线的交点个数不能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：A
11.P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:如图.

答案:C
12.如图1-3-3,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12.在AB上取一点E,使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似,则AE的长为( )

图1-3-3
A.16 B.14 C.16或14 D.16或9
解析:(1).
答案:D
13.若实数a、b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,则的值为( )
A.-20 B.2 C.2或-20 D.2或20
解析:分a=b,a≠b两种情况.
答案:D
14.在直角坐标系中,已知点A(-2,0)、B(0,4)、C(0,3),过点C作直线交x轴于点D,使得以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似,这样的直线最多可以作( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.6条
答案：C
15.若解方程产生增根,则m的值是( )
A.-1或-2 B.-1或2 C.1或2 D.1或-2
解析:原式化为x2-2x-m-2=0.
原方程有增根,即x=0或x=-1.
答案:D
16.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是( )
A.5 B.10 C.5或4 D.10或8
解析:BC=8有可能是直角边,也有可能是斜边.
答案:D
三、用心做一做——马到成功
17.(2005安徽课改中考,21)下面是数学课堂的一个学习片断.阅读后,请回答下面的问题:学习等腰三角形有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:“已知等腰△ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”.同学们经片刻的思考与交流后,李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”.还有一些同学也提出了不同的看法……
(1)假如你也在课堂中,你的意见如何?为什么?
(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?(用一句话表示)
分析:此题应树立分类讨论思想,考虑问题要全面.
答案:(1)上述两同学回答的均不全面,应该是其余两角的大小是75°和75°或30°和120°.理由如下:
(ⅰ)当∠A是顶角时,设底角是α.
∴30°+α+α=180°,α=75°.
∴其余两角是75°和75°.
(ⅱ)当∠A是底角时,设顶角是β,
∴30°+30°+β=180°,β=120°.
∴其余两角分别是0°和120°.
(2)感受中答:有“分类讨论”“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的即可.
18.(2006广东深圳中考,21)如图1-3-4,抛物线y=ax2-8ax+12a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),抛物线上另有一点C在第一象限,满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.

图1-3-4
(1)求线段OC的长.
(2)求该抛物线的函数关系式.
(3)在x轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)由ax2-8ax+12a=0(a<0)得x1=2,x2=6,
即OA=2,OB=6.
∵△OCA∽△OBC,
∴OC2=OA·OB=2×6.
∴OC=(-舍去).
∴线段OC的长为.
(2)∵△OCA∽△OBC,
∴.

设AC=k,则BC=k.
由AC2+BC2=AB2得k2+(k)2=(6-2)2.
解得k=2(-2舍去).
∴AC=2,BC==OC.
过点C作CD⊥AB于点D,∴OD=OB=3.
∴CD=.
∴C的坐标为(3,).
将C点的坐标代入抛物线的解析式得=a(3-2)(3-6),∴a=-.
∴抛物线的函数关系式为y=.
(3)①当P1与O重合时,△BCP1为等腰三角形.
∴P1的坐标为(0,0).
②当P2B=BC时,(P2在B点的左侧),△BCP2为等腰三角形.
∴P2的坐标为(6-,0).
③当P3为AB的中点时,P3B=P3C,△BCP3为等腰三角形.
∴P3的坐标为(4,0).
④当BP4=BC时(P4在B点的右侧),△BCP4为等腰三角形.
∴P4的坐标为(6+,0).
∴在x轴上存在点P,使△BCP为等腰三角形,符合条件的点P的坐标为(0,0),(6-,0)(4,0),(6+,0).
19.(2006上海中考,25)已知点P在线段AB上,点O在线段AB延长线上.以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点.

图1-3-5
(1)如图1-3-5,如果AP=2PB,PB=BO.
求证:△CAO∽△BCO;
(2)如果AP=m(m是常数,且m>1),BP=1,OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时,求AC∶BC的值(结果用含m的式子表示);
(3)在(2)的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围.
(1)证明:∵AP=2PB=PB+BO=PO,
∴AO=2PO.∴.
∵PO=CO,∴.
∵∠COA=∠BOC,∴△CAO∽△BCO.
(2)解:设OP=x,则OB=x-1,OA=x+m,
∵OP是OA、OB的比例中项,
∴x2=(x-1)(x+m),
得x=,即OP=.∴OB=.
∵OP是OA、OB的比例中项,即.
∵OP=OC,∴.
设圆O与线段AB的延长线相交于点Q,当点C与点P、点Q不重合时,
∵∠AOC=∠COB,∴△CAO∽△BCO.
∴;
当点C与点P或点Q重合时,可得=m,
∴当点C在圆O上运动时,AC∶BC=m.
(3)解:由(2)得,AC>BC,且AC-BC=(m-1)BC(m>1),
AC+BC=(m+1)BC,圆B和圆C的圆心距d=BC,
显然BC<(m+1)BC,∴圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含.
当圆B与圆C相交时,(m1)BC1,∴12.
20.我市英山县某茶厂种植 “春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-6中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-7的抛物线表示.http://www.1230.org

图1-3-6

图1-3-7
(1)直接写出图1-3-6中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;
(2)求出图1-3-7中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;
(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?
(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克)
解:(1)依题意,可建立的函数关系式为
y=
(2)由题目已知条件可设z=a(t-110)2+20.
∵图象过点(60,),
∴=a(60-110)2+20.∴a=.
∴z=(t-110)2+20(t>0).
(3)设纯收益单价为W元,则W=销售单价-成本单价.
故W=
化简得W=
①当W=- (t-10)2+100(0

图1-3-8
(1)画出△ECD关于边CD所在直线为对称轴的对称图形△E1CD,并求出点E1的坐标;
(2)求经过C、E1、B三点的抛物线的函数表达式;
(3)请探求经过C、E1、B三点的抛物线上是否存在点P,使以点P、B、C为顶点的三角形与△ECD相似.若存在这样的点P,请求出点P的坐标;若不存在这样的点P,请说明理由.
解:(1)过点E作EE1⊥CD交BC于F点、交x轴于E1点,则E1点为E点的对称点.
连结DE1、CE1,则△CE1D为所画的三角形.

∵△CED∽△OEA,,
∴.
∵EF、EE1分别是△CED、△OEA的对应高,
∴.∴EF=EE1.
∴F是EE1的中点.
∴E点关于CD的对称点是E1点,△CE1D为△CED关于CD的对称图形.
在Rt△EOE1中,OE1=cos60°×EO=×8=4.
∴E1点的坐标为(4,0).
(2)∵OABC的高为h=sin60°×4=.
过C作CG⊥OA于G,则OG=2.
∴C、B点的坐标分别为(2,)、(8,).
∵抛物线过C、B两点,且CB∥x轴,C、B两点关于抛物线的对称轴对称,
∴抛物线的对称轴方程为x=5.
又∵抛物线过E1(4,0),
则抛物线与x轴的另一个交点为A(6,0).
∴可设抛物线为y=a(x-4)(x-6).
∵点C(2,)在抛物线上,
∴=a(2-4)(2-6),解得a=.
∴y=(x-4)(x-6)=.
(3)根据两个三角形相似的条件,由于在△ECD中∠ECD=60°,若△BCP与△ECD相似,则△BCP中必有一个角为60°.下面进行分类讨论:
①当P点在直线CB的上方时,由于△PCB中,∠CBP>90°或∠BCP>90°.
∴△PCB为钝角三角形.
又∵△ECD为锐角三角形,
∴△ECD与△CPB不相似.
从而知在直线CB上方的抛物线上不存在点P使△CPB与△ECD相似.
②当P点在直线CB上时,点P与C点或B点重合, 不能构成三角形.
∴在直线CB上不存在满足条件的P点.
③当P点在直线CB的下方时,
若∠BCP=60°,则P点与E1点重合.
此时,∠ECD=∠BCE1,而,
∴.
∴△BCE1与△ECD不相似.
若∠CBP=60°,则P点与A点重合.
根据抛物线的对称性,同理可证△BCA与△CED不相似.
22.(2006广东深圳中考,22)如图1-3-9,在平面直角坐标系xOy中,点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A、B两点,交y轴于C、D两点,且C为的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为(-2,0),AE=8.

图1-3-9
(1)求点C的坐标.
(2)连结MG、BC,求证:MG∥BC.
(3)如图1-3-10,过点D作⊙M的切线,交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时,的比值是否发生变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律.

图1-3-10
答案：(1)解:方法一:∵直径AB⊥CD,∴CO=CD.
∵,C为的中点,
∴.∴.
∴CD=AE.∴CO=CD=4.
∴C点的坐标为(0,4).
方法二:连结CM,交AE于点N,
∵C为的中点,M为圆心,
∴AN=AE=4,CM⊥AE.
∴∠ANM=∠COM=90°.
在△ANM和△COM中,
∴△ANM≌△COM.∴CO=AN=4.
∴C点的坐标为(0,4).
(2)证明:设半径AM=CM=r,则OM=r-2.
由OC2+OM2=MC2得42+(r-2)2=r2.
解得r=5.
∵∠AOC=∠ANM=90°,∠EAM=∠MAE,
∴△AOG∽△ANM.∴.
∵MN=OM=3,即.∴OG=.
∵.
∵∠BOC=∠BOC,∴△GOM∽△COB.
∴∠GMO=∠CBO.∴MG∥BC.
(说明:直接用平行线分线段成比例定理的逆定理不扣分)
(3)解:连结DM,则DM⊥PD,DO⊥PM,
∴△MOD∽△MDP,△MOD∽△DOP.
∴DM2=MO·MP,
DO2=OM·OP,(说明:直接使用射影定理不扣分)
即42=3·OP.∴OP=.
当点F与点A重合时,,
当点F与点B重合时,.
当点F不与点A、B重合时,连结OF、PF、MF.
∵DM2=MO·MP,∴FM2=MO·MP.
∴.
∵∠AMF=∠FMA,∴△MFO∽△MPF.
∴.
∴综上所述,的比值不变,比值为.
23.(2006浙江中考,24)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1经过点A(-2,0)和点B(0,),直线l2的函数表达式为y=-,l1与l2相交于点P.⊙C是一个动圆,圆心C在直线l1上运动,设圆心C的横坐标是a.过点C作CM⊥x轴,垂足是点M.

图1-3-11
(1)填空:直线l1的函数表达式是________________,交点P的坐标是________________,∠EPB的度数是________________.
(2)当⊙C和直线l2相切时,请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R,并写出R=3-2时a的值.
(3)当⊙C和直线l2不相离时,已知⊙C的半径R=-2,记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点).S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时a的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)y= P(1,) 60°
(2)设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示,
D是切点,连结CD,则CD⊥PD.
过点P作CM的垂线PG,垂足为G,则Rt△CDP≌Rt△PGC.(∠PCD=∠CPG=30°,CP=PC)
所以PG=CD=R.
当点C在射线PA上,⊙C和直线l2相切时,同理可证.
取R=-2时,a=1+R=-1或a=-(R-1)=3-.

甲
(3)当⊙C和直线l2不相离时,由(2)知分两种情况讨论:①如图乙,当0≤a≤-1时,S=.

乙
当a=-=3时(满足a≤-1),
S有最大值,此时S最大值=.
②当3-≤a<0时,显然⊙C和直线l2相切,即a=3-时,S最大,
此时S最大值=［］·|3-|=.
综合以上①和②,当a=3或a=3-时,存在S的最大值,其最大面积为.
24.(2006湖南常德中考,26)把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.
(1)如图1-3-12(1),当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APD∽△CDQ.此时AP·CQ=_________________.
(2)将三角板DEF由图1-3-12(1)所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其中0°<α<90°,问AP·CQ的值是否改变?说明你的理由.
(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式.(图1-3-12中(2)(3)供解题用).

图1-3-12
分析:(1)问比较简单但很重要;
(2)类似上问的方法思想.
解:(1)8
(2)AP·CQ的值不会改变,
理由如下: 如右图,在△APD与△CDQ中,∠A=∠C=45°,

∠APD=180°-45°-(45°+α)=90°-α,
∠CDQ=90°-α,即∠APD=∠CDQ.
∴△APD∽△CDQ.∴.
∴AP·CQ=AD·CD=AD2=(AC)2=8.
(3)如图,情形一:当0°<α<45°时,2